基于熱響應(yīng)特性的高速飛行器多約束軌跡優(yōu)化

許 昱，賀崢光，薛鵬飛，李振華，余卓陽

（1. 空間物理重點實驗室，北京，100076；2. 中國運載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

高速飛行器具備飛行速度快、機(jī)動能力強(qiáng)、投送距離遠(yuǎn)等優(yōu)勢，已成為航空航天領(lǐng)域的戰(zhàn)略制高點。隨著對飛行速度的要求不斷提高，高速飛行器所面臨的熱防護(hù)問題愈加復(fù)雜和嚴(yán)峻，加強(qiáng)各專業(yè)耦合度并開展多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計是解決該問題的方式之一。

在傳統(tǒng)的軌跡設(shè)計過程中，為防止高速飛行器的結(jié)構(gòu)因氣動熱作用而產(chǎn)生破壞，采用限制駐點熱流和總加熱量的熱約束方式進(jìn)行熱控制。但從氣動加熱的相關(guān)研究中可見，造成高速飛行器結(jié)構(gòu)熱破壞的直接因素是溫度超過極限，而非熱流超過極限，限制駐點熱流和總加熱量存在約束表征不合理的缺陷。此外，傳統(tǒng)的熱約束方式還存在以下不足：

a）對于采用防熱承力一體化的高速飛行器而言，難以在機(jī)體上安裝低溫?zé)岢磷鳛槔涠?，因此無法使用熱流傳感器獲取相應(yīng)的熱流和總加熱量；

b）以CAV 為代表的高速飛行器具有尖銳的端頭，設(shè)計時通常在端頭處留有部分柱段允許其燒蝕，而將熱防護(hù)的研究重點放在大面積機(jī)體上，因此過度限制駐點熱流會影響高速飛行器的機(jī)動能力；

c）工程實際中采用包絡(luò)設(shè)計方法，將軌跡設(shè)計和熱防護(hù)分析交替進(jìn)行，導(dǎo)致設(shè)計過程存在反復(fù)迭代、相互妥協(xié)的現(xiàn)象，難以獲得最優(yōu)的軌跡。

綜上所述，采用傳統(tǒng)熱約束的軌跡設(shè)計方法存在約束表征不合理、難以實際測量、容易過約束、影響研制效率等缺陷，因此需要建立能夠動態(tài)表征熱響應(yīng)過程的高速飛行器動力學(xué)模型，通過限制大面積機(jī)體內(nèi)外壁面溫度上限的方式進(jìn)行熱約束。

本文基于一維多層平板傳熱理論建立高速飛行器傳熱與熱響應(yīng)模型，并以傳統(tǒng)飛行力學(xué)為基礎(chǔ)，通過熱環(huán)境近似擬合和熱響應(yīng)方程形式變換，建立包含有熱響應(yīng)模型的高速飛行器增廣動力學(xué)模型。在對增廣動力學(xué)模型熱響應(yīng)特性開展深入研究的基礎(chǔ)上，使用自適應(yīng)Radau 偽譜法對以內(nèi)壁溫度最低為優(yōu)化目標(biāo)的高速飛行器多約束軌跡優(yōu)化問題進(jìn)行求解，并對優(yōu)化設(shè)計結(jié)果的合理性和科學(xué)性進(jìn)行分析。

1 高速飛行器增廣動力學(xué)模型的建立

1.1 熱響應(yīng)模型建立與變換

被動熱防護(hù)系統(tǒng)具有簡單可靠、技術(shù)成熟度高、應(yīng)用范圍廣等優(yōu)勢，本文將其作為建立熱響應(yīng)模型的研究對象。被動熱防護(hù)系統(tǒng)通常采用防熱層+隔熱層的設(shè)計方案，同時一維傳熱模型即可滿足初步分析的精度要求。故基于一維多層平板傳熱理論建立傳熱與熱響應(yīng)模型，如圖1 所示。

圖1 一維多層平板傳熱模型Fig.1 One-dimensional Multi-layer Plates Heat Transfer Model

該模型由一系列連續(xù)的、不同材料、不同厚度的平板組成，存在沿厚度方向的連續(xù)傳熱。其控制方程可表示為

式中,,,分別為防隔熱層材料的密度、比熱容、導(dǎo)熱系數(shù)和溫度。

外壁面能量平衡方程為

首先對一維多層平板結(jié)構(gòu)進(jìn)行空間離散，得到由多個控制單元組成的區(qū)域。其中，各控制單元厚度需權(quán)衡材料的物性參數(shù)和計算規(guī)模綜合選取。然后采用控制容積積分法對控制方程進(jìn)行離散處理，可得：

