潛沒式高趾墻穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)預測的多元非線性回歸模型

狄 鑫，孫淑華

（1.遼寧省水利水電科學研究院有限責任公司，遼寧沈陽，110055；2.安徽省合肥市肥西縣柿樹崗鄉(xiāng)人民政府，安徽合肥，231200）

0 引言

在面板堆石壩工程中，常采用混凝土高趾墻來解決趾板區(qū)地形、地質(zhì)條件缺陷及壩肩溢洪道、電站進水口等水工建筑物的協(xié)調(diào)布置問題。已建成的吉音混凝土面板壩[1]、新疆察汗烏蘇面板壩[2]、黃河公伯峽面板壩[3]、甲巖面板堆石壩[4]等，均采用了混凝土高趾墻作為補充結(jié)構(gòu)形式，且均運行正常，取得了良好的效果。但國內(nèi)外亦不乏高趾墻附近部位出現(xiàn)破壞的工程，最典型的案例是尼日利亞的希羅羅面板堆石壩，該壩在蓄水至最大壩高的65%時，漏水量突然增加，潛水檢查后發(fā)現(xiàn)河床部位面板與高趾墻連接處產(chǎn)生了裂縫。有學者認為，希羅羅壩周邊縫處面板開裂是由高趾墻在水壓力作用下發(fā)生轉(zhuǎn)動傾覆造成的。

在面板堆石壩運行期，高趾墻大多潛沒在水下，受堆石壓力、水壓力、揚壓力等荷載共同作用，工作條件較常規(guī)擋墻復雜。穩(wěn)定計算中，堆石壓力的合理確定對計算結(jié)果的可靠性影響很大，目前規(guī)范中沒有對堆石壓力的計算方法作出明確規(guī)定，只能參考類似規(guī)范，如SL 379—2007《水工擋土墻設(shè)計規(guī)范》[5]，但該類規(guī)范中表面荷載的形式與潛沒式高趾墻是不同的，直接套用可能會得出錯誤的結(jié)果，進而影響高趾墻穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)。近年來，學者們對高趾墻的穩(wěn)定計算做了相關(guān)研究：傅中志等[6]對潛沒式高趾墻土壓力與穩(wěn)定計算方法進行了研究，但計算方法較為復雜，對設(shè)計人員要求較高；吉恩躍等對潛沒式高趾墻土壓力分布及變化規(guī)律進行了研究，表明了由傳統(tǒng)土壓力理論（如庫倫理論）計算得到的高趾墻土壓力與實際土壓力差異顯著，不宜用于高趾墻穩(wěn)定和應力計算。

回歸分析方法是一種探求變量之間關(guān)系的技術(shù)方式，回歸分析又分為線性回歸分析和非線性回歸分析，目前關(guān)于線性回歸分析的研究方法和應用已相對成熟[7-9]，非線性回歸分析的發(fā)展相對滯后且緩慢，需要龐大且復雜的計算過程。隨著計算機技術(shù)的進步和計算軟件的迅速發(fā)展，非線性回歸分析的研究和應用也得到了快速發(fā)展[10-12]。在非線性回歸分析中，多元非線性回歸分析是通過對多個變量組成的非線性回歸方程擬合獲得模型，其中，通過非線性最小二乘法估計獲取模型的未知參數(shù)是最廣泛的做法。目前，多元非線性回歸模型運用廣泛[13-17]，如建立任意時刻基礎(chǔ)沉降量與填筑高度、彈性模量、壓縮層厚度、時間之間的多元非線性回歸模型，并采用現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)進行驗證，證實模型的普適性[18]。研究多因素（摻和料種類、水膠比、養(yǎng)護齡期、加速腐蝕劑）作用對鋼筋混凝土握裹力的影響，建立多因素共同作用影響鋼筋混凝土握裹力變化的多元非線性回歸分析模型[19]。

