反復(fù)多次通過(guò)方法中角動(dòng)量對(duì)重核熔合的影響

劉 玲, 苗澤宇, 劉 旭

(1. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034;2. 遼寧教育學(xué)院 基礎(chǔ)教育教學(xué)研究中心, 沈陽(yáng) 110032)

0 引 言

近年來(lái),合成超重核是核物理研究的熱點(diǎn)問(wèn)題,原子核物理結(jié)構(gòu)理論預(yù)言[1-2]雙幻核208Pb后,下一個(gè)出現(xiàn)的雙幻核的中子數(shù)N=184,質(zhì)子數(shù)Z=114,在這附近會(huì)存在一批長(zhǎng)壽命的新穩(wěn)定核素,即“超重核穩(wěn)定島”。合成超重核對(duì)探究原子核質(zhì)量極限有重要意義,重離子熔合反應(yīng)是目前合成超重核的唯一途徑。對(duì)于近似對(duì)稱的彈靶熔合反應(yīng)系統(tǒng),兩質(zhì)子數(shù)符合Z1*Z2>1 600,且接觸位置在條件鞍點(diǎn)之外時(shí),彈靶熔合后會(huì)形成激發(fā)態(tài)的復(fù)合核,蒸發(fā)中子后形成超重核[3]。

目前,人們廣泛應(yīng)用Langevin方程[4-5]對(duì)彈核、靶核的熔合過(guò)程進(jìn)行描述。原子核變形運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程與布朗粒子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)相類比,如果把核內(nèi)核子的運(yùn)動(dòng)作一個(gè)熱浴處理,將單粒子自由度與變形自由度耦合來(lái)比為介子對(duì)布朗粒子的碰撞,通過(guò)解合適的Langevin方程就可以模擬布朗粒子隨時(shí)間的演化過(guò)程,并追蹤熔合的軌道[6]。在以往的Langevin模擬中,一旦一條Langevin軌道(試驗(yàn)粒子)到達(dá)鞍點(diǎn),則認(rèn)為熔合事件已發(fā)生,便停止對(duì)該軌道的追蹤,稱之為定義在鞍點(diǎn)處的首次通過(guò)條件鞍點(diǎn)模型[3-11]。然而一個(gè)粒子躍過(guò)條件鞍點(diǎn)后在熱漲落的作用下,可能會(huì)再次返回條件鞍點(diǎn),在鞍點(diǎn)處形成反復(fù)運(yùn)動(dòng),引起所謂的回流效應(yīng)[12-14],熱漲落越強(qiáng)烈,回流也越強(qiáng)烈。通過(guò)記錄粒子最后一次通過(guò)條件鞍點(diǎn)的時(shí)間來(lái)定義在鞍點(diǎn)處的通過(guò)幾率,稱之為試驗(yàn)粒子反復(fù)多次通過(guò)條件鞍點(diǎn)模型[3,6-7]。粒子最終到達(dá)基態(tài)位置,記錄到達(dá)基態(tài)位置的時(shí)間,可以定義在基態(tài)位置處的通過(guò)幾率,稱之為基態(tài)位置的模擬模型,這在以往的研究工作中較常見。

對(duì)于利用反復(fù)多次通過(guò)鞍點(diǎn)模型討論核裂變與熔合的相關(guān)課題較多,但均未考慮角動(dòng)量這一因素的影響。而在實(shí)際物理問(wèn)題中,重核熔合是一個(gè)復(fù)雜且困難的過(guò)程,角動(dòng)量的影響是十分重要的,超重核合成的大部分理論研究均要考慮角動(dòng)量的作用。本文在原有工作基礎(chǔ)上加入角動(dòng)量,主要利用反復(fù)多次通過(guò)條件鞍點(diǎn)模型來(lái)研究角動(dòng)量對(duì)核熔合的通過(guò)幾率的影響;研究并分析在不同的角動(dòng)量下,通過(guò)幾率的變化機(jī)制;在考慮角動(dòng)量的前提下,進(jìn)一步探究溫度、入射能量對(duì)通過(guò)幾率的影響。

1 以前研究中的理論方法

描述重核熔合動(dòng)力學(xué)過(guò)程通常可以用朗之萬(wàn)方程來(lái)描述,兩熔合核的質(zhì)心距q(t)隨時(shí)間變化為

把隨機(jī)龍格—庫(kù)塔方法和單步迭代方法結(jié)合來(lái)求解方程(1)和(2),既能避免產(chǎn)生高階導(dǎo)數(shù),精度也比較高。朗之萬(wàn)方程組的數(shù)值解為

式中

其中:q*(t)和v*(t)為單步迭代方法的模擬解;Ψ表示均值為0,方差為1的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)數(shù)[15-16]。

一般情況下,當(dāng)布朗粒子的坐標(biāo)在鞍點(diǎn)位置之前,即q(t)

