一種非均勻噪聲條件下基于子空間的實(shí)值DOA估計(jì)方法

何 莉，朱揚(yáng)輝，唐 龍

(長(zhǎng)海發(fā)展有限責(zé)任公司,廣西 桂林 541000)

0 引 言

波達(dá)方向(DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要研究課題，已廣泛應(yīng)用于各種場(chǎng)景，如無(wú)線通信、雷達(dá)、聲納、導(dǎo)航、地震探測(cè)和醫(yī)學(xué)等。經(jīng)典的DOA估計(jì)算法包括：多重信號(hào)分類算法(MUSIC)、信號(hào)參數(shù)估計(jì)旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(ESPRIT)和最大似然(ML)估計(jì)算法等。這些方法可以獲得較高的角度分辨率，實(shí)際應(yīng)用廣泛。但其均是在均勻白噪聲的條件下提出的，當(dāng)噪聲是非均勻噪聲時(shí)，由于不正確的噪聲模型會(huì)導(dǎo)致基于均勻白噪聲假設(shè)下的傳統(tǒng) DOA 估計(jì)算法性能顯著下降。

在實(shí)際中，由于接收通道硬件不理想及外界影響，各傳感器中的噪聲可能為不相關(guān)的非均勻高斯白噪聲。近年來(lái)，針對(duì)非均勻噪聲下的DOA估計(jì)問(wèn)題，研究學(xué)者提出諸多新穎的方法。在文獻(xiàn)[5]中，一種非均勻噪聲條件下的ML 估計(jì)算法被提出，通過(guò)迭代方法求解角度估計(jì)。但由于對(duì)初始值的設(shè)置較嚴(yán)格，并且計(jì)算量巨大，從而限制了該算法的實(shí)際工程應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]提出了2個(gè)基于子空間的DOA 估計(jì)方法，通過(guò)利用ML 和最小二乘(LS)技術(shù)循環(huán)迭代的方法來(lái)估計(jì)信號(hào)和噪聲子空間，以此獲得DOA估計(jì)。該算法同樣需要預(yù)設(shè)初始值，并且隨著迭代次數(shù)的增加，該算法也相當(dāng)耗時(shí)。由于核范數(shù)最小作為非凸優(yōu)化問(wèn)題秩最小問(wèn)題的最優(yōu)凸松弛，而被廣泛地應(yīng)用到解決秩最小問(wèn)題，并且有學(xué)者已將該技術(shù)成功應(yīng)用于非均勻噪聲條件下的DOA估計(jì)中。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于子空間無(wú)迭代(NB)DOA估計(jì)算法，該方法通過(guò)對(duì)陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行特殊分解后，再經(jīng)過(guò)2次特征值分解后，便可消除非均勻噪聲的干擾，無(wú)需迭代和凸優(yōu)化過(guò)程。然而，由于其需要對(duì)復(fù)值協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，仍然具有一定的計(jì)算復(fù)雜度。

針對(duì)復(fù)值協(xié)方差矩陣特征值分解計(jì)算復(fù)雜度高的問(wèn)題，酉變換技術(shù)已被應(yīng)用到諸多DOA估計(jì)算法中。在文獻(xiàn)[8]中，實(shí)值MUSIC算法被提出。該算法利用center-Hermitian矩陣性質(zhì)，將復(fù)值協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換為實(shí)值協(xié)方差矩陣。對(duì)該矩陣進(jìn)行特征值分解和空間譜搜索時(shí)，僅需要考慮實(shí)值。相似地，文獻(xiàn)[9]提出了實(shí)值ESPRIT算法，該算法可以提供更低的計(jì)算復(fù)雜度。然而，由于酉變換技術(shù)使用了前后向平滑技術(shù)，可能會(huì)導(dǎo)致估計(jì)性能下降，因此文獻(xiàn)[10]提出實(shí)值求根MUSIC算法，該算法沒(méi)有出現(xiàn)這種性能下降。上述基于酉變換技術(shù)的DOA估計(jì)方法可以有效降低計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)提供較好的DOA估計(jì)性能。

考慮到非均勻噪聲下DOA估計(jì)算法存在的問(wèn)題以及酉變換技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)，本文在非均勻噪聲背景下利用基于子空間無(wú)迭代方法和酉變換技術(shù)，提出一種基于子空間的實(shí)值DOA估計(jì)方法，以改善非均勻噪聲條件下DOA估計(jì)性能。該方法首先利用酉變換技術(shù)將陣列協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換為實(shí)值協(xié)方差矩陣，以提高計(jì)算效率；然后對(duì)實(shí)值協(xié)方差矩陣進(jìn)行特殊分解，并構(gòu)造特定向量獲得實(shí)值噪聲協(xié)方差矩陣，以消除非均勻噪聲的干擾；最后，對(duì)實(shí)值協(xié)方差矩陣和實(shí)值噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行廣義特征分解估計(jì)噪聲子空間，并利用傳統(tǒng)的實(shí)值MUSIC算法獲得最終的DOA估計(jì)。該算法無(wú)需迭代和凸優(yōu)化過(guò)程，可以以較低的計(jì)算復(fù)雜度獲得高分辨的DOA估計(jì)結(jié)果。