為了給設(shè)計人員提供一種方便又準確地計算高趾墻穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)的方法，加快設(shè)計進度，提出了面板堆石壩運行期潛沒式高趾墻穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)計算的多元非線性回歸模型。具體來說，首先通過接觸算法模擬高趾墻與墻后填土、面板與墊層的相互作用及面板與趾板間周邊縫的力學特性，計算面板堆石壩整體結(jié)構(gòu)在自重荷載、水荷載作用下的內(nèi)力情況；其次，采用積分運算得到高趾墻墻后土壓力，進而采用材料力學方法進行穩(wěn)定計算，得到穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)；最終，進行大量計算探究高趾墻上游坡比、下游坡比、頂寬、高度對穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)的影響規(guī)律，在此基礎(chǔ)上結(jié)合工程實際并基于預測模型，建立面板堆石壩運行期潛沒式高趾墻穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)預測的表達式。

1 本構(gòu)模型及參數(shù)

1.1 有限元模型

以國內(nèi)某面板堆石壩工程為例，最大壩高251 m，壩頂寬度12 m，上游坡比1∶1.6，下游綜合坡比1∶1.72。高趾墻高度50 m，上游坡比1∶0.2，下游坡比1∶0.7。采用有限元計算軟件進行大壩施工及蓄水過程模擬，面板堆石壩計算模型見圖1。計算模型左側(cè)為上游，右側(cè)為下游，模型被離散為20 455個單元、20 964個節(jié)點，模型主體采用四邊形單元，過渡部分采用三角形單元。

圖1 有限元計算模型Fig.1 Finite element calculation model

1.2 本構(gòu)模型及參數(shù)

土石壩設(shè)計規(guī)范中推薦采用鄧肯-張（Duncan-Chang）E-B模型[20]計算面板堆石壩的應力變形特性，其中切線彈性模量Et表示為：

其中，σ1為第一主應力；σ3為第三主應力；K為切線模量基數(shù)；n為彈性模量指數(shù)；c為黏聚力；φ為內(nèi)摩擦角；Rf為破壞比；pa為大氣壓力。卸荷狀態(tài)下堆石料的彈性模量Eur可表示為：

其中，Kur為卸載彈性模量基數(shù)。切線體積模量Bt為：

其中，φ0為初始內(nèi)摩擦角；Δφ為圍壓增加一個對數(shù)基數(shù)下內(nèi)摩擦角的減小值。

高趾墻、面板、趾板及基巖采用線彈性模型，各材料的計算參數(shù)如表1所示。

表1 材料計算參數(shù)Table 1 Material calculation parameters

面板與墊層、高趾墻與堆石料間相互作用采用Goodman單元模擬計算參數(shù)，見表2。Goodman單元模型是由Goodman等人提出的一種力學模型，在節(jié)點力{F}e作用下，兩片接觸面間的內(nèi)力為：

表2 Goodman接觸面單元模型參數(shù)Table 2 The parameters of Goodman contact surface element model

相應得兩片接觸面之間產(chǎn)生的相對位移為：

其中，τ為接觸面上的剪應力；σn為正應力；ωs為相對剪切位移；ωn為法向位移。

在線彈性假定下，應力與相對位移成正比，關(guān)系式為：

其中，ks和kn分別為切向和法向的單位長度勁度系數(shù)，由試驗確定，對于彈性材料為常量，若材料具有非線性特性，則為變量。

對于切向勁度系數(shù)ks，目前國內(nèi)普遍采用克拉夫和鄧肯等人依據(jù)直剪試驗所提出的τ～ωs雙曲線模型來確定，公式為：

其中，τ為接觸面上的剪應力；ωs為相對剪切位移；a、b為決定接觸面特性的試驗參數(shù)。

克拉夫和鄧肯認為剪應力和相對剪切位移之間符合雙曲線關(guān)系，則ks1、ks2表示為：

其中，k1、k2、Rf、n為非線性指標，通過試驗確定；τ1、τ2為相應方向的剪應力；δ是接觸面的界面摩擦角；γw是水的容重；pa是大氣壓。

該平面應變模型邊界條件為：約束基巖底部節(jié)點x、y方向位移及基巖側(cè)向x方向位移。

2 高趾墻參數(shù)對穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)的影響規(guī)律

采用控制變量法，研究各參數(shù)對穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)的影響規(guī)律。

