基于分數(shù)階模型的鋰電池SOC估計

段雙明，楊耀微

(東北電力大學現(xiàn)代電力系統(tǒng)仿真控制與綠色電能新技術(shù)教育部重點實驗室，吉林吉林 132012)

鋰電池具有能量密度高、循環(huán)壽命長及自放電小等優(yōu)點[1]，在儲能領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛[2]。但與其他形式能源不同，儲能系統(tǒng)中單體電池的剩余容量并不能直接測量出來[3]，因此電池過充過放現(xiàn)象時有發(fā)生，由此而引發(fā)的儲能系統(tǒng)安全事故問題引起了業(yè)界學者的足夠重視。電池荷電狀態(tài)的快速準確估計不但可以有效避免電池過度充放電導(dǎo)致的內(nèi)部永久性惡化問題，還能為鋰電池剩余工作時間的預(yù)測提供一個可靠的范圍[4]，現(xiàn)已成為眾多學者研究的熱點問題。

為準確預(yù)測電池荷電狀態(tài)，很多SOC估算方法被提出。文獻[5]提出一種改進蟻群算法(IACO)優(yōu)化粒子濾波(PF)估計電池荷電狀態(tài)。文獻[6]針對在優(yōu)化參數(shù)的過程中交叉、變異帶來隨機性的問題，提出了基于支持向量機算法對電池SOC進行實時估計。上述這些方法都需要大量的實驗數(shù)據(jù)，且很大程度上需要依靠訓練數(shù)據(jù)的準確性。在電池的使用過程中，隨著老化程度的不斷加劇，訓練數(shù)據(jù)會逐漸失效，進而影響實際的估計效果。文獻[4]針對自適應(yīng)擴展卡爾曼濾波(AEKF)算法運行初期收斂速度緩慢問題，提出模糊AEKF(FAEKF)算法加以改善，能夠快速收斂，但這種方法對電池模型中電容參數(shù)的變化體現(xiàn)不夠明顯。文獻[7]對分數(shù)階模型和普通整數(shù)階模型在建模技術(shù)和SOC估計方面進行了系統(tǒng)的比較，得出分數(shù)階模型的優(yōu)勢更明顯。然而，在使用過程中，由于電池老化問題加劇，電池健康狀態(tài)(SOH)的變化將會導(dǎo)致模型和容量不匹配，影響最終的估算結(jié)果。因此本文針對電池參數(shù)時變特性，選用二階RC 分數(shù)階模型，并提出一種基于FOUKF+VFFRLS 算法對電池SOC和SOH實現(xiàn)聯(lián)合估計。為提升計算效率，使用時間尺度分離計算方法，即電池參數(shù)宏尺度和電池狀態(tài)微尺度，并在UDDS 工況下驗證了所提方法的有效性和正確性。

1 電池模型

準確的電池模型是實現(xiàn)SOC精確估計的基礎(chǔ)[8]，不同模型有著各自特點。一階RC 模型結(jié)構(gòu)簡單但精確度不足，二階及高階次RC 模型能更精確地反應(yīng)電池內(nèi)部的動態(tài)特性，然而模型階數(shù)越高對計算的要求同樣也越高。因此，本文選用二階RC 等效電路模型。

1.1 二階RC 分數(shù)階模型

電池在實際動態(tài)工況中，由于內(nèi)部鋰離子的偏移運動，大多數(shù)電容器并不是表現(xiàn)出簡單的整數(shù)階特性，而是呈現(xiàn)出分數(shù)階特性[9]。本文采用的二階RC 模型包含兩個電容器，同樣適用于分數(shù)階微積分的應(yīng)用。二階RC 模型如圖1 所示。

圖1 二階RC 等效電路模型

分數(shù)階Grünwald-Letnikov 微積分公式為：

式中:Dα r為關(guān)于變量r的分數(shù)階微積分算子；α為系統(tǒng)的階數(shù)；T為采樣間隔時間；M為內(nèi)存或窗口長度；ωα j為牛頓二項式系數(shù)。

式(2)中，α的值決定了函數(shù)的類型。當α>0 時，函數(shù)是微分；當α=0 時，函數(shù)是原始函數(shù)；當α<0 時，函數(shù)是積分。公式如下：

根據(jù)圖1 中所示的等效電路模型，將二階RC 模型中的電容器換成分數(shù)階電容器，建立分數(shù)階RC 模型，則狀態(tài)空間方程可推導(dǎo)為：

1.2 參數(shù)辨識

模型中各參數(shù)辨識的準確程度將影響電池SOC的估算精度，目前普遍采用的方法是利用脈沖實驗進行參數(shù)辨識，這種方法簡單方便，但辨識結(jié)果的精度有待提高。因此，本文采用自適應(yīng)遺傳算法進行參數(shù)辨識，圖2 給出算法步驟。辨識后的結(jié)果如表1 所示。