最終得到的一維多層平板傳熱與熱響應(yīng)模型為

1.2 高速飛行器動力學(xué)模型

為突出研究重點，采用如下假設(shè)：

a）地球為均質(zhì)圓球，不考慮其自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)；

b）高速飛行器全程無動力飛行，質(zhì)量不變；

c）高速飛行器滿足瞬時平衡，側(cè)滑角為零；

d）僅考慮飛行器的縱向運動，傾側(cè)角為零。

由此可得高速飛行器簡化的質(zhì)心動力學(xué)模型為

式中為地心距；為航程角；為飛行速度；為軌跡傾角；和分別為飛行器的升力和阻力；為飛行器質(zhì)量；為重力加速度。

1.3 高速飛行器增廣動力學(xué)模型

將式（5）和（4）聯(lián)立，得到包含熱響應(yīng)模型的高速飛行器增廣動力學(xué)模型：

可見，動力學(xué)模型與熱響應(yīng)模型通過熱流建立聯(lián)系，模型之間的相互影響較小，因此可在消耗少量計算資源的前提下實現(xiàn)對微分方程組的求解。

2 高速飛行器增廣動力學(xué)模型的分析

2.1 仿真環(huán)境設(shè)定與防隔熱層物性參數(shù)

以通用航空飛行器CAV-H 為研究對象，其質(zhì)量為907 kg，參考面積為0.4839 m，升力和阻力系數(shù)參考文獻(xiàn)[11]進(jìn)行擬合。

通過將全飛行剖面內(nèi)的狀態(tài)進(jìn)行網(wǎng)格離散，使用近似擬合方法得到高速飛行器表面（迎風(fēng)面1 m 處）的氣動熱流可表示為

表1 防隔熱層物性參數(shù)Tab.1 Physical Parameters of Thermal Protection Layer and Thermal Insulation Layer

通過仿真與分析，選取防隔熱層的離散層數(shù)分別為2 和8，從而滿足所需的求解精度和計算效率。

2.2 不同飛行模式對熱響應(yīng)特性的影響

仿真初值和終止條件設(shè)定如表2 所示。

表2 動力學(xué)模型熱響應(yīng)特性測試的條件設(shè)定（1）Tab.2 Setting for Thermal Response Characteristic Test for Flight Dynamic Model (1)

約束條件設(shè)定為：過載不超過15；動壓不超過500 kPa；迎風(fēng)面1 m 處的外壁溫度不超過1273 K，內(nèi)壁溫度不超過573 K。仿真結(jié)果如圖2、圖3 所示。

圖2 高度/過載-時間變化Fig.2 The Variation of Height/Overload with Time

圖3 外壁/內(nèi)壁溫度-時間變化Fig.3 The Variation of Outer/Inner Wall Temperature with Time

由圖2、圖3 可見，初始高度不同時，高速飛行器的飛行模式存在較大差異，場景3 采用平衡模式，而場景1 和2 采用跳躍模式。平衡模式的特點在于軌跡較為平直，過載和動壓的峰值低、變化小，內(nèi)壁溫度較高；跳躍模式則相反，其軌跡波動較為劇烈，過載、動壓和外壁溫度均出現(xiàn)大范圍跳動，但內(nèi)壁溫度相對較低。由結(jié)果可知，在滿足多約束的前提下，場景1的內(nèi)壁溫度相較場景3 可降低44.8 K。

2.3 不同飛行攻角對熱響應(yīng)特性的影響

仿真初值和終止條件設(shè)定如表3 所示。

表3 動力學(xué)模型熱響應(yīng)特性測試的條件設(shè)定（2）Tab.3 Setting for Thermal Response Characteristic Test for Flight Dynamic Model (2)

約束條件設(shè)定同上，仿真結(jié)果如圖4、圖5 所示。

圖4 高度/過載-時間變化Fig.4 The Variation of Height/Overload with Time

圖5 外壁/內(nèi)壁溫度-時間變化Fig.5 The Variation of Outer/Inner Wall Temperature with Time