（1）上游坡比：上游坡比影響高趾墻結(jié)構(gòu)自重、水壓力分布，從而影響穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)。因此，取上游坡比分別為1∶0.0、1∶0.2、1∶0.4，控制高趾墻高度50 m，頂寬10 m，下游坡比1∶0.9進行分析，得到規(guī)律如圖2所示。由圖2可知，穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與上游坡比呈線性關(guān)系，穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)隨上游坡比增大而增大。

圖2 穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與上游坡比關(guān)系Fig.2 Relationship between ratio coefficient of stability resistance and upstream slope ratio

（2）下游坡比：下游坡比影響高趾墻結(jié)構(gòu)自重、土壓力分布，從而影響穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)。因此，取下游坡比分別為1∶0.9、1∶0.7、1∶0.5，控制高趾墻高度50 m，頂寬10 m，上游坡比1∶0.0進行分析，得到規(guī)律如圖3所示。由圖3可知，穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與下游坡比呈線性關(guān)系，穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)隨下游坡比減小而減小。

圖3 穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與下游坡比關(guān)系Fig.3 Relationship between ratio coefficient of stability resistance and downstream slope ratio

（3）頂寬：頂寬影響高趾墻結(jié)構(gòu)自重、頂面水壓力，從而影響穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)。因此，取頂寬分別為10 m、15 m，控制高度50 m，上游坡比1∶0.0，下游坡比1∶0.9進行分析，得到規(guī)律如圖4所示。由圖4可知，穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與頂寬呈線性關(guān)系，穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)隨頂寬增大而增大。

圖4 穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與頂寬關(guān)系Fig.4 Relationship between ratio coefficient of stability resistance and crest width

（4）高度：為了方便工程人員應用，本研究以堆石壩高度與高趾墻高度之比的表達方式來描述高趾墻高度。高趾墻高度影響高趾墻結(jié)構(gòu)自重、土壓力分布，從而影響穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)。因此，取高趾墻高度分別為50 m、60 m和80 m，即堆石壩高度與高趾墻高度之比分別為5、4和3，頂寬10 m，上游坡比1∶0.2，下游坡比1∶0.7進行分析，得到規(guī)律如圖5所示。由圖5可知，穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與高度呈非線性關(guān)系，穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)隨高度增大而增大。

圖5 穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與高度關(guān)系Fig.5 Relationship between ratio coefficient of stability resistance and height

3 多元非線性回歸模型

由上述分析可知，高趾墻高度、上游坡比、下游坡比、頂寬這4個因素都對高趾墻穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)影響顯著。采用最小二乘法估計方法，建立影響因素與穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)間的非線性函數(shù)關(guān)系式。

高趾墻上游坡比、下游坡比、頂寬與穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)呈線性函數(shù)關(guān)系，所以穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與高趾墻上游坡比、下游坡比、頂寬間的函數(shù)關(guān)系如下：

式中，y為穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)；x為上游坡比、下游坡比或頂寬，頂寬單位為m；k為系數(shù)。

堆石壩高度與高趾墻高度之比和穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)呈非線性函數(shù)關(guān)系，所以穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與高度比的函數(shù)關(guān)系如下：

式中，y為穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)；x為堆石壩高度與高趾墻高度之比；k、n為系數(shù)。

高趾墻高度、上游坡比、下游坡比、頂寬這4個因素共同作用于穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)這一變量，并且4個自變量之間互相影響，為最大程度還原和模擬因變量與自變量間的函數(shù)關(guān)系，將函數(shù)形式設(shè)為：

式中，y為穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)；A為堆石壩高度與高趾墻高度之比；B為上游坡比；C為下游坡比；D為頂寬，單位為m；a為堆石壩高度與高趾墻高度之比參數(shù)；b為上游坡比參數(shù)；c為下游坡比參數(shù)；d為頂寬參數(shù)；k為總體回歸參數(shù)。

