適用于發(fā)電系統(tǒng)Well-being評估的改進(jìn)交叉熵方法

陳 凡，王宇琦，劉海濤，趙美蓮，陳劉明

（1.南京工程學(xué)院電力工程學(xué)院，南京 211167；2.江蘇省配電網(wǎng)智能技術(shù)與裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 211167）

按照獲取系統(tǒng)可靠度的方法分類，電力系統(tǒng)可靠性準(zhǔn)則分為確定性準(zhǔn)則和概率性準(zhǔn)則。確定性準(zhǔn)則具有易于理解和簡單易行的優(yōu)點，但是卻無法捕捉系統(tǒng)運(yùn)行的隨機(jī)性；而概率性準(zhǔn)則盡管能方便計入各種隨機(jī)因素的影響，但是存在分析方法復(fù)雜、難以被現(xiàn)場工作人員理解的缺點[1]。為此，Roy Billinton教授于1994年提出了Well-being模型[2]，架起了確定性準(zhǔn)則和概率性準(zhǔn)則的橋梁，對電力系統(tǒng)的規(guī)劃設(shè)計和調(diào)度運(yùn)行具有重要意義。

近年來，研究人員基于Well-being理論對風(fēng)電、光伏、波浪能等新能源以及電動汽車接入后的系統(tǒng)運(yùn)行可靠性開展了研究。文獻(xiàn)[3]針對風(fēng)力發(fā)電出力的波動性問題，基于蒙特卡洛法MCS（Monte Car?lo simulation）研究了需求響應(yīng)技術(shù)對發(fā)電系統(tǒng)Well-being的影響；文獻(xiàn)[4]提出了計及屋頂光伏對變壓器老化速率影響的配電變壓器可靠性模型，采用MCS方法研究了不同屋頂光伏滲透率水平下的配電系統(tǒng)Well-being指標(biāo)；文獻(xiàn)[5]基于MCS方法研究了波浪能接入對系統(tǒng)風(fēng)險狀態(tài)和臨界狀態(tài)的影響；文獻(xiàn)[6]基于Well-being分析的理論研究了插入式混合電動汽車無序充放電對配電系統(tǒng)Well-being的影響，并提出了一種提高系統(tǒng)健康指標(biāo)的電動汽車充放電管理方法。由此可見，針對新能源出力、電動汽車充放電等隨機(jī)行為建模的復(fù)雜性，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多基于MCS進(jìn)行系統(tǒng)的Well-being評估。MCS是模擬電力系統(tǒng)中不確定性行為的有效方法[7]，然而MCS方法在用于高可靠性系統(tǒng)時存在收斂速度過慢的問題[8]，為此研究人員提出了拉丁超立方抽樣法[9-10]、狀態(tài)空間分割法[11]，交叉熵法CEM（cross entropy method）[12-13]等MCS改進(jìn)算法。CEM近年來備受關(guān)注，它通過構(gòu)造最優(yōu)抽樣概率密度函數(shù)有效提高了系統(tǒng)可靠性評估效率?；诖耍疚牟捎肅EM代替MCS進(jìn)行系統(tǒng)的Well-being評估，研究發(fā)現(xiàn)：CEM用于系統(tǒng)Well-being評估時可能出現(xiàn)臨界指標(biāo)收斂速度低于風(fēng)險指標(biāo)收斂速度且差距較大的現(xiàn)象，最終導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)抽樣效率低下的問題。

針對此問題，本文在對CEM原理分析的基礎(chǔ)上提出了一種多目標(biāo)交叉熵方法MCEM（multi-ob?jective cross entropy method），該方法以臨界指標(biāo)和風(fēng)險指標(biāo)的方差系數(shù)同時收斂作為收斂條件，首先分別計算針對風(fēng)險指標(biāo)和臨界指標(biāo)的隨機(jī)變量最優(yōu)分布參數(shù)，再引入權(quán)重系數(shù)進(jìn)行修正計算得到隨機(jī)變量的綜合分布參數(shù)，最后在基于綜合分布參數(shù)抽取系統(tǒng)狀態(tài)。進(jìn)一步針對含多狀態(tài)隨機(jī)變量的系統(tǒng)Well-being評估效率問題，本文提出了將多目標(biāo)分布參數(shù)尋優(yōu)和擴(kuò)展交叉熵方法[14]相結(jié)合的擴(kuò)展多目標(biāo)交叉熵法EMCEM（extended multi-objec?tive cross entropy method）。以IEEE RTS79系統(tǒng)為例進(jìn)行了算例分析，算例結(jié)果表明：所提出的MCEM和EMCEM克服了傳統(tǒng)CEM用于系統(tǒng)Wellbeing評估時可能存在臨界指標(biāo)收斂速度拖累整體收斂速度的問題，實現(xiàn)了計算效率的進(jìn)一步提升。

