無(wú)差異曲線視角下線上教學(xué)與線下教學(xué)引發(fā)的啟示與思考
——以中學(xué)數(shù)學(xué)為例

吳梓俊 熊海金 黎燕琪 覃麗英 楊立英

南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530100

引言

自進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，信息化的時(shí)代浪潮對(duì)教育產(chǎn)生了不斷的沖擊，逐漸涌現(xiàn)出各種新的教育理念、教育要求、教學(xué)方法等。一場(chǎng)突如其來(lái)的疫情，使得線上教學(xué)的地位急劇提升，正式進(jìn)入了大眾的視野。線上教學(xué)是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)沖擊較大的一種新興教學(xué)模式，探討思考線上教學(xué)與線下教學(xué)存在的問(wèn)題，不僅是《中國(guó)教育現(xiàn)代化2035》的要求，同時(shí)也是對(duì)我國(guó)教育的一次推進(jìn)。

一、文獻(xiàn)綜述

（一）國(guó)內(nèi)相關(guān)研究

如圖1 所示近幾年，我國(guó)對(duì)線上教學(xué)和線下教學(xué)的研究文獻(xiàn)逐漸增加，從2017 年、2018 年僅有1 篇，2019年僅有2 篇，到2020 年激增至26 篇，2021 年到目前為止共有23 篇。

如圖2 所示，在核心期刊發(fā)表的與線上教學(xué)相關(guān)的研究文獻(xiàn)在2020 年激增至68 篇，張江慧基于SPOC 模式研究了線上教學(xué)與線下教學(xué)互動(dòng)機(jī)制在漢語(yǔ)言文學(xué)中的應(yīng)用，認(rèn)為其在教學(xué)中有很強(qiáng)的可執(zhí)行性與可操作性。王秀巧、張智慧等學(xué)者指出線上教學(xué)充分填補(bǔ)了傳統(tǒng)的C 語(yǔ)言教學(xué)中學(xué)生實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的空白，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，轉(zhuǎn)變了以教師講授為主要方式的枯燥冗長(zhǎng)的教學(xué)方式。李波認(rèn)為線上和線下的雙師教學(xué)已成為一種有效的教學(xué)模式。潘莉、唐徐韻、彭科志、楊孝芳等人指出線上教學(xué)+線下自我實(shí)踐的混合教學(xué)模式，取得了良好的效果。肇慧、范廣慧、張宏蕃、王曉丹等人認(rèn)為當(dāng)下教師的責(zé)任中，更大一部分應(yīng)該是在線下引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)去解決知識(shí)，以此實(shí)現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)化和學(xué)生學(xué)習(xí)收益最大化。孫世娟以教育生態(tài)學(xué)為基礎(chǔ)，探索研究了“線上+線下”英語(yǔ)課程教學(xué)的新模式及其可操作性。李娜通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比研究了線上教學(xué)與線下教學(xué)的學(xué)習(xí)效果。

（二）國(guó)外相關(guān)研究

2008 年加拿大學(xué)者戴夫·科米爾（Dave cormier）與布萊恩·亞歷山大（Bryan Alexander）提出大規(guī)模開放在線課程（MOOC），其身具開放、大規(guī)模、及時(shí)性等諸多特點(diǎn)，在當(dāng)時(shí)受到廣泛的關(guān)注和推崇。

2013 年加州教師?？怂菇淌谔岢鲂∫?guī)模限制性在線課程（SPOC），旨在實(shí)現(xiàn)MOOC 與傳統(tǒng)課堂教學(xué)有機(jī)融合，以彌補(bǔ)MOOC 因其“大規(guī)模、無(wú)限制”的特點(diǎn)產(chǎn)生的缺陷。

Andreas等從概念、發(fā)展歷史和分類等角度對(duì)MOOC 和SPOC 進(jìn)行了分析對(duì)比，從學(xué)生和教師的兩個(gè)維度討論并提出了相應(yīng)的教學(xué)框架，總結(jié)了遠(yuǎn)程教育的優(yōu)點(diǎn)。