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其中:N(t)表示t時(shí)刻未熔合的粒子數(shù); dN(t)表示從t到t+dt內(nèi)發(fā)生熔合的粒子數(shù)。為統(tǒng)計(jì)方便,規(guī)定一個(gè)有限時(shí)間間隔ts,在t～t+ts內(nèi)平均通過(guò)幾率為

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未考慮角動(dòng)量前,考慮一個(gè)正諧振子與一個(gè)倒諧振子光滑鏈接的復(fù)合核形變位勢(shì)[8],熔合勢(shì)壘可表示為

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鞍點(diǎn)位置qb=0.24 fm,勢(shì)壘高度Vb=4 MeV,基態(tài)位置q0=0 fm,其他參數(shù)m0=376.3?2MeV-1fm-2,時(shí)間步長(zhǎng)τ=4/T?2/MeV,約化粘滯系數(shù)β=γ/m=464.4T2MeV/?[4]。

加入角動(dòng)量后的熔合勢(shì)壘的形式如下:

其中公式(11)取自文獻(xiàn)[17-18]。為計(jì)算方便,將公式(11)的分子分母同時(shí)乘以c2, 已知?c=197.327 053[MeV·fm],μ=931.494 32[MeV/c2]。本文研究的是248Cf[10]復(fù)合核的熔合過(guò)程,所以令帶入計(jì)算的質(zhì)量μ=248μ。為了使基態(tài)位置勢(shì)阱更明顯,引入常量A=900,所以公式(11)分母中的μ值應(yīng)該為μ=248 Aμ。

2 結(jié)果和討論

為探究角動(dòng)量與復(fù)合核位勢(shì)的關(guān)系,根據(jù)式(10)和(11)得到圖1。由圖1可知,加入角動(dòng)量以后,基態(tài)位置不再是q0=0 fm,隨著角動(dòng)量的增大,基態(tài)位置的坐標(biāo)(橫坐標(biāo))在向右移動(dòng),基態(tài)位置與條件鞍點(diǎn)的距離變得越來(lái)越近,模擬粒子更容易到達(dá)基態(tài)位置。條件鞍點(diǎn)左側(cè)的勢(shì)阱也隨角動(dòng)量的增大而變淺,大約在臨界值L=21附近勢(shì)阱消失了,沒(méi)有勢(shì)阱也就沒(méi)有了束縛態(tài),這說(shuō)明此后的角動(dòng)量對(duì)研究重核熔合的影響極小。然而角動(dòng)量對(duì)于條件鞍點(diǎn)以外的勢(shì)壘形式(0.35 fm～0.45 fm)影響很小,只比沒(méi)有角動(dòng)量的情況有輕微的提升。另外,條件鞍點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的勢(shì)能高度也隨著角動(dòng)量的增加而增加。而條件鞍點(diǎn)變高效應(yīng),使模擬粒子不易通過(guò)條件鞍點(diǎn)。由式(10)和(11)可知,隨著角動(dòng)量的增加,體系的總能量變大,這有利于模擬粒子通過(guò)條件鞍點(diǎn)。這3種效應(yīng)的共同競(jìng)爭(zhēng)作用決定最后重核熔合過(guò)程的通過(guò)幾率。

圖1 加入角動(dòng)量復(fù)合核位勢(shì)隨相對(duì)位置的變化Fig.1 Variation of compound nuclear potential with relative positions by adding angular momentum

