極限分析法求解含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定性

徐 鵬 ，尚念林 ，鮑晶晶 ，李 婷 ,4

（1.石家莊鐵道大學(xué)省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043；2.山東寶泰置業(yè)有限公司，山東 濟(jì)南 271100；3.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川 成都 610031；4.石家莊鐵道大學(xué)土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043）

邊坡中的軟弱夾層雖然厚度較薄，但由于其強(qiáng)度較低，因而備受研究者重視，特別是當(dāng)作用地震等動(dòng)荷載時(shí).劉漢香等[1]通過振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)分析了含軟弱夾層斜坡的動(dòng)力響應(yīng)特征；閆孔明等[2]發(fā)現(xiàn)隨著地震荷載強(qiáng)度的增大，軟弱夾層中響應(yīng)加速度的低頻成分逐漸增多；唐云波等[3]通過分析測(cè)試數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)軟弱層的強(qiáng)度越低，邊坡的動(dòng)力響應(yīng)越顯著；劉晉南等[4]認(rèn)為水平地震作用下，斜坡路基的動(dòng)力穩(wěn)定性并非隨著軟弱夾層厚度的增大而減小，軟弱夾層厚度存在最優(yōu)值.

為了指導(dǎo)地震工況下邊坡的設(shè)計(jì)，研究者通常采用極限平衡法、極限分析法、數(shù)值模擬等計(jì)算方法.盡管數(shù)值仿真可較好地模擬結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性，但其往往需要一定編程基礎(chǔ)，同時(shí)，模型本構(gòu)關(guān)系的模擬也較為復(fù)雜.目前設(shè)計(jì)人員多采用極限平衡法進(jìn)行邊坡設(shè)計(jì)，例如瑞典圓弧法、畢肖普法、簡(jiǎn)布法、摩根斯坦-普頓斯法等.盡管極限平衡法滿足力或者力矩平衡、摩爾-庫(kù)倫準(zhǔn)則等條件，但其未考慮土體自身的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系[5].相較于上述極限平衡法，極限分析法通過剛塑性假定可反映土體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，同時(shí)由于其計(jì)算更方便、簡(jiǎn)單[6]，因此被廣泛應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定性計(jì)算分析.Michalowski等[7]分析了轉(zhuǎn)動(dòng)模式下邊坡極限高度與安全系數(shù)；何思明等[8]根據(jù)上限定理研究了設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)破裂面形狀及穩(wěn)定系數(shù)的影響；Utili[9]討論了裂縫位置與深度對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響.與極限平衡法相比，極限分析法解答更嚴(yán)密，同時(shí)由于其計(jì)算中僅需要求解一個(gè)能量方程，因而計(jì)算更簡(jiǎn)便[10]，然而，目前鮮有關(guān)于地震荷載下含軟弱夾層邊坡滑動(dòng)極限分析的研究報(bào)道.

為此本文采用極限分析法中的上限定理，對(duì)含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行了求解，并將計(jì)算結(jié)果與既有方法進(jìn)行了對(duì)比，最后分析了荷載、軟弱夾層形狀、強(qiáng)度等對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響.

1 計(jì)算模型

1.1 基本假定

邊坡模型如圖1所示，其中，折線ABC表示薄軟弱夾層（抗剪強(qiáng)度較弱的層帶結(jié)構(gòu)），△ABC表示滑體.為了實(shí)現(xiàn)擬動(dòng)力法與上限定理的應(yīng)用，對(duì)圖1模型作以下簡(jiǎn)化與假定：

圖1 邊坡模型Fig.1 Slope model

1） 模型為二維平面模型，滿足平面應(yīng)變條件.

2） 軟弱薄夾層AB、BC與水平面的夾角分別為θ1、θ2，夾層AB、BC的水平長(zhǎng)度與豎直高度分別為d1與h1，d2與h2.

3） 地震動(dòng)荷載作用在土塊質(zhì)心.