由圖4、圖5 可見，采用小攻角的起跳高度較低，導(dǎo)致過載和動壓的峰值較大、波動較為顯著，但內(nèi)壁溫度得到較好的控制。由結(jié)果可知，在滿足多約束的前提下，場景4 的內(nèi)壁溫度相較場景5 可降低36.7 K。

3 基于熱響應(yīng)特性的多約束軌跡優(yōu)化

3.1 軌跡優(yōu)化問題概述

軌跡優(yōu)化問題通常表現(xiàn)為非線性、帶有狀態(tài)約束和控制約束的最優(yōu)控制問題，通過尋找既可滿足各類約束又能使性能指標(biāo)最優(yōu)的控制規(guī)律，從而得到問題的最優(yōu)解，并給出狀態(tài)量的變化情況。偽譜法是數(shù)值求解最優(yōu)控制問題的一種方法，采用全局插值多項式在一系列離散點上近似狀態(tài)量和控制量，并通過偽譜差分矩陣將微分方程約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程約束，從而將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，再使用數(shù)值方法求解非線性規(guī)劃問題即可獲得最優(yōu)軌跡。

自適應(yīng)Radau 偽譜法結(jié)合h 方法和p 方法的優(yōu)點，根據(jù)預(yù)先設(shè)定的判據(jù)自主決定采用網(wǎng)格區(qū)間重新劃分還是增加多項式階數(shù)的方法來達(dá)到精度要求，從而完成非線性規(guī)劃問題的求解，相較于傳統(tǒng)Radau 偽譜法可具備更高的求解精度和計算效率。

3.2 以內(nèi)壁溫度最低為優(yōu)化目標(biāo)的多約束軌跡優(yōu)化

本文采用自適應(yīng)Radau 偽譜法進(jìn)行最優(yōu)控制問題的轉(zhuǎn)換，使用SNOPT 求解非線性規(guī)劃問題，從而得到以內(nèi)壁溫度最低為優(yōu)化目標(biāo)的多約束軌跡優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化設(shè)計的條件設(shè)定如表4 所示。

表4 多約束軌跡優(yōu)化的條件設(shè)定Tab.4 Setting for Multiple Constraints Trajectory Optimization

優(yōu)化結(jié)果如圖6、圖7 所示。

圖6 高度/攻角-時間變化Fig.6 The Variation of Height/AOA with Time

圖7 溫度-時間變化Fig.7 The Variation of Temperature with Time

由圖6、圖7 可見，高速飛行器采用跳躍飛行模式，具體表現(xiàn)為在大氣密度較低的中間層（50～90 km）采用小攻角使飛行器表面熱流較小（詳見式（7）），然后在大氣密度可滿足起跳條件的平流層（11～50 km）采用大攻角將飛行器迅速拉起抬升，以避免較大氣動熱流的長時間加熱作用。該優(yōu)化軌跡相較定攻角、平衡飛行模式（場景3）可降低內(nèi)壁溫度78.4 K，相較定攻角、跳躍飛行模式（場景1）可降低內(nèi)壁溫度33.6 K，優(yōu)化效果明顯，實現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)。

4 結(jié) 論

本文針對高速飛行器傳統(tǒng)軌跡設(shè)計方法所存在的熱約束表征不合理和過約束的問題，以一維多層平板傳熱理論為基礎(chǔ)，通過熱環(huán)境近似擬合和熱響應(yīng)方程形式變換，建立包含熱響應(yīng)模型的增廣高速飛行器動力學(xué)模型。從而在軌跡設(shè)計時能夠充分考慮到飛行器結(jié)構(gòu)的溫度變化過程，并根據(jù)其熱響應(yīng)特性設(shè)計出使內(nèi)壁溫度更低的飛行軌跡。所得到的結(jié)論如下：

a）在滿足各類約束的前提下，采用跳躍飛行模式能夠顯著降低飛行器的內(nèi)壁溫度，該飛行模式可作為軌跡設(shè)計層面進(jìn)行內(nèi)壁溫度控制的方法；

b）使用自適應(yīng)Radau 偽譜法開展多約束軌跡優(yōu)化問題的求解，得到的優(yōu)化軌跡相較于采用最佳升阻比攻角跳躍飛行能夠進(jìn)一步降低內(nèi)壁溫度。