圖2是相同溫度(T=4 MeV)同一入射能量(Ec.m.=7.526 MeV)下,不同角動(dòng)量(L=0,3,6,12)下通過(guò)幾率隨時(shí)間的演化。方塊曲線代表首次通過(guò)條件鞍點(diǎn)模型的結(jié)果,圓圈曲線代表反復(fù)多次通過(guò)條件鞍點(diǎn)模型的結(jié)果,上三角曲線代表定義在基態(tài)位置模擬模型的結(jié)果(模擬粒子為20 000個(gè))。從圖2中可以觀察到,3種模擬方法在短時(shí)間內(nèi)均到達(dá)穩(wěn)態(tài)值,在不同角動(dòng)量下,首次通過(guò)的結(jié)果均遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他2種結(jié)果,首次通過(guò)模型的通過(guò)幾率也更早到達(dá)穩(wěn)態(tài)值。這是因?yàn)樵谑状瓮ㄟ^(guò)條件鞍點(diǎn)模型中,在熱漲落的作用下,一部分試驗(yàn)粒子掉落到斷點(diǎn)發(fā)生裂變,而其他試驗(yàn)粒子一旦越過(guò)條件鞍點(diǎn)便認(rèn)為熔合完成,形成復(fù)合核。而實(shí)際上首次通過(guò)模型中已經(jīng)通過(guò)條件鞍點(diǎn)的試驗(yàn)粒子在熱漲落的作用下很可能又返回條件鞍點(diǎn),并在條件鞍點(diǎn)形成反復(fù)多次運(yùn)動(dòng),引起所謂的回流效應(yīng),遲滯了粒子到達(dá)基態(tài)的時(shí)間,從而可以減小最終的通過(guò)幾率。而記錄最后一次通過(guò)條件鞍點(diǎn)時(shí)間的反復(fù)多次通過(guò)條件鞍點(diǎn)模型充分考慮了這一現(xiàn)象,并且能夠發(fā)生最后一次通過(guò)條件鞍點(diǎn)的粒子事件就一定能夠到達(dá)基態(tài)位置,因此,把最后一次通過(guò)鞍點(diǎn)的時(shí)間用來(lái)定義、統(tǒng)計(jì)鞍點(diǎn)處的通過(guò)幾率顯然也比定義在基態(tài)位置的通過(guò)幾率更合理。從圖2中可以看到,反復(fù)多次通過(guò)方法大大降低了首次通過(guò)方法的穩(wěn)態(tài)值,而由于最后一次通過(guò)鞍點(diǎn)時(shí)間與到達(dá)基態(tài)位置的時(shí)間很短,所以反復(fù)多次通過(guò)方法和定義在基態(tài)位置的通過(guò)幾率的穩(wěn)態(tài)值很接近。而圖2中不同角動(dòng)量的加入并沒(méi)有影響這3種不同模擬方法通過(guò)幾率的穩(wěn)態(tài)值的特點(diǎn)。但繼續(xù)觀察發(fā)現(xiàn):考慮角動(dòng)量后對(duì)首次通過(guò)條件鞍點(diǎn)模型的通過(guò)幾率瞬態(tài)行為幾乎無(wú)影響,而明顯影響反復(fù)多次通過(guò)條件鞍點(diǎn)以及定義在基態(tài)位置的瞬態(tài)過(guò)程通過(guò)幾率的差值,隨著角動(dòng)量的增加,瞬態(tài)差值明顯變小,它們的瞬態(tài)行為更為接近。

圖2 不同角動(dòng)量下通過(guò)幾率隨時(shí)間的演化Fig.2 Evolution of passing probability with time under different angular momentum

圖3 不同入射能量下,通過(guò)幾率隨角動(dòng)量的變化Fig.3 Variation of passing probability with angular momentum under different incident energy

在不同角動(dòng)量下,各通過(guò)幾率的穩(wěn)態(tài)值變化不易看出(圖2)。為了更方便觀察在不同的角動(dòng)量下各方法的通過(guò)幾率的穩(wěn)態(tài)值的變化規(guī)律,在圖3中分析了各通過(guò)幾率在不同條件下的穩(wěn)態(tài)值。圖3表示相同溫度(T=4 MeV)不同入射能量(Ec.m.=7.526,16.933 5,30.104 MeV)下,通過(guò)幾率隨角動(dòng)量的變化。上三角折線表示入射能量為30.104 MeV時(shí)的結(jié)果,圓圈折線表示入射能量為16.933 5 MeV時(shí)的結(jié)果,方塊折線表示入射能量為7.526 MeV時(shí)的結(jié)果(模擬粒子數(shù)為20 000個(gè))?？梢杂^察到,首次通過(guò)模型的通過(guò)幾率隨角動(dòng)量的增加基本無(wú)變化。反復(fù)多次通過(guò)模型和定義在基態(tài)位置模擬模型的結(jié)果變化趨勢(shì)基本一致,通過(guò)幾率隨著角動(dòng)量的增加而增大。這是因?yàn)殡S著角動(dòng)量的增加,基態(tài)位置與條件鞍點(diǎn)之間的距離變近效應(yīng)變大,使得模擬粒子更容易到達(dá)基態(tài)位置;而條件鞍點(diǎn)變高效應(yīng),使模擬粒子不易通過(guò)條件鞍點(diǎn),這2種效應(yīng)的競(jìng)爭(zhēng),顯然距離變近效應(yīng)影響更大,通過(guò)幾率隨角動(dòng)量顯著增加。同時(shí),考慮角動(dòng)量后粒子能量變高也是極有利于試驗(yàn)粒子通過(guò)條件鞍點(diǎn)的。在相同的角動(dòng)量下,3種模型的通過(guò)幾率都隨入射能量的增加而增大。這說(shuō)明入射能量顯然也是影響通過(guò)幾率的一個(gè)重要因素,這在文獻(xiàn)[19]有所提及。另外,還計(jì)算了溫度分別為3 MeV和4.88 MeV時(shí)的情況,得到的結(jié)果與上述結(jié)果相一致。