二、概念界定

（一）線上教學(xué)及線下教學(xué)的定義

丁興富認(rèn)為遠(yuǎn)程教學(xué)可以分為廣義和狹義兩種，廣義的遠(yuǎn)程教學(xué)指的是基于網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源或是視頻實(shí)時(shí)互動(dòng)的教學(xué)方式，狹義的遠(yuǎn)程教學(xué)則可以理解為線上的機(jī)構(gòu)教學(xué)。顧麗愛認(rèn)為線上教學(xué)是以網(wǎng)絡(luò)作為教學(xué)載體，教學(xué)活動(dòng)發(fā)生在網(wǎng)上的一種教學(xué)方式。

基于上述學(xué)者對(duì)于遠(yuǎn)程教學(xué)和線上教學(xué)的定義和理解，本文認(rèn)為遠(yuǎn)程教學(xué)在當(dāng)下可以等同于線上教學(xué)?；谧髡叩恼J(rèn)知和學(xué)者們的研究，本文給出線上教學(xué)的概括性定義：線上教學(xué)指的是一種基于互聯(lián)網(wǎng)，以電子設(shè)備、各類在線教育平臺(tái)及APP 為主要途徑的，擺脫了時(shí)間和空間限制的一種教學(xué)方式。

由于線上教學(xué)的出現(xiàn)，傳統(tǒng)教學(xué)正式有了“線下教學(xué)”之稱。本文所認(rèn)為的線下教學(xué)指的是學(xué)生、教師在固定時(shí)間集中在固定地點(diǎn)進(jìn)行面對(duì)面授課的一種教學(xué)方式，其包括但不限于運(yùn)用多媒體、多功能教室等教學(xué)手段進(jìn)行授課的形式。

（二）常態(tài)偏好的無(wú)差異曲線的定義

無(wú)差異曲線是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)下的消費(fèi)者理論中用以表示消費(fèi)者對(duì)兩種商品偏好的一種幾何模型。無(wú)差異曲線有無(wú)數(shù)條，均向右下方傾斜且任意兩條無(wú)差異曲線均不會(huì)相交。無(wú)差異曲線共有三種狀態(tài)：完全替代品、完全互補(bǔ)品以及常態(tài)偏好。

如圖3所示，若兩種商品為完全替代品，則無(wú)差別曲線為一條直線段，表示兩者之間只有替代性，沒(méi)有互補(bǔ)性。

例如對(duì)于某品牌的玻璃杯A，假設(shè)消費(fèi)者僅需要一個(gè)玻璃杯，則若購(gòu)買玻璃杯A勢(shì)必導(dǎo)致不購(gòu)買玻璃杯B，故二者之間呈下降的直線段。

如圖4所示，若兩商品為完全互補(bǔ)品，則無(wú)差別曲線呈“L”型。例如對(duì)于鞋子，必須成對(duì)才有意義，此時(shí)的左腳鞋和右腳鞋為完全互補(bǔ)品，任何一方的單獨(dú)增加都沒(méi)有意義，不會(huì)對(duì)另外一方的數(shù)量造成任何影響，故此時(shí)的無(wú)差異曲線呈“L”型。

如圖5 所示，常態(tài)偏好下的無(wú)差別曲線介于完全替代品和完全互補(bǔ)品兩種狀態(tài)之間。

其表示兩種商品之間既具有一定的替代性，也具有一定的互補(bǔ)性。從圖像中可以清楚地觀察到：無(wú)差異曲線越陡峭，兩種商品間的互補(bǔ)性越強(qiáng)；無(wú)差異曲線越平緩，兩種商品間的替代性越強(qiáng)。

對(duì)于本文所討論的線上教學(xué)與線下教學(xué)，顯而易見其不僅具有一定的替代性，而且具有一定的互補(bǔ)性，故以常態(tài)偏好下的無(wú)差異曲線對(duì)線上教學(xué)與線下教學(xué)進(jìn)行討論是具有合理性的。

三、常態(tài)偏好無(wú)差異曲線對(duì)線上教學(xué)與線下教學(xué)的啟迪與思考

疫情讓線上教學(xué)展示出了它獨(dú)有的、區(qū)別于傳統(tǒng)線下教學(xué)的靈活性、普及性等優(yōu)點(diǎn)，不可避免地成為當(dāng)下主流的教學(xué)方式之一。線上教學(xué)和線下教學(xué)如同兩種“商品”，它們之間不僅具有替代性而且具有互補(bǔ)性。結(jié)合當(dāng)今社會(huì)信息化發(fā)展的特點(diǎn)，“線上+線下”的教學(xué)方式已經(jīng)是歷史的必然選擇。