1 信號(hào)模型

考慮一個(gè)包含有個(gè)陣元的均勻線陣，相鄰陣元之間的間距為=2，其中表示信號(hào)波長(zhǎng)。假設(shè)有個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，從方向,,…,入射到陣列上，接收信號(hào)矢量可以表示為：

()=()+()

(1)

通過(guò)收集次采樣快拍，式(1)可以改寫(xiě)為：

=+

(2)

由此，陣列協(xié)方差矩陣可以表示為：

={()()}=+

(3)

(4)

2 算法描述

在基于子空間的DOA估計(jì)算法中，需要首先估計(jì)噪聲協(xié)方差矩陣，然后利用噪聲子空間和導(dǎo)向矢量的正交特性來(lái)估計(jì)DOA。提出的方法首先利用酉變換技術(shù)將復(fù)值協(xié)方差矩陣實(shí)值化，以有效降低計(jì)算復(fù)雜度。

眾所周知，如果一個(gè)矩陣是centro-Hermitian矩陣，那么其滿足：

=

(5)

式中：表示×維的交換矩陣，其副對(duì)角線元素等于1，其他為0。

那么，矩陣可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)值對(duì)稱矩陣：

(6)

式中：表示酉矩陣，其奇數(shù)階和偶數(shù)階可以分別表示為：

(7)

(8)

式中：表示×維的單位矩陣；表示×維的全矩陣。

值得一提的是，對(duì)實(shí)值對(duì)稱矩陣進(jìn)行特征值分解時(shí)，僅需要考慮實(shí)數(shù)，即沒(méi)有復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算。然而，由于式()中的噪聲協(xié)方差矩陣是非均勻的，每一個(gè)陣元上的噪聲功率互不相等。因此，只是一個(gè)Hermitian矩陣，并不是一個(gè)對(duì)稱矩陣。根據(jù)文獻(xiàn)[]，對(duì)執(zhí)行對(duì)稱估計(jì)，能夠近似轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)centroHermitian矩陣，具體轉(zhuǎn)換如下：

()

式中：是在歐氏距離意義下的的最優(yōu)Hermitian對(duì)稱估計(jì)；[·]表示共軛。

因此，實(shí)值陣列協(xié)方差矩陣可以表示為：

()

將式()和式()代入式()后，可以得到：

()

()

()

至此便完成酉變換的轉(zhuǎn)換，得到實(shí)值陣列協(xié)方差矩陣。接下來(lái)，將對(duì)矩陣進(jìn)行分解，以消除非均勻噪聲的影響。

通過(guò)觀察，陣列協(xié)方差矩陣可以分解成個(gè)矩陣之和，如下所示：

rr

()

式中：

()

()

式中：表示第個(gè)信號(hào)的信號(hào)功率；矩陣r的對(duì)角線上元素等于，非對(duì)角線上元素等于矩陣；矩陣r是一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上元素等于矩陣對(duì)角線上的元素。

根據(jù)子空間算法可知，()是一個(gè)×滿秩的矩陣，其MP維正交矢量(i,…,MP)應(yīng)滿足如下等式：

()

(17)

又根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知，實(shí)值的可以通過(guò)下式獲得：

(18)

將式(11)兩邊同乘，并且利用式(17)和式(18)，可得：

，=1,…,-

(19)

通過(guò)式(19)可知，正交矢量(=1,…,-)是由矩陣和矩陣進(jìn)行廣義特征值分解后張成的噪聲子空間。然而，由于矩陣是未知的，正交矢量(=1,…,-)在非均勻噪聲條件下，不能夠直接獲得。

將式(14)帶入式(19)，可得：

(20)

首先，將實(shí)值噪聲協(xié)方差矩陣分解成2個(gè)對(duì)角矩陣：

=+

(21)

式中：表示為稍后計(jì)算的傳感器噪聲功率的公共部分；為對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素除一個(gè)元素等于0外，其余元素均為非零元素，并且這個(gè)零元素的位置就是矩陣的對(duì)角元素中最小元素所對(duì)應(yīng)的位置。

此外，構(gòu)造一個(gè)-1維單位矢量，滿足：

(22)

式中：的值等于diag()最小值的位置下標(biāo)，即滿足:

(23)

(24)

(25)

因此，可以計(jì)算為:

(26)

式中:|·|表示絕對(duì)值運(yùn)算符。

那么，矩陣可以通過(guò)下式獲得:

=diag{[]-,…,[],-}

(27)