圖2 自適應(yīng)遺傳算法步驟

表1 整數(shù)階與分數(shù)階模型參數(shù)

經(jīng)計算，整數(shù)階模型與分數(shù)階模型平均誤差分別為0.005 1、0.004 6 V，最大誤差分別為0.055 1 和0.033 5 V。從圖3 和圖4 中，我們可以看出分數(shù)階模型比整數(shù)階模型有更高的精確度，分數(shù)階模型更適合作為電池估算的模型。圖3～圖4 中，AGA 表示采用自適應(yīng)遺傳算法對分數(shù)階模型進行參數(shù)辨識，RLS 表示采用遞推最小二乘法對整數(shù)階模型進行參數(shù)辨識。圖3 中黑色曲線為實際值。

圖3 整數(shù)階與分數(shù)階模型電壓估計

圖4 整數(shù)階與分數(shù)階模型電壓估計與真實值的比較誤差

根據(jù)放電實驗[10]得到的電池開路電壓和電池SOC的數(shù)據(jù)，在Matlab 中利用polyfit 函數(shù)對端電壓與電池SOC關(guān)系進行擬合，最終擬合函數(shù)為：

2 電池SOC 和SOH 聯(lián)合估計

在電池實際運行中，電池SOC將隨著充放電電流而實時變化，對基于電池模型估計SOC的方法來說，電池參數(shù)R0隨電池老化會逐漸增大，導(dǎo)致最大容量衰減，影響電池SOC估計的準確度，因此，估計電池SOC時應(yīng)考慮電池SOH的影響。

2.1 分數(shù)階無跡卡爾曼濾波算法估計SOC

本文采用電容器分數(shù)階模型，使用基于unscented 變換的UKF 方法將非線性系統(tǒng)線性化，更有利于處理非線性問題，因此提出了分數(shù)階無跡卡爾曼濾波算法(FOUKF)。分數(shù)階無跡卡爾曼濾波算法的詳細步驟如下文。

對于非線性系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：

(1)參數(shù)初始化

令k=1，設(shè)置系統(tǒng)初值

式中：T 為矩陣的轉(zhuǎn)置。

(2)采樣點及權(quán)重值

式中：n為狀態(tài)向量的長度，本文中狀態(tài)向量長度為3。Wi為采樣點的權(quán)重，權(quán)重值計算如下所示：

(3)時間更新，將采樣點通過狀態(tài)函數(shù)從k-1 時刻傳遞到k時刻

(5)計算輸出預(yù)測值

(7)利用實際輸出值對后驗估計值修正

2.2 帶可變遺忘因子的最小二乘法

遞推最小二乘算法(RLS)在電池模型參數(shù)辨識方面已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用。其原理是利用當前時刻參數(shù)的辨識結(jié)果與下一時刻系統(tǒng)的輸入輸出量遞推出下一時刻系統(tǒng)的參數(shù)值，具體公式如下：

截止到2017年06月30號，株洲市現(xiàn)有“三合一”場所共2886家（隨生產(chǎn)周期不同，各統(tǒng)計階段數(shù)量有所差異），主要集中在合泰地區(qū)、月塘街道和龍泉街道，其中合泰地區(qū)為合泰“三合一”場所，共344家，月塘街道包括富家垅“三合一”場所及其他散戶，共1572家；龍泉街道包括康泰服飾工業(yè)園、新蘆淞工業(yè)園和其他散戶，共970家，如表1所示。

式中:e(k)、K(k)、P(k)分別為估計誤差，增益向量和參數(shù)協(xié)方差矩陣；λ為遺忘因子。對RLS 算法進行改進，可以得到帶可變遺忘因子的最小二乘算法(VFFRLS)，可變遺忘因子表達式為：

式中：λ(k)為可變遺忘因子；λmax和λmin分別為遺忘因子的最大值和最小值；NINT(x)為取整函數(shù)；ρ為敏感因子。

2.3 FOUKF+VFFRLS 算法

由于電池狀態(tài)隨時間變化比較明顯，而電池的參數(shù)在某個瞬間可認為是不變的。如果采用同一時間尺度，會降低系統(tǒng)的計算效率，因此，本文針對電池參數(shù)的慢變特性和電池狀態(tài)的快變特性，采用多尺度方法構(gòu)造離散時間狀態(tài)空間方程，即參數(shù)估計采用長時間尺度，狀態(tài)估計采用短時間尺度，分別在宏觀和微觀尺度預(yù)測系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài)。更具體地說，我們考慮離散時間非線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量x和參數(shù)變量q的情況。

