基于動(dòng)態(tài)相量法的三相雙有源橋直流變換器閉環(huán)系統(tǒng)建模與穩(wěn)定性分析

鐘慶，梁銘，趙宇明，王鋼，汪隆君

（1.華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣州 510640；2.深圳供電局有限公司，廣東 深圳 518000）

0 引言

隨著人類對(duì)可再生電源的探索，大量分布式電源接入電網(wǎng)，分布式電源和儲(chǔ)能系統(tǒng)的可靠接入方式成為當(dāng)前智能電網(wǎng)構(gòu)建的重要目標(biāo)之一。相比于可再生能源的交流并網(wǎng)方式，直流并網(wǎng)方式的要求更低而且穩(wěn)定性更高，具有較強(qiáng)的故障穿越和隔離能力[1-2]。這使得不同電壓等級(jí)和功率容量之間的直流電能在直流電網(wǎng)、分布式電源、負(fù)荷之間流動(dòng)，雙向DC/DC 變換器作為直流電能傳遞的核心裝置從而倍受關(guān)注[3-5]。雙向DC/DC 變換器的拓?fù)涠鄻?，其中雙有源全橋直流變換器以其控制簡(jiǎn)單、具有電氣隔離、開關(guān)管電壓電流應(yīng)力較小等優(yōu)點(diǎn)得到廣泛認(rèn)可[6-7]。三相DAB 直流變換器相比于單相DAB 直流變換器，擁有更高的功率密度和傳輸效率，適用于中、高功率場(chǎng)合，逐漸成為近些年研究的熱點(diǎn)[8]。

在對(duì)DAB 直流變換器的控制方面，有單移相（single phase shift，SPS）[9]、雙移相（dual phase shift，DPS）[10]、擴(kuò)展移相（extend phase shift，EPS）[11]、三重移相（triple phase shift，TPS）[12]等控制策略。SPS 控制雖然控制靈活度較低，但由于控制簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)而被廣泛采用。其余控制策略的控制自由度較高，但復(fù)雜度也相對(duì)提升，部分控制參數(shù)較難確定，實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較困難。

為了設(shè)計(jì)閉環(huán)控制器和分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，需要建立DAB 直流變換器的數(shù)學(xué)模型。動(dòng)態(tài)相量可將原始時(shí)域信號(hào)分解成基頻信號(hào)與高次諧波信號(hào)，描述了原始時(shí)域波形近似的包絡(luò)線，可精確反映原始波形的動(dòng)態(tài)特征。文獻(xiàn)[13-14]給出了使用動(dòng)態(tài)相量對(duì)電壓源型換流器（voltage source converter，VSC）進(jìn)行建模的過(guò)程。DAB 直流變換器可視為兩個(gè)VSC 的連接，故常規(guī)VSC 的建模方法對(duì)DAB 變換器仍適用。文獻(xiàn)[15]使用動(dòng)態(tài)相量建立了三相DAB直流換流器的多頻模型，但是建模部分僅涉及開環(huán)情況，未將閉環(huán)控制器考慮到模型中。

為此，本文建立了SPS 控制策略下的三相DAB直流變換器的動(dòng)態(tài)相量模型，建模中考慮了閉環(huán)控制器，推導(dǎo)得到基于動(dòng)態(tài)相量的小信號(hào)模型，根據(jù)小信號(hào)模型系統(tǒng)矩陣的特征值判斷閉環(huán)系統(tǒng)的小信號(hào)穩(wěn)定性，研究了控制器參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)穩(wěn)定性分析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

1 三相DAB直流變換器動(dòng)態(tài)相量模型

1.1 動(dòng)態(tài)相量法的概念

動(dòng)態(tài)相量法是一種以時(shí)變傅里葉分解為基礎(chǔ)的平均值法，主要將時(shí)域中快速變化以T為周期的時(shí)域信號(hào)在時(shí)間間隔τ∈(t-T,t)上表示為時(shí)變傅里葉級(jí)數(shù)的形式，公式為