無(wú)差異曲線無(wú)限趨近于兩坐標(biāo)軸卻永不相交的圖像特點(diǎn)（即線上教學(xué)和線下教學(xué)都不會(huì)消失），恰好印證了線上教學(xué)與線下教學(xué)之間相輔相成、密不可分、相互成就的既替代又互補(bǔ)的關(guān)系，接下來(lái)就兩者的替代性和互補(bǔ)性兩個(gè)方面展開本文的討論與思考。

（一）無(wú)差異曲線下線上教學(xué)與線下教學(xué)的替代性關(guān)系

線上教學(xué)和線下教學(xué)的替代性關(guān)系呈現(xiàn)為：在保證既定教學(xué)效果的前提下，當(dāng)一方因故出現(xiàn)增加（或減少）時(shí)，另一方會(huì)出現(xiàn)相對(duì)應(yīng)的減少（或增加）。以下本文將討論三種情況下二者的替代性關(guān)系。

1.線下教學(xué)比例＞線上教學(xué)比例時(shí)的替代性分析

此種情形亦可理解為當(dāng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的情況。如圖6 所示為某一既定教學(xué)效果下，線上教學(xué)與線下教學(xué)的無(wú)差異曲線。在曲線上取一點(diǎn)，其意義為：以的線下教學(xué)和的線上教學(xué)可以達(dá)到該既定的教學(xué)效果。

此時(shí)若由于某種原因，線上教學(xué)必須減少，為達(dá)到既定的教學(xué)效果，則需要增加線下教學(xué)，這一過(guò)程在無(wú)差異曲線中反映為→的變化過(guò)程。通過(guò)圖像可以明顯發(fā)現(xiàn)，在這一過(guò)程中△=-要大于△=-，即需要較大程度地增加線下教學(xué)的比例以替代較少減少了的線上教學(xué)。這一現(xiàn)象的產(chǎn)生，是由于線下教學(xué)居多的教學(xué)方式，在長(zhǎng)期的教學(xué)過(guò)程中逐漸暴露出一些缺陷：學(xué)生對(duì)于年復(fù)一年的線下教學(xué)產(chǎn)生疲憊、有限的課堂時(shí)間難以實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生和各個(gè)教學(xué)內(nèi)容的針對(duì)性突破以及固定的教學(xué)地點(diǎn)、手段等對(duì)學(xué)生的吸引力大大降低等方面問(wèn)題。因此，線下教學(xué)只能通過(guò)較大的“量”的增多，來(lái)達(dá)到線上教學(xué)較少的“量”的減少。

若此時(shí)由于某種原因，線下教學(xué)必須減少，為達(dá)到既定的教學(xué)效果，則需要增加線上教學(xué)，這一過(guò)程可以反映為無(wú)差異曲線上→的變化過(guò)程。經(jīng)由圖像，發(fā)現(xiàn)在變化過(guò)程中要△=-＜△=-，即只需要較小的程度的增加線上教學(xué)的比例，即可達(dá)到替代較大程度減少的線下教學(xué)的效果。導(dǎo)致這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，是當(dāng)下線下教學(xué)比例居多，使得線下教學(xué)缺陷的暴露逐漸突出和明顯。而線上教學(xué)有其獨(dú)特的四點(diǎn)優(yōu)勢(shì)：一是線上教學(xué)的普及面廣，對(duì)于同一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，不限制學(xué)習(xí)的人數(shù)、學(xué)段、時(shí)間，且可以重復(fù)學(xué)習(xí)；二是線上教學(xué)的性價(jià)比高，通過(guò)較少的花費(fèi)和資源就可以實(shí)現(xiàn)大范圍的優(yōu)質(zhì)教學(xué)；三是針對(duì)性強(qiáng)，能夠?qū)ι险n無(wú)法過(guò)多強(qiáng)調(diào)的知識(shí)點(diǎn)和教學(xué)內(nèi)容做出針對(duì)性的補(bǔ)充和強(qiáng)化訓(xùn)練；四是能夠最大程度發(fā)揮教師的主導(dǎo)地位，展現(xiàn)教師的啟發(fā)和引導(dǎo)作用，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性和創(chuàng)新性。正是這樣一些順應(yīng)時(shí)代的特點(diǎn)，使其能較好地達(dá)到既定的教學(xué)效果。同時(shí)“物以稀為貴”，學(xué)生、教師、學(xué)校以及社會(huì)對(duì)于教學(xué)方式的求變渴望，也大大提升了線上教學(xué)的價(jià)值和效果。