根據(jù)Choudhury等[11-13]研究，為了考慮動(dòng)荷載在介質(zhì)中傳播特性、放大效應(yīng)、時(shí)程特征等，水平加速度系數(shù)為

式中：kh（z，t）為高度z、 時(shí)間t時(shí)的水平加速度系數(shù)；kp為水平加速度峰值系數(shù)；H（H=h1+h2）為滑坡高度；fa為加速度放大系數(shù)；ω、vs分別為角速度、剪切波速，如式（2）、（3）.

式中：f為頻率；G為土體剪切模量；ρ為土體密度.

4） 填土滿足極限分析原理中的剛塑性假定條件、摩爾庫(kù)倫屈服條件，同時(shí)遵循關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則.

5） 根據(jù)強(qiáng)度折減系數(shù)的概念，邊坡安全系數(shù)F采用式（4）表示.

式中：c、φ為軟弱夾層黏聚力與摩擦角；cm、φm為折減后對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度參數(shù).

1.2 極限分析

對(duì)于圖1所示折線形滑面，建立圖2所示雙楔塊破壞模式協(xié)調(diào)速度場(chǎng).圖中：v1、v2、v3分別為楔塊CBD、ABD速度以及兩者相對(duì)速度，即楔塊沿著間斷面BC、AB、BD的速度； α1、 α2、 α3分別為速度v1、v2、v3與速度間斷面BC、AB、BD之間夾角； β 為待定偏角.

圖2 速度矢量圖Fig.2 Diagram of velocity vectors

根據(jù)圖2中的速度矢量關(guān)系，楔塊之間的速度滿足：

根據(jù)假設(shè)條件，力學(xué)模型如圖3所示.圖中：kh-M、kh-N為楔塊ABD、BCD質(zhì)心M、N處水平地震加速度系數(shù)，可由式（1）求解；G1、G2分別為楔塊BCD、ABD重力.圖3模型外力為作用在質(zhì)心M、N處的楔塊重力與水平地震力（方向向左），而內(nèi)能的耗散主要來自速度間斷面BC、AB、BD上的黏聚力.

圖3 力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model

1） 外荷載功率

圖3所示模型外功率為

式中：P1為楔塊BCD重力所做外功率，如式（7）；P2為楔塊ABD重力所做外功率，如式（8）；P1h為楔塊BCD地震力所做外功率，如式（9）；P2h為楔塊ABD地震力所做外功率，如式（10）.

如圖（3）所示，當(dāng)將坐標(biāo)原點(diǎn)取為點(diǎn)A時(shí)，質(zhì)心M、N的高度分別為

式中：點(diǎn)B、C、D在z軸方向坐標(biāo)zB、zC、zD可根據(jù)幾何關(guān)系（d1、d2、h1、h2、θ1、θ2、β）求得.

2） 內(nèi)能耗散功率

滑坡系統(tǒng)的內(nèi)能耗散功率為

式中：cj為速度間斷面上的黏聚力；vj為速度；lj為速度間斷面的長(zhǎng)度.

3） 安全系數(shù)

為求得安全系數(shù)，令Pe與Pi相等，則

由于本文計(jì)算中通過擬動(dòng)力法考慮了地震荷載的時(shí)程規(guī)律（式（1）），因此，式（14）中的安全系數(shù)大小不僅與β有關(guān)，還與時(shí)間t有關(guān).當(dāng)時(shí)間t已知時(shí)，

對(duì)式（15）求極值，即可得到時(shí)間t的安全系數(shù)F.

2 計(jì)算方法驗(yàn)證

2.1 規(guī)范法

為驗(yàn)證本文計(jì)算方法的可靠性，將本文計(jì)算值與摩根斯坦-普萊斯法進(jìn)行對(duì)比.與其他經(jīng)典邊坡極限平衡方法（簡(jiǎn)布法、畢肖普法、瑞典條分法、斯賓塞法等）相比，由于摩根斯坦-普拉斯法可針對(duì)多種破裂面形狀，并在計(jì)算中同時(shí)考慮了力與力矩的平衡，因而，被公認(rèn)為是目前最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪吰路€(wěn)定性計(jì)算方法[14-15].