式中：xk,l為時間tk,l=tk,0+l×T(1 ≤l≤L)的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，這里T為固定測量兩個相鄰點之間的采樣間隔，k和l分別是宏觀系統(tǒng)參數(shù)和微觀系統(tǒng)狀態(tài)的兩個時間尺度指標；uk,l為tk,l時刻的系統(tǒng)輸入矩陣；Yk,l為tk,l時刻的系統(tǒng)觀測(或測量)矩陣；wk,l和rk分別為狀態(tài)參數(shù)和模型參數(shù)的過程噪聲矩陣；vk,l為測量噪聲矩陣。需要強調(diào)的是：L為時間尺度分離的水平，即xk,0=xk-1,L；qk為第k個宏觀尺度下的參數(shù)矩陣，qk=qk,0:L-1。對于定義的系統(tǒng)，我們的目標是從噪聲觀測Y中估計系統(tǒng)狀態(tài)x和模型參數(shù)q。FOUKF+VFFRLS 方法具體步驟流程見圖5 所示。

圖5 FOUKF+VFFRLS 算法流程圖

初始參數(shù)設(shè)定后，根據(jù)充放電電壓和電流求得電池SOC值和電池模型參數(shù)值。電池參數(shù)隨工作時間進行變化，將會影響電池SOC的估計精度，電池SOC的改變也會對模型參數(shù)的數(shù)值產(chǎn)生影響。因此，將更新后的參數(shù)輸出量作為下一次SOC估計的輸入量，再將電池SOC估計的輸出量作為下一次參數(shù)估計的輸入量，從而實現(xiàn)電池SOC和SOH聯(lián)合在線估計。

3 實驗與驗證

為驗證本文所提FOUKF+VFFRLS 方法在儲能系統(tǒng)中預(yù)測性能的優(yōu)勢性，本文設(shè)計了混合動力脈沖能力測試(hybrid pulse power characteristic,HPPC) 實驗和 UDDS(urban dynamometer driving schedule)工況實驗，實驗選用了三元鋰電池進行測試。

(1)HPPC 實驗步驟：(a)采用恒流恒壓充電，截止電流為0.05C，靜置2 h；(b)以1C恒流放電3 min，靜置2 h；(c)重復(fù)上述步驟(b)，直至端電壓達到放電截止電壓，靜置2 h。

(2)UDDS 工況實驗步驟：(a)恒流恒壓充電，截至電流為0.05C，靜置30 min；(b)控制充電機按照UDDS 工況電流進行充放電；(c)重復(fù)上述步驟(b)，直至端電壓達到放電截止電壓。UDDS 工況電流如圖6 所示。

圖6 UDDS工況電流曲線

在UDDS 工況下對上述所提方法與EKF 算法、UKF 算法和FOUKF 算法進行比較，并作簡要分析。實驗前將電池充滿電并充分靜置。電池SOC估算結(jié)果及誤差對比如圖7 和圖8 所示。

圖7 SOC估算結(jié)果

圖8 電池SOC值誤差對比

從仿真的結(jié)果中我們可以看出，在全部的仿真時間里，幾種算法估計的電池SOC值都能很好地反應(yīng)出實際值的變化，但EKF 算法和UKF 算法由于沒有考慮到電容分數(shù)階特性，相對其他兩種方法誤差較大。FOUKF 算法雖采用分數(shù)階模型，卻未能考慮電池老化過程對SOC的影響。相比之下，F(xiàn)OUKF-VFFRLS 算法的平均誤差和最大估計誤差均比其他3 種方法的誤差小，分別較EKF 算法提升了0.9%和1.09%，較UKF 算法提升了0.87% 和1.07%，較FOUKF 算法提升了0.18%和0.14%。

從圖9 中可以看出，電池SOH值在真值附近波動并略有下降，符合電池實際運行時SOH的變化規(guī)律，最大誤差控制在0.6%以內(nèi)，滿足了估算精度要求。

圖9 SOH估計結(jié)果

由以上分析可知，該算法反映了電池的實際特性，且在復(fù)雜電流工況下得到了較高的估計精度，充分體現(xiàn)了本文所提出的聯(lián)合估計算法的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

為提高電池SOC估算精度，本文提出了一種基于FOUKF-VFFRLS 算法的鋰電池SOC估算方法，并在UDDS工況下與多種SOC估算方法進行對比，得出以下結(jié)論。

(1)分數(shù)階模型比整數(shù)階模型能更精確地表示出電池運行時的動態(tài)特性，具有更高的精確度。

(2)電池老化過程會影響SOC的估計精度，考慮電池SOH等因素能更精準地估計出電池SOC。

(3)FOUKF-VFFRLS 算法比FOUKF 等算法更適合用于對鋰電池SOC的預(yù)測。