1 電力系統(tǒng)Well-being評估模型

Well-being模型通過N-1準(zhǔn)則將系統(tǒng)狀態(tài)劃分為健康、臨界和風(fēng)險等3種狀態(tài)，3種狀態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖1所示?；贛CS的Well-being指標(biāo)的計算公式[2，15]分別為

圖1 電力系統(tǒng)well-being模型Fig.1 Well-being model of power system

式中：PH、PM和PR分別為系統(tǒng)的健康概率、臨界概率和風(fēng)險概率，PH+PM+PR=1；k為第k次抽樣，n為抽樣次數(shù)；nR、nM和nH分別為風(fēng)險狀態(tài)、臨界狀態(tài)和健康狀態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)；LC(k)為第k次抽樣狀態(tài)的切負(fù)荷量；EENS（expected energy not supplied）為期望缺供電量，MW·h/a。EENS屬于風(fēng)險指標(biāo)。

2 交叉熵法用于電力系統(tǒng)Well-being評估時存在的問題

2.1 交叉熵法的原理

2.2 交叉熵法的似然比及參數(shù)尋優(yōu)方法

2.3 擴(kuò)展交叉熵法的似然比及參數(shù)尋優(yōu)方法

2.4 CEM和ECEM計算Well-being時的問題

本文將CEM和ECEM應(yīng)用于電力系統(tǒng)Well-being評估時發(fā)現(xiàn)，使用交叉熵尋優(yōu)技術(shù)之后可能出現(xiàn)臨界指標(biāo)收斂速度慢于風(fēng)險指標(biāo)且差距較大的問題。本部分以峰值負(fù)荷模型時基于傳統(tǒng)CEM計算系統(tǒng)Well-being指標(biāo)為例對問題進(jìn)行闡述。圖2給出了RTS79系統(tǒng)在峰值負(fù)荷下采用CEM計算得到的指標(biāo)收斂曲線。由圖2可見，臨界指標(biāo)PM收斂速度明顯慢于風(fēng)險指標(biāo)PR和EENS。這種現(xiàn)象源于CEM進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)的指示函數(shù)是針對風(fēng)險指標(biāo)，因此盡管CEM求得的最優(yōu)分布參數(shù)能夠使風(fēng)險狀態(tài)出現(xiàn)的概率大幅增加，但也有可能導(dǎo)致出現(xiàn)臨界指標(biāo)收斂速度明顯低于風(fēng)險指標(biāo)的收斂速度的現(xiàn)象，導(dǎo)致臨界指標(biāo)拖累整體收斂速度。

圖2 基于CEM的不同指標(biāo)收斂曲線Fig.2 Convergence curves of different indices based on CEM

3 適用于Well-being評估的多目標(biāo)交叉熵法

3.1 多目標(biāo)交叉熵法

針對CEM由于局限于針對風(fēng)險指標(biāo)進(jìn)行分布參數(shù)尋優(yōu)時無法兼顧臨界指標(biāo)分布參數(shù)優(yōu)化的問題，本文從尋找有利于臨界指標(biāo)和風(fēng)險指標(biāo)同時收斂的綜合分布參數(shù)的研究思路出發(fā)，提出了適用于兩狀態(tài)隨機(jī)變量參數(shù)尋優(yōu)的MCEM和適用于多狀態(tài)隨機(jī)變量參數(shù)尋優(yōu)的EMCEM。MCEM和EM?CEM分別采用表示PM的指示函數(shù)HM(Xk)和表示PR的指示函數(shù)HR(Xk)替換原尋優(yōu)指示函數(shù)H(Xk)，所以MCEM和EMCEM針對PM和PR的兩狀態(tài)隨機(jī)變量最優(yōu)分布參數(shù)vM和vR的計算公式分別為