不同水平加速度峰值系數(shù)、邊坡幾何形狀、抗剪強(qiáng)度下，本文計(jì)算的安全系數(shù)結(jié)果與摩根斯坦-普萊斯法的計(jì)算結(jié)果如表1所示.表中：γ為滑體重度.根據(jù)表1結(jié)果可知：本文方法與摩根斯坦-普萊斯法計(jì)算結(jié)果接近；兩種方法求得的安全系數(shù)均隨著水平峰值加速度的增大以及邊坡強(qiáng)度的減小而減小.另外，與本文極限分析法中僅需要求解一個(gè)能量方程不同，由于摩根斯坦-普萊斯法計(jì)算中將滑體分成n個(gè)單元，因而其需要求解3n個(gè)方程.綜上可知，本文方法可以在保證計(jì)算精度的同時(shí)，顯著降低求解時(shí)間，提高計(jì)算速度.

表1 計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation results

2.2 二楔塊法

采用二楔塊法，Qian等[16]對(duì)沿著襯墊滑動(dòng)的垃圾場(chǎng)開展了穩(wěn)定性研究，結(jié)果如表2所示.

由表2可知：與二楔塊法計(jì)算值相比，本文方法計(jì)算值更接近有限元數(shù)值解.另外，雖然與二楔塊法相同，本文在計(jì)算中同樣將邊坡分成了兩個(gè)楔塊，但是計(jì)算中卻僅需要求解一個(gè)能量方程，而二楔塊法需要建立4個(gè)平衡方程.

表2 計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculation results

3 參數(shù)分析

為了分析水平加速度、土體強(qiáng)度（c、?）與夾層形狀等參數(shù)對(duì)邊坡安全系數(shù)的影響，定義以下參數(shù)基準(zhǔn)值：θ1=18°，θ2=42°，l2=9 m，l1=6 m，kp=0.3，水平加速度放大系數(shù)fa=1.3，f=2 Hz，ρ=2 200 kg/m3，c=5 kPa，φ=25°.

3.1 地震加速度

邊坡安全系數(shù)除了采用式（4）表示，在極限分析法中也可采用式（16）表示[17].

結(jié)合式（14）可知：F＞ 1，表明系統(tǒng)可產(chǎn)生的內(nèi)能功率Pi大于外荷載功率Pe，即系統(tǒng)越穩(wěn)定.

根據(jù)式（1），模型加速度系數(shù)大小與fa、kp、f等有關(guān).圖4～6 分別為F隨fa、kp、f的變化規(guī)律.

不同于擬靜力法中采用恒值峰值加速度系數(shù)進(jìn)行求解計(jì)算，由于本文式（1）考慮了加速度隨時(shí)間等的變化，因此，圖4中本文計(jì)算求得的安全系數(shù)隨著時(shí)間不斷變化，并呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì).出現(xiàn)上述變化規(guī)律原因?yàn)椋菏剑?）表示的加速度系數(shù)隨著時(shí)間呈先增大后減小的趨勢(shì)，即安全系數(shù)的大小與加速度系數(shù)大小有關(guān).需要說明的是，盡管為了便于計(jì)算，本文中加速度的時(shí)程曲線被假定為簡(jiǎn)諧函數(shù)形式，但對(duì)于實(shí)際中任意已知的外荷載時(shí)程工況，本文方法同樣適用.上述結(jié)果表明：擬靜力中采用單一的峰值加速度系數(shù)進(jìn)行計(jì)算將可能導(dǎo)致設(shè)計(jì)較為保守.除此之外，圖4表明：F隨著fa的增大而減小，其中fa=1.0，1.3，1.6時(shí)對(duì)應(yīng)的最小安全系數(shù)分別為1.20、1.01、0.89.

與fa對(duì)F的影響類似，由圖5可知：F隨著kp的增大而減小，即地震荷載的強(qiáng)度越大，滑坡穩(wěn)定性越差.對(duì)比圖4與圖5可知：相較于fa，kp對(duì)安全系數(shù)的影響更顯著.