4 穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)預測

將不同類別的設(shè)計參數(shù)排列組合，形成36組水平組合，見表3。將表3中每一組水平組合作為高趾墻的幾何參數(shù)，基于已建好的有限元模型進行計算，通過積分計算獲取墻后土壓力，進而采用有限元提取土壓力計算高趾墻的穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)。將表3中的前30組樣本作為模型擬合樣本，以盡可能提高模型的精度；將后6組樣本作為預測樣本，對模型進行精度檢驗。

表3 設(shè)計參數(shù)組合樣本Table 3 Samples of design parameters

對樣本中的30組數(shù)據(jù)非線性擬合，根據(jù)最小二乘法建立穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與4個因素的預測模型為：

對該模型進行回歸分析，計算得均方誤差為0.210 4。利用函數(shù)返回得到置信度為95%的參數(shù)置信區(qū)間見表4。置信區(qū)間較窄，且不包含0，說明各個因素影響均不可或缺，模型較好。

表4 回歸參數(shù)置信區(qū)間Table 4 Confidence intervals of regression parameters

對該預測模型進行相關(guān)性分析，回歸系數(shù)為0.991 8，說明該預測模型對數(shù)據(jù)擬合的效果較好。

由式（14）計算所得的穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與真實值的對比見圖6。由圖中兩曲線的對比可看出，該多元非線性回歸模型的擬合效果較好。

圖6 多元非線性回歸模型擬合效果對比Fig.6 Comparison of fitting effect of the multivariate nonlinear regression model

利用該非線性回歸模型對6組樣本進行預測，預測值與真實值對比見圖7。由圖7可知，該回歸模型的預測結(jié)果較為準確。

圖7 多元非線性回歸模型預測結(jié)果擬合曲線Fig.7 Fitting curves of prediction results of the multivariate nonlinear regression model

針對多元非線性回歸模型的擬合樣本和預測樣本，計算預測絕對誤差與相對誤差，見表5。結(jié)果表明，36組樣本的平均預測絕對誤差為0.25，平均預測相對誤差為2.02%，說明模型的預測精度較高?？梢姸嘣蔷€性回歸模型的預測結(jié)果與真實值誤差較小，在實際工程中，可以滿足初設(shè)階段設(shè)計人員對高趾墻穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)預測精度的要求。

表5 預測樣本的預測結(jié)果及誤差Table 5 The results and errors of prediction samples

5 結(jié)語

基于大樣本的有限元數(shù)值模擬，獲得復雜受力及接觸效應下高趾墻的穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)。具體來說，通過接觸算法模擬高趾墻與墻后填土、面板與墊層的相互作用及面板與趾板間周邊縫的力學特性，計算面板堆石壩整體結(jié)構(gòu)在自重荷載、水荷載作用下的內(nèi)力情況。采用積分運算得到墻后土壓力，進而采用材料力學方法進行穩(wěn)定計算，得到抗力作用比系數(shù)。探究高趾墻上游坡比、下游坡比、頂寬、高度對穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)的影響規(guī)律，研究發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)與上游坡比、下游坡比、頂寬呈線性關(guān)系，而與高趾墻高度呈非線性關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，采用多元非線性回歸分析方法得到面板堆石壩運行期高趾墻穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)預測模型，通過本研究樣本的回歸分析表明，所建立的預測模型回歸系數(shù)較高，達到0.9以上，均方誤差較小。36組樣本的平均預測相對誤差為2.02%，預測精度較高。整體而言，本研究所構(gòu)建的用于潛沒式高趾墻穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)預測的多元非線性回歸模型，較為合理地反映了各個因素對穩(wěn)定抗力作用比系數(shù)的影響關(guān)系，且形式簡潔，便于工程應用，為初設(shè)階段高趾墻設(shè)計參數(shù)的確定提供了簡捷算法，加快了設(shè)計進度。