對(duì)比兩種情況不難得到一些啟示與思考：在眼下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，雖然傳統(tǒng)的線下教學(xué)方式仍居于主導(dǎo)地位，但線上教學(xué)以其諸多順應(yīng)時(shí)代潮流的先天性優(yōu)勢(shì)，已不可避免地躋身進(jìn)主流的教學(xué)方式當(dāng)中。根據(jù)常態(tài)偏好無(wú)差異曲線的指導(dǎo)，在當(dāng)下以線下教學(xué)為主導(dǎo)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只需要少量地引入線上教學(xué)，即可在保證既定教學(xué)效果的情況下，大大減緩線下教學(xué)的壓力。

2.線下教學(xué)比例＜線上教學(xué)比例時(shí)的替代性分析

此情形亦可理解為疫情期間的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。若此時(shí)由于某種原因，需要在維持既定教學(xué)效果的情況下，減少線上教學(xué)，此時(shí)就必須通過(guò)增加線下教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn)。如圖7 所示，對(duì)應(yīng)為無(wú)差別曲線上→的變化過(guò)程。經(jīng)由圖像可以得到，在這一過(guò)程中△=-，要大于△=-，即較大程度減少的線上教學(xué)只需要較小程度地增加線下教學(xué)，即可達(dá)到既定的教學(xué)效果。在疫情得到有效控制后，這一現(xiàn)象發(fā)生得極為普遍。究其原因，是由于線下教學(xué)雖然傳統(tǒng)但也有其無(wú)可取代的幾個(gè)優(yōu)越性：一是教師能切實(shí)有效地做到對(duì)學(xué)生和課堂進(jìn)度的實(shí)時(shí)監(jiān)控，能夠充分地保障學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率和課程的教學(xué)進(jìn)度；二是線下教學(xué)給予學(xué)生更多實(shí)踐操作的可能性和空間，教師能夠及時(shí)對(duì)學(xué)生的實(shí)踐予以指導(dǎo)，強(qiáng)化學(xué)生將“所學(xué)”轉(zhuǎn)化為“所用”的能力；三是教師能及時(shí)地接收到學(xué)生的反饋，并做出相對(duì)應(yīng)的調(diào)控和回應(yīng)；四是契合了當(dāng)下強(qiáng)調(diào)的“學(xué)生中心”，把網(wǎng)絡(luò)從教師的“工具”真正轉(zhuǎn)變成學(xué)生的“學(xué)具”。故此會(huì)出現(xiàn)→的一種變化情況。

此時(shí)若由于某種原因，需要在維持既定教學(xué)效果的情況下，減少線下教學(xué)的比例，則必須增加線上教學(xué)的比例，亦可理解為疫情出現(xiàn)反彈時(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)情況。如圖7 所示，對(duì)應(yīng)→的過(guò)程，從曲線上可以明顯觀察到△=-要小于△=-，即較小程度減少的線下教學(xué)需要較大程度地增加線上教學(xué)，才能達(dá)到既定的教學(xué)效果。究其原因，是因?yàn)榇罅炕蜷L(zhǎng)期的線上教學(xué)也具有其不可避免的缺陷：一是線上數(shù)學(xué)教學(xué)難以做到對(duì)學(xué)生的及時(shí)監(jiān)督和監(jiān)管。教師和學(xué)生地域不同，若不是實(shí)時(shí)視頻教學(xué)，甚至?xí)r間也不同，很難做到切實(shí)有效的管理，這時(shí)對(duì)于自控能力較差的學(xué)生就可能出現(xiàn)線上教學(xué)的效果大打折扣的情況；二是線上數(shù)學(xué)教學(xué)失去了傳統(tǒng)線下教學(xué)中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)：教師的教學(xué)“靈感”。數(shù)學(xué)課堂上師生間的交流、思想的碰撞，不僅讓學(xué)生，更是讓教師會(huì)經(jīng)常迸發(fā)出新的靈感。這不僅體現(xiàn)了“教學(xué)相長(zhǎng)”的教學(xué)原理，更是說(shuō)明了數(shù)學(xué)就是在一次次的靈感迸發(fā)中不斷前進(jìn)的；三是線上教學(xué)的課堂活動(dòng)多為控制型活動(dòng)，大部分以教師為主導(dǎo)，學(xué)生的實(shí)踐和操作程度大大降低，從而使得教學(xué)效果出現(xiàn)弱化的情況。因而會(huì)出現(xiàn)無(wú)差異曲線上→的一個(gè)變化情形。