式中：vM(iM,j)為PM參數(shù)尋優(yōu)的第iM次迭代更新的第j個兩狀態(tài)變量最優(yōu)分布參數(shù)；vR(iR,j)為PR參數(shù)尋優(yōu)的第iR次迭代更新的第j個兩狀態(tài)變量最優(yōu)分布參數(shù)。

另外，EMCEM需要對多狀態(tài)隨機(jī)變量進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，其最優(yōu)分布參數(shù)qM和qR計算公式為

式中：qM(iM,t,e)為PM參數(shù)尋優(yōu)的第iM次迭代更新的第t個多狀態(tài)隨機(jī)變量的第e個離散狀態(tài)參數(shù)；qR(iR,t,e)為PR參數(shù)尋優(yōu)的第iR次迭代更新的第t個多狀態(tài)隨機(jī)變量的第e個離散狀態(tài)參數(shù)。

引入權(quán)重系數(shù)α修正綜合分布參數(shù)v和q，即

式中α∈[0,1]。CEM相當(dāng)于MCEM在α=0的情形，ECEM相當(dāng)于EMCEM在α=0的情形。

3.2 權(quán)重系數(shù)的確定方法

本文定義了方差系數(shù)均衡度Δβ%來衡量臨界指標(biāo)方差系數(shù)與風(fēng)險指標(biāo)（方差系數(shù)較小者）方差系數(shù)的差距，以此判斷是否出現(xiàn)了臨界指標(biāo)收斂較慢且與風(fēng)險指標(biāo)收斂速度差距較大的現(xiàn)象。方差系數(shù)均衡度Δβ%的計算公式為

由式（24）～式（26）可見，當(dāng)臨界指標(biāo)收斂速度慢于風(fēng)險指標(biāo)時，Δβ%大于0，且Δβ%越大時則希望權(quán)重系數(shù)α也越大。根據(jù)此思路，本文提出了一種權(quán)重系數(shù)α的實用計算方法，具體計算步驟如下。

3.3 EMCEM評估流程

基于EMCEM的電力系統(tǒng)Well-being評估流程如圖3所示，具體步驟如下。

圖3 基于EMCEM的電力系統(tǒng)Well-being評估流程Fig.3 Flow chart of Well-being evaluation on power system based on EMCEM

（1）迭代計算針對PR的最優(yōu)分布參數(shù)vR和qR。

步驟1參數(shù)初始化。設(shè)置迭代預(yù)抽樣次數(shù)npre，迭代次數(shù)上限I，分位數(shù)ρ（通常在0.01～0.10之間）[17]，系統(tǒng)兩狀態(tài)隨機(jī)變量最優(yōu)分布參數(shù)為vR=u，u為原始分布參數(shù)，多狀態(tài)隨機(jī)變量qR=p。

步驟2令迭代次數(shù)iR=0。

步驟3iR=iR+1。

步驟4根據(jù)vR與qR進(jìn)行隨機(jī)抽樣，生成npre組系統(tǒng)狀態(tài)樣本{Xk;k=1,2,…,npre}，對Xk進(jìn)行負(fù)荷削減分析，計算對應(yīng)似然比W(Xk)。

步驟5計算各個系統(tǒng)狀態(tài)對應(yīng)的發(fā)電容量裕度序列G(Xk)，有

式中：PG(k)為系統(tǒng)狀態(tài)Xk總發(fā)電容量；LD(k)為對應(yīng)的總負(fù)荷；LC(k)為對應(yīng)的總切負(fù)荷量。

對發(fā)電容量裕度序列G(Xk)按照從小到大排列得到M=[M[1],M[2],…,M[npre]]，若M[ρnpre]>0 ，則閾值參數(shù)δ=M[ρnpre]；若M[ρnpre]≤ 0 ，則δ=0 。

步驟6利用閾值參數(shù)δ對G(Xk)進(jìn)行修正，修正值G'(Xk)=G(Xk)-δ，其指示函數(shù)HR(Xk)為

步驟7根據(jù)式（21）更新系統(tǒng)兩狀態(tài)隨機(jī)變量最優(yōu)分布參數(shù)vR，根據(jù)式（23）更新多狀態(tài)隨機(jī)變量最優(yōu)分布參數(shù)qR。