圖4 fa對(duì)F的影響Fig.4 Effect of fa on F

圖5 kp對(duì)F的影響Fig.5 Effect of kp on F

盡管本文在計(jì)算中考慮了地震波參數(shù)對(duì)安全系數(shù)的影響，但由于式（1）表示的擬動(dòng)力法并非真正的動(dòng)力法，因而計(jì)算中的地震波參數(shù)不能影響邊坡的動(dòng)力特性.因?yàn)槭剑?）中fa、kp僅能改變加速度的數(shù)值大小，而不能影響加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律，因此圖4與圖5中各自的曲線形式未發(fā)生變化.與之不同的是，f的變化將影響式（1）的曲線形狀而不改變其數(shù)值大小.結(jié)合圖6可知：f越大，周期則越短，即式（1）越早達(dá)到峰值，因此，F(xiàn)出現(xiàn)峰值的時(shí)刻越早；由于f的改變不影響F數(shù)值的大小，所以不同f時(shí)的最小安全系數(shù)均為1.01.上述研究表明：當(dāng)外荷載的頻率越大時(shí)，結(jié)構(gòu)可能越易提前產(chǎn)生破壞.需要說明的是：理論上結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)大小與外荷載頻率以及自身固有頻率有關(guān)，即外荷載頻率的變化將影響結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，但是由于本文計(jì)算中沒有考慮滑坡體自身的固有頻率，故未能體現(xiàn)出上述現(xiàn)象.

圖6 f對(duì)F的影響Fig.6 Effect of f on F

3.2 軟弱夾層折線ABC形狀

由于設(shè)計(jì)中通常關(guān)注的是地震峰值荷載時(shí)的安全系數(shù)，因而下文僅針對(duì)時(shí)間t內(nèi)的安全系數(shù)最小值進(jìn)行分析.

為了表示折線夾層形狀（軟弱夾層折線ABC的交點(diǎn)B）對(duì)滑坡安全系數(shù)大小的影響，將圖1及圖7中的幾何參數(shù)無量綱化：

圖7為F隨折線夾層形狀的變化曲線.當(dāng)圖中的點(diǎn)A與點(diǎn)C確定時(shí)，軟弱夾層的形狀主要由點(diǎn)B影響.由圖7可知：隨著λ值的增大，即點(diǎn)B逐漸遠(yuǎn)離坡面，安全系數(shù)呈現(xiàn)先迅速減小后緩慢增大的趨勢(shì)，上述現(xiàn)象表明當(dāng)軟弱夾層靠近坡面時(shí)，其對(duì)安全系數(shù)的影響更明顯；由于當(dāng)軟弱夾層靠近坡頂時(shí)，滑體的面積較小，因而隨著κ值的增大，即點(diǎn)B逐漸靠近坡頂，安全系數(shù)整體呈現(xiàn)增大的趨勢(shì).

圖7 軟弱夾層形狀對(duì)F的影響Fig.7 Effect of slip zone shapes on F

3.3 填土強(qiáng)度

圖8為F與土體強(qiáng)度的關(guān)系曲線.由圖可知：F隨著c的增大線性增大；隨著摩擦角的增大安全系數(shù)也增大.

圖8 c和F的關(guān)系曲線Fig.8 Ralation curves of c and F

4 結(jié) 論

采用解答更嚴(yán)密、求解更簡(jiǎn)捷的極限分析法建立了含軟弱夾層邊坡的穩(wěn)定性計(jì)算模型，并通過既有極限平衡法驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性.通過參數(shù)分析，研究了荷載、夾層形狀與強(qiáng)度對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響：

1） 與加速度放大系數(shù)相比，外荷載峰值大小對(duì)安全系數(shù)的影響更大；由于當(dāng)外荷載頻率越大時(shí)，外荷載更早達(dá)到峰值，此時(shí)邊坡安全系數(shù)先達(dá)到最小值.

2） 隨著軟弱夾層逐漸遠(yuǎn)離坡面，安全系數(shù)呈先迅速減小后緩慢增大的趨勢(shì).當(dāng)軟弱夾層越靠近坡面與坡頂時(shí)，安全系數(shù)的大小對(duì)其形狀的變化越敏感.

3） 安全系數(shù)隨著軟弱夾層黏聚力的增大近似線性增大；隨著軟弱夾層摩擦角的增大，其對(duì)安全系數(shù)的影響逐漸增大.