3.線下教學(xué)比例≈線上教學(xué)比例時(shí)的替代性分析

當(dāng)線上教學(xué)和線下教學(xué)基本持平時(shí)，即如圖8 中點(diǎn)附近的位置，

此時(shí)可以明顯地發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)處于三種狀態(tài)下無(wú)差異曲線的相切位置。即表示在點(diǎn)的附近線上教學(xué)和線下教學(xué)可近似看成一組“完全替代品”亦或是“完全互補(bǔ)品”。其代表線上教學(xué)和線下教學(xué)在此種狀態(tài)下既互相替代又互相彌補(bǔ)，線上教學(xué)和線下教學(xué)實(shí)現(xiàn)了有機(jī)融合，達(dá)到一種“調(diào)和”。此時(shí)的線上教學(xué)和線下教學(xué)就有了充足的“彈性”，一方的增加或減少，只需要另一方相同程度的增加和減少即可重新達(dá)到“平衡”（達(dá)到既定的教學(xué)效果），為整個(gè)教學(xué)留下了充分的調(diào)整空間，可以有效地應(yīng)對(duì)突發(fā)情況，如疫情的反彈和新一輪疫情的暴發(fā)等。

（二）無(wú)差異曲線下線上教學(xué)與線下教學(xué)的互補(bǔ)性關(guān)系

線上教學(xué)與線下教學(xué)的互補(bǔ)性關(guān)呈現(xiàn)為：任意一方教學(xué)效果的增加，即可使得總的教學(xué)效果增加。

無(wú)差異曲線是一族互相平行的曲線，其越靠近右上方，表示商品交換的滿意程度越高。而對(duì)應(yīng)于此，教學(xué)效果無(wú)差異曲線越趨向于右上方，表示教學(xué)效果越好。即如圖9所示，曲線2的教學(xué)效果要優(yōu)于曲線1。

根據(jù)無(wú)差異曲線的指引，從圖9 我們可以很清晰地得出將曲線1 提升至曲線2 的兩種方法：一是使得點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，二則是使得點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)。

對(duì)于第一種方法，觀察無(wú)差異曲線上→的過(guò)程，線下教學(xué)的教學(xué)效果維持不變，而線上教學(xué)需要從提升至。因此第一種方法為提升線上教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

對(duì)于第二種方法，觀察無(wú)差異曲線上→的過(guò)程，線上教學(xué)的教學(xué)效果維持不變，而線下教學(xué)需要從提升至。因此第二種方法為提升線下教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

四、措施及途徑

基于上述對(duì)線上教學(xué)和線下教學(xué)替代性與互補(bǔ)性的分析，本文將從下述兩個(gè)方面提出當(dāng)下提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)效果的路徑。

（一）中學(xué)數(shù)學(xué)線下教學(xué)效果提升的實(shí)現(xiàn)路徑

中學(xué)數(shù)學(xué)課堂隨著多年的教學(xué)，基本形式已經(jīng)穩(wěn)定，若要提升其教學(xué)效果，應(yīng)將注意力集中在“新事物”、“新概念”與中學(xué)數(shù)學(xué)課堂的融合上。

一是重視數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。既要鼓勵(lì)支持中學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中嘗試數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的融入，更要切實(shí)做到提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用意識(shí)。

二是強(qiáng)化中學(xué)數(shù)學(xué)教師使用多媒體、幾何畫板等軟件輔助教學(xué)的意識(shí)，提高數(shù)學(xué)教師使用現(xiàn)代化教學(xué)手段的能力，用形象化、具體化的方式呈現(xiàn)給學(xué)生。