步驟8如果閾值參數(shù)δ=0或iR=I，則預(yù)抽樣過程結(jié)束，輸出vR和qR；否則，返回步驟3。

（2）迭代計算針對PM的最優(yōu)分布參數(shù)。步驟與第（1）步中類似，只需將尋優(yōu)指示函數(shù)替換成HM(Xk)，根據(jù)式（20）和式（22）更新vM和qM即可。

（3）計算綜合分布參數(shù)。根據(jù)式（27）計算權(quán)重初值并利用迭代搜索權(quán)重α，根據(jù)式（24）更新兩狀態(tài)變量的綜合分布參數(shù)v，根據(jù)式（25）更新多狀態(tài)變量綜合分布參數(shù)q。

（4）基于綜合分布參數(shù)v和q抽樣并進(jìn)行系統(tǒng)Well-being評估

步驟1參數(shù)初始化。輸入綜合分布參數(shù)v和q，設(shè)置收斂條件方差系數(shù)限βmax。

步驟2設(shè)置抽樣次數(shù)n=0。

步驟3n=n+1。

步驟4根據(jù)v和q抽取系統(tǒng)狀態(tài)樣本Xn，并計算似然比W(Xn)。

步驟5狀態(tài)評估并記錄指標(biāo)的指示函數(shù)H(Xn)。若Xn為風(fēng)險狀態(tài)，HR(Xn)=1，HM(Xn)=0，HEENS(Xn)=8 760LC(n)；若Xn為臨界狀態(tài)，則HR(Xn)=0，HM(Xn)=1，HEENS(Xn)=0；若Xn為健康狀態(tài)，則HR(Xn)=0，HM(Xn)=0，HEENS(Xn)=0；HEENS(X)為EENS的指示函數(shù)。

步驟6計算指標(biāo)，有

式中：k為抽樣次數(shù)n索引(k=1,2,…,n)；h為與H(X)對應(yīng)的指標(biāo)，當(dāng)H(X)為HR(X)時h表征PR，當(dāng)H(X)為HM(X)時h表征PM，當(dāng)H(X)為HEENS(X)時h表征EENS。在得到各指標(biāo)數(shù)值后，判斷方差系數(shù)是否小于βmax。若是，則停止迭代，輸出Wellbeing指標(biāo)；否則，返回步驟3。

4 算例分析

本文以IEEE RTS79系統(tǒng)[18]為例，分別采用峰值負(fù)荷和多級負(fù)荷模型進(jìn)行發(fā)電系統(tǒng)Well-being評估，以此驗證本文提出的MCEM和EMCEM有效性。算例分析在CPU為Intel core i7-10700、內(nèi)存為16 GB的微機(jī)上利用Matlab 2018編程實現(xiàn)，仿真過程中以臨界指標(biāo)和風(fēng)險指標(biāo)同時滿足規(guī)定方差系數(shù)(βmax=0.01)作為仿真收斂條件。

4.1 MCEM有效性分析

本文將峰值負(fù)荷水平下的IEEE RTS79系統(tǒng)稱為MRTS1系統(tǒng)，以該系統(tǒng)為例驗證MCEM的有效性。MCEM的參數(shù)設(shè)置為：npre=25 000，γ=5%，ε=0.025，通過迭代計算得到的α=0.665 4。

表1給出了分別采用MCS、CEM和MCEM計算MRTS1發(fā)電系統(tǒng)Well-being指標(biāo)的結(jié)果，其中EENS單位為MW·h/a。如表1所示，3種方法的各項結(jié)果接近，但是抽樣數(shù)目之間存在很大差異：①CEM抽樣次數(shù)少于MCS，這是因為CEM采用風(fēng)險指標(biāo)指示函數(shù)進(jìn)行兩狀態(tài)隨機(jī)變量的分布參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，從而提高了抽樣效率；②MCEM的抽樣次數(shù)最少，這是因為MCEM同時采用風(fēng)險指標(biāo)和臨界指標(biāo)的指示函數(shù)進(jìn)行兩狀態(tài)隨機(jī)變量的分布參數(shù)尋優(yōu)，因而避免了CEM獲取的分布參數(shù)不利于臨界指標(biāo)收斂的問題。