式中:表示矩陣中的對(duì)角元素中最小對(duì)角元素的值。

利用式(21)可以獲得矩陣。最后，根據(jù)文獻(xiàn)[7]對(duì)矩陣和矩陣進(jìn)行廣義特征值分解，可以獲得更加精確的噪聲子空間。

當(dāng)獲得噪聲子空間后，便可以利用傳統(tǒng)的實(shí)值MUSIC算法通過(guò)搜索空間譜估計(jì)個(gè)信號(hào)的DOA：

(28)

3 仿真分析

(29)

圖1展示了MUSIC算法和所提算法的空間譜。在本次試驗(yàn)中，假設(shè)信噪比=0 dB，采樣快拍數(shù)=500。從圖中可以看出，MUSIC算法由于受非均勻噪聲的干擾，會(huì)導(dǎo)致分辨率降低，已經(jīng)無(wú)法分辨出2個(gè)角度相鄰較近的目標(biāo)。這也證明了非均勻噪聲對(duì)于傳統(tǒng)的角度估計(jì)算法具有影響，會(huì)導(dǎo)致估計(jì)性能顯著下降。然而本文所提出的算法利用2次特征值分解，可以估計(jì)出噪聲協(xié)方差矩陣，能夠正確分辨出3個(gè)目標(biāo)角度。

圖1 空間譜

圖2為展示了4種方法和克拉美羅界(CRB)獲得的均方根誤差隨信噪比變化的關(guān)系圖，其中，假設(shè)采樣快拍數(shù)=100。由圖 2可知，當(dāng)<0 dB時(shí)，NB算法比MUSIC算法具有更好的估計(jì)性能，這是因?yàn)镹B算法消除了非均勻噪聲的干擾。而后，由于快拍數(shù)較小的原因，MUSIC算法的估計(jì)精度優(yōu)于NB算法。隨著信噪比的增加，噪聲功率逐漸降低，4種算法DOA估計(jì)的RMSE均逐漸降低。此外，所提出的方法在整個(gè)信噪比變化范圍內(nèi)總是保持比其他方法優(yōu)秀的性能。

圖2 均方根誤差隨信噪比變化的關(guān)系圖

圖3展示了4種方法和克拉美羅界獲得的均方根誤差隨采樣快拍數(shù)變換的關(guān)系圖。其中，假設(shè)=10 dB。在大信噪比條件下，非均勻噪聲的干擾已經(jīng)不再是影響DOA估計(jì)性能的主要因素，故MUSIC算法優(yōu)于NB算法和ULRMD算法。從圖 3可以看出，NB算法在快拍數(shù)較小的條件下，DOA估計(jì)精度顯著下降。ULRMD算法和所提的算法由于使用的酉變換技術(shù)，加倍快拍數(shù)，使得DOA估計(jì)精度優(yōu)于NB算法。ULRMD算法由于使用低秩矩陣完備技術(shù)，需要較大的快拍數(shù)來(lái)恢復(fù)低秩矩陣，在快拍數(shù)較小的情況下，估計(jì)精度低，故MUSIC算法的估計(jì)精度優(yōu)于ULRMD算法。然而，所提出的算法在整個(gè)快拍數(shù)變化范圍內(nèi)，所提算法具有優(yōu)于其他算法的DOA估計(jì)性能。

圖3 均方根誤差隨采樣快拍數(shù)變化的關(guān)系圖

圖4展示了通過(guò)不同方法在相關(guān)源條件下獲得DOA估計(jì)的結(jié)果。其中，假設(shè)信噪比=5 dB，采樣快拍數(shù)=100。本次實(shí)驗(yàn)假設(shè)有=2個(gè)相干源，分別為=-10°,=0°。從圖 4可以看出，MUSIC算法和NB算法無(wú)法分辨出相干信號(hào)，然而ULRMD算法和所提出的算法可以分辨出相干信號(hào)。這是由于ULRMD算法和所提算法在酉變換技術(shù)中，利用了前后向平滑技術(shù)，故可以解相干，具備一定的解相干能力。

圖4 相干源的空間譜

圖5展示了所提出的方法和ULRMD方法之間的仿真時(shí)間比較。其中，假設(shè)=0 dB和=100 。從圖 5可以看出，ULRMD算法由于需要凸優(yōu)化過(guò)程，故相比于所提算法需要更多的計(jì)算時(shí)間。所提算法可以在0.1 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

圖5 仿真時(shí)間比較

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)非均勻噪聲條件下DOA估計(jì)問(wèn)題，本文提出一種基于子空間的實(shí)值DOA估計(jì)方法，并通過(guò)仿真試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。在不同信噪比和不同快拍數(shù)條件下，將所提算法與MUSIC算法、NB算法和ULRMD算法進(jìn)行比較。試驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能夠有效抑制非均勻噪聲的干擾，提供較好的DOA估計(jì)性能。

與NB算法和ULRMD算法相比，所提算法結(jié)合酉變換技術(shù)，無(wú)需迭代或凸優(yōu)化過(guò)程便可以消除非均勻噪聲的影響，具有更高的分辨率和更低的計(jì)算復(fù)雜度，并且還具有一定的解相干能力和工程價(jià)值。