三是提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)，亦可認(rèn)為是提高教學(xué)效果最根本的方式。對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行定期培訓(xùn)，組織中學(xué)數(shù)學(xué)教師定期進(jìn)行反思討論，以改進(jìn)其教學(xué)的方式、方法，革新舊觀念。

（二）中學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)效果提升的實(shí)現(xiàn)路徑

要想提升線上教學(xué)的教學(xué)效果，最重要的是要正視線上教學(xué)在當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位。線上教學(xué)不是疫情的“衍生物”，而是順應(yīng)時(shí)代發(fā)展必定會(huì)出現(xiàn)的“新事物”。疫情僅僅只是相當(dāng)于一種催化劑，加速了線上教學(xué)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)的進(jìn)程。

擺正了線上教學(xué)的地位之后，應(yīng)有針對(duì)性地突破本文提及的線上教學(xué)所面臨的困難，本文從下述四個(gè)方面提出實(shí)現(xiàn)的路徑。

一是加強(qiáng)線上教學(xué)的管理。主要分為兩個(gè)方面：完善教學(xué)質(zhì)量的管理和加強(qiáng)對(duì)教師的管理。教學(xué)質(zhì)量直接與教學(xué)效果掛鉤，因此要做好對(duì)教學(xué)過(guò)程、學(xué)生的學(xué)習(xí)和反饋，以及整體教學(xué)質(zhì)量的監(jiān)控評(píng)價(jià)。教師的管理關(guān)系到線上教學(xué)的實(shí)施，建議成立專門的監(jiān)管組，由一位專家領(lǐng)導(dǎo)組織，建立聯(lián)系方式，主要負(fù)責(zé)教師間的討論分享、軟件操作、線上技能的培訓(xùn)、教師意見的收集反饋和解決教師的問(wèn)題，等等。

二是確保線上教學(xué)內(nèi)容的合理性。線上教學(xué)也需要教師進(jìn)行備課，且往往需要做出不同于以往線下教學(xué)的備課內(nèi)容。故在線上教學(xué)實(shí)施之前，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生需求，以學(xué)生為中心，確定好教學(xué)目標(biāo)。同時(shí)對(duì)于教學(xué)內(nèi)容也要作出相應(yīng)的調(diào)整，線上教學(xué)應(yīng)保證“自學(xué)+講授”的形式，不能整節(jié)課由學(xué)生自學(xué)，也不能整節(jié)課都是教師“滿堂灌”。

三是合理規(guī)劃、使用、調(diào)配各類線上資源，并及時(shí)豐富更新線上資源。線上教學(xué)最大的優(yōu)勢(shì)就在于教學(xué)資源來(lái)源的廣泛性和多樣性，有各類的線上圖書館、視頻、教學(xué)案例、課件和教案，等等。我們應(yīng)充分利用這一優(yōu)勢(shì)，發(fā)展多種方式的線上教學(xué)，選取實(shí)用、易學(xué)的教學(xué)資源。同時(shí)，線上教學(xué)最忌“閉門造車”，應(yīng)博采眾長(zhǎng)，重視多校交流協(xié)作，共同進(jìn)步。

四是做好線上教學(xué)的評(píng)價(jià)工作。無(wú)論是教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)效果還是課程、教學(xué)硬件等各個(gè)方面都要做好評(píng)價(jià)工作，做到“全方面評(píng)價(jià)”。上至學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)，下至教師、學(xué)生、普通員工都要參與評(píng)價(jià)，同時(shí)也都需要被評(píng)價(jià)，做到“全員評(píng)價(jià)”。抓住“兩個(gè)全面”，完善線上教學(xué)的教學(xué)評(píng)價(jià)體系，以評(píng)促改，以改提效，實(shí)現(xiàn)線上教學(xué)效果的切實(shí)提升。

五、結(jié)語(yǔ)

經(jīng)由無(wú)差異曲線的啟示，我們發(fā)現(xiàn)“線上+線下”有其獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)和科學(xué)的可行性?！熬€上+線下”的教學(xué)模式在未來(lái)必將成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主流趨勢(shì)，因此對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)的線上教學(xué)需要投入更多的研究精力和加大監(jiān)管力度，以期更好地實(shí)現(xiàn)線上教學(xué)和線下教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的完美融合。