表1 MRTS1發(fā)電系統(tǒng)well-being評估方法的性能比較Tab.1 Comparison of performance among well-being evaluation methods for MRTS1 power generation system

圖4給出了采用3種方法MCS、CEM和MCEM計算Well-being指標(biāo)時方差系數(shù)的收斂曲線，圖中每條曲線的方差系數(shù)是指各種方法中方差系數(shù)較大的指標(biāo)的方差系數(shù)，即收斂速度較慢的指標(biāo)的方差系數(shù)。由圖4可見，MCEM具有收斂速度更快的優(yōu)點。

圖4 3種方法的方差系數(shù)收斂曲線Fig.4 Convergence curves of coefficient of variation of three methods

為了進(jìn)一步闡明MCEM加快Well-being評估收斂速度的原理，圖5給出了3種方法抽取到的風(fēng)險狀態(tài)和臨界狀態(tài)的統(tǒng)計分布。

圖5 不同方法抽取的系統(tǒng)狀態(tài)統(tǒng)計分布Fig.5 Statistical distribution of system states sampled by different methods

由圖5可見，CEM與MCS相比，CEM提高了風(fēng)險狀態(tài)的出現(xiàn)概率，但同時使得臨界狀態(tài)的出現(xiàn)概率減小，這意味著采用CEM將導(dǎo)致臨界指標(biāo)收斂性能變差；MCEM與MCS相比，MCEM抽取到風(fēng)險狀態(tài)和臨界狀態(tài)的概率均大于MCS，這意味著采用MCEM能同時提高風(fēng)險指標(biāo)和臨界指標(biāo)的收斂速度；MCEM與CEM相比，MCEM抽取到風(fēng)險狀態(tài)和臨界狀態(tài)的概率差異更小，因此MCEM保證了風(fēng)險指標(biāo)和臨界指標(biāo)收斂的均衡性。

4.2 EMCEM有效性分析

本文進(jìn)一步研究了多狀態(tài)負(fù)荷水平下進(jìn)行發(fā)電系統(tǒng)Well-being評估時的CEM改進(jìn)算法，本文首先采用k-均值聚類算法建立14狀態(tài)的負(fù)荷模型[19]，將14狀態(tài)負(fù)荷水平下的IEEE RTS79系統(tǒng)稱為MRTS2系統(tǒng)，以該系統(tǒng)為例驗證EMCEM的有效性。其中EMCEM的參數(shù)設(shè)置為：npre=25 000，γ=5%，ε=0.025，通過迭代計算得到權(quán)重系數(shù)α=0.591 7。

表2給出了4種方法MCS、CEM、ECEM、EM?CEM計算MRTS2發(fā)電系統(tǒng)Well-being指標(biāo)時的計算結(jié)果。其中CEM只針對兩狀態(tài)發(fā)電機(jī)故障參數(shù)尋優(yōu)，對于多狀態(tài)負(fù)荷仍然根據(jù)原始分布參數(shù)抽樣；ECEM和EMCEM則在兩狀態(tài)發(fā)電機(jī)故障參數(shù)尋優(yōu)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對多狀態(tài)負(fù)荷的分布參數(shù)尋優(yōu)，并根據(jù)優(yōu)化后的負(fù)荷狀態(tài)分布參數(shù)抽取負(fù)荷狀態(tài)。

表2 MRTS2發(fā)電系統(tǒng)Well-being評估方法的性能比較Tab.2 Comparison of performance among Well-being evaluation methods for MRTS2 power generation system

如表2所示，4種方法的計算結(jié)果十分接近，但是在抽樣效率上存在較大差別：①ECEM和EM?CEM的抽樣次數(shù)遠(yuǎn)小于CEM的抽樣次數(shù)，這是由于ECEM和EMCEM通過對多狀態(tài)負(fù)荷模型進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，進(jìn)一步提升了臨界狀態(tài)和風(fēng)險狀態(tài)的出現(xiàn)概率；②EMCEM小于MCEM的抽樣次數(shù)，這驗證了EMCEM針對多狀態(tài)隨機(jī)變量采用風(fēng)險指標(biāo)和臨界指標(biāo)指示函數(shù)進(jìn)行綜合參數(shù)尋優(yōu)的有效性和優(yōu)越性。