圖4表示相同溫度(T=4.88 MeV)不同角動(dòng)量(L=0,6,12)下,通過(guò)幾率隨入射能量的變化。 上三角折線表示角動(dòng)量為12的結(jié)果, 圓圈折線表示角動(dòng)量為6的結(jié)果,方塊折線表示角動(dòng)量為0的結(jié)果(模擬粒子數(shù)為20 000個(gè))。 分析圖4,可得到與圖3相似的結(jié)論:同一條件下, 角動(dòng)量的變化對(duì)首次通過(guò)模型的通過(guò)幾率影響很小, 而反復(fù)多次通過(guò)模型和定義在基態(tài)位置通過(guò)模型的通過(guò)幾率, 會(huì)隨著角動(dòng)量的增加而增大。 另外,還計(jì)算了溫度分別為3和4 MeV時(shí)的情況,得到的結(jié)果與上述結(jié)論一致。

圖5表示角動(dòng)量分別為0和6(L=0時(shí)表示沒(méi)有角動(dòng)量)時(shí),不同溫度(T=3, 4, 4.88 MeV)下,通過(guò)幾率隨入射能量的變化。實(shí)線表示角動(dòng)量為6的結(jié)果,虛線表示角動(dòng)量為0的結(jié)果。上三角表示溫度為4.88 MeV的結(jié)果,圓圈表示溫度為4 MeV結(jié)果,方塊表示溫度為3 MeV的結(jié)果(模擬粒子數(shù)為20 000個(gè))。分析圖5可知,顯然,隨著溫度的提高,粒子熱運(yùn)動(dòng)速度加快,所以無(wú)論是否考慮角動(dòng)量,同一入射能量的各通過(guò)幾率都隨溫度的升高而升高。有趣的是,首次通過(guò)模型的通過(guò)幾率受溫度變化的影響更大,這點(diǎn)與前面提到的角動(dòng)量對(duì)首次通過(guò)模型的通過(guò)幾率影響小不同,溫度對(duì)首次通過(guò)幾率的影響較其他2種方法更明顯。另外還發(fā)現(xiàn),溫度最高的線的斜率最大,溫度最低的線的斜率最小,這說(shuō)明溫度越高對(duì)通過(guò)幾率增加的促進(jìn)作用越強(qiáng)。

圖4 不同角動(dòng)量下,通過(guò)幾率隨入射能量的變化

圖5 不同溫度下,通過(guò)幾率隨入射能量的變化

還觀察到在首次通過(guò)條件鞍點(diǎn)方法中,不同溫度下,考慮角動(dòng)量后基本沒(méi)有影響通過(guò)幾率隨入射能量的變化結(jié)果,而在反復(fù)多次通過(guò)方法和定義在基態(tài)位置方法中,隨著溫度的升高,考慮角動(dòng)量后的通過(guò)幾率明顯高于無(wú)角動(dòng)量的情況,但是通過(guò)幾率隨入射能量升高的趨勢(shì)并沒(méi)有變化。在利用反復(fù)多次通過(guò)鞍點(diǎn)模型中,本工作希望對(duì)溫度、角動(dòng)量、入射能量等因素對(duì)通過(guò)幾率的影響給出有意義的探討。

3 總 結(jié)

在原有的熔合位壘基礎(chǔ)上考慮了角動(dòng)量的影響,利用試驗(yàn)粒子反復(fù)多次通過(guò)條件鞍點(diǎn)模型數(shù)值模擬Langevin方程來(lái)計(jì)算核熔合過(guò)程的通過(guò)幾率,研究分析角動(dòng)量對(duì)通過(guò)幾率的影響。利用定義在鞍點(diǎn)的首次通過(guò)條件鞍點(diǎn)方法、反復(fù)多次通過(guò)條件鞍點(diǎn)方法以及定義在基態(tài)位置的模擬方法,研究了角動(dòng)量、溫度、入射能量等因素對(duì)核熔合過(guò)程通過(guò)幾率的影響。研究結(jié)果表明:隨著角動(dòng)量的增加,基態(tài)位置右移,勢(shì)阱逐漸變淺直至消失;隨著角動(dòng)量的增加,在基態(tài)位置與條件鞍點(diǎn)之間的距離變近效應(yīng)、條件鞍點(diǎn)變高效應(yīng)、總能量變大效應(yīng)的相互競(jìng)爭(zhēng)下,試驗(yàn)粒子的通過(guò)幾率變大;在相同條件下,角動(dòng)量的增加會(huì)引起反復(fù)多次通過(guò)方法和定義在基態(tài)位置模擬方法中通過(guò)幾率的增大,但是對(duì)首次通過(guò)方法中的通過(guò)幾率基本無(wú)影響;加入角動(dòng)量以后,溫度以及入射能量對(duì)通過(guò)幾率的影響發(fā)生不同變化。上述研究表明考慮角動(dòng)量后反復(fù)多次通過(guò)條件鞍點(diǎn)模型能更好地描述重核的熔合過(guò)程的物理機(jī)制。