圖6給出了4種方法的指標(biāo)收斂曲線，圖中每條曲線的方差系數(shù)取自各方法收斂最慢的指標(biāo)的方差系數(shù)。由圖6可見，ECEM和EMCEM大大提高了Well-being指標(biāo)計算的收斂速度，與ECEM相比，EMCEM收斂速度更快。

圖6 不同方法的收斂曲線Fig.6 Convergence curves of different methods

為了進(jìn)一步闡明ECEM和EMCEM額外對多狀態(tài)負(fù)荷參數(shù)擴(kuò)展尋優(yōu)帶來的優(yōu)勢以及兩者的區(qū)別，圖7給出了MCS、ECEM和EMCEM抽樣時所采用的負(fù)荷概率分布圖，曲線上的點代表某一負(fù)荷水平及其出現(xiàn)概率。由圖7可見，同MCS相比，ECEM和EMCEM所采用的負(fù)荷模型中的中高水平負(fù)荷出現(xiàn)概率較大，而負(fù)荷需求較大時更容易出現(xiàn)切負(fù)荷狀態(tài)和臨界狀態(tài)，這正是交叉熵法提高指標(biāo)收斂速度的原因；同ECEM相比，EMCEM所采用的負(fù)荷概率分布模型的高水平負(fù)荷出現(xiàn)概率值相對小一些，但是中等偏高水平負(fù)荷概率值相對較大一些，這正好解釋了為什么EMCEM能在提高風(fēng)險指標(biāo)收斂速度的同時又保證了臨界指標(biāo)的收斂速度。

圖7 不同方法采用的負(fù)荷概率分布Fig.7 Probatility distrubution of load used by different methods

基于圖7所示的負(fù)荷分布模型，圖8進(jìn)一步給出了4種方法抽取到的系統(tǒng)臨界狀態(tài)和風(fēng)險狀態(tài)的統(tǒng)計分布。由圖8（a）可見，同其他方法相比，MCS抽取到的系統(tǒng)風(fēng)險狀態(tài)極少且難以觀察，為此S和CEM方法抽取到的風(fēng)險狀態(tài)統(tǒng)計分布的放大圖如圖8（b）所示。由圖8（a）和（b）可見：MCS抽樣難以保證臨界指標(biāo)和風(fēng)險指標(biāo)的收斂速度、抽樣效率低下；ECEM和EMCEM的臨界狀態(tài)和風(fēng)險狀態(tài)出現(xiàn)的概率都明顯高于MCS和CEM，這證明了針對多狀態(tài)隨機(jī)變量進(jìn)行擴(kuò)展交叉熵尋優(yōu)的有效性。另一方面，和ECEM相比，EMCEM抽取到的臨界狀態(tài)和風(fēng)險狀態(tài)的抽樣概率差值更小，從而保證了臨界指標(biāo)和風(fēng)險指標(biāo)收斂速度的均衡性，提高了系統(tǒng)的狀態(tài)抽樣效率。

圖8 不同方法的系統(tǒng)狀態(tài)統(tǒng)計分布Fig.8 Statistical distribution of system states sampled by different methods

5 結(jié)語

傳統(tǒng)的交叉熵方法可以有效提高電力系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的收斂速度，然而在將交叉熵方法用于電力系統(tǒng)Well-being評估時可能會出現(xiàn)臨界指標(biāo)收斂速度低于風(fēng)險指標(biāo)收斂速度且差距較大，導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)抽樣效率低下的問題。針對此問題，本文從交叉熵算法和電力系統(tǒng)Well-being評估的原理出發(fā)分析了出現(xiàn)該問題的原因，提出了能兼顧風(fēng)險指標(biāo)和臨界指標(biāo)收斂速度的多目標(biāo)交叉熵方法。該方法通過計算和引入權(quán)重系數(shù)獲取隨機(jī)變量的綜合分布參數(shù)，再基于綜合分布參數(shù)抽取系統(tǒng)狀態(tài)；在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了適用于含多狀態(tài)隨機(jī)變量的系統(tǒng)Well-being評估的擴(kuò)展多目標(biāo)交叉熵算法。最后，以IEEE RTS79系統(tǒng)為例進(jìn)行了算例分析，算例結(jié)果證明了所提出的適用于發(fā)電系統(tǒng)Well-being評估的改進(jìn)交叉熵方法的有效性。