第k次傅里葉系數(shù)為

定義x k(t)為第k階動(dòng)態(tài)相量，根據(jù)時(shí)變傅里葉級(jí)數(shù)的階數(shù)來(lái)定義動(dòng)態(tài)相量的階數(shù)。動(dòng)態(tài)相量法的本質(zhì)是在寬度為T的時(shí)間窗內(nèi)，建立以動(dòng)態(tài)相量為系數(shù)的時(shí)變傅里葉級(jí)數(shù)，而時(shí)變傅里葉級(jí)數(shù)則是根據(jù)滑動(dòng)的時(shí)間窗在時(shí)間軸上移動(dòng)而分解計(jì)算出來(lái)的。

1.2 變換器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖1 給出了三相DAB 直流變換器簡(jiǎn)單閉環(huán)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。為便于分析，將TN視為變比為N:1的高頻理想變壓器，忽略其勵(lì)磁電感，將漏感歸算到一次側(cè)。La、Lb、Lc為交流側(cè)三相電感與變壓器漏感之和的等效電感，Ra、Rb、Rc為開關(guān)電阻、電感電阻、變壓器電阻之和的等效電阻。va1、vb1、vc1和va2、vb2、vc2為兩側(cè)三相全橋的交流相電壓，ia、ib、ic為變壓器一次側(cè)相電流。v1和v2分別為DAB 變換器輸入側(cè)和輸出側(cè)的直流電壓，ii和io分別為一次側(cè)和二次側(cè)的直流電流，i1和i2為流入變換器與流出變換器的電流，Cin、Co為輸入和輸出側(cè)電容。vref為輸出電壓參考值。D為移相占空比，表示兩側(cè)全橋的同一相開關(guān)函數(shù)的相位之差與周期的比值。

圖1 三相DAB直流變換器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topology of three-phase DAB DC converter

在SPS 控制策略下，令各開關(guān)驅(qū)動(dòng)信號(hào)的占空比均為0.5，a、b、c 三相開關(guān)驅(qū)動(dòng)信號(hào)各相差120°。當(dāng)D＞0 時(shí)，功率方向由v1側(cè)流往v2側(cè)；當(dāng)D＜0 時(shí)，功率方向由v2側(cè)流往v1側(cè)。由于DAB 變換器的功率流動(dòng)具有對(duì)稱性，本文在v2側(cè)接入負(fù)載電阻，針對(duì)D＞0 情況進(jìn)行分析。

1.3 狀態(tài)空間模型

根據(jù)圖1 的三相DAB 直流變換器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，假設(shè)交流側(cè)三相電路對(duì)稱且對(duì)稱調(diào)制，Ra=Rb=Rc=R，La=Lb=Lc=L，負(fù)載電阻為RL。

對(duì)于變壓器一次側(cè)的交流回路，各相電流滿足為

式中：vTa1、vTb1、vTc1為變壓器一次側(cè)相電壓；ωs為開關(guān)信號(hào)的角頻率，以此作為動(dòng)態(tài)相量的基頻；sa1、sb1、sc1為變壓器一次側(cè)換流器的三相開關(guān)函數(shù)。

由變壓器一二次側(cè)電壓電流關(guān)系，有公式為

式中，sa2、sb2、sc2為變壓器二次側(cè)換流器的三相開關(guān)函數(shù)。

變壓器二次側(cè)換流器的直流側(cè)電壓滿足公式為

對(duì)于閉環(huán)控制部分，定義電壓環(huán)PI 調(diào)節(jié)器的積分部分輸出為狀態(tài)變量xdc，則有公式為

PI 控制器的輸出為移相比，其公式為

式中，kp、ki分別為PI 控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù)。

SPS 控制模式下兩側(cè)三相開關(guān)驅(qū)動(dòng)信號(hào)均為相位互差120°、占空比為50% 的方波，根據(jù)式可計(jì)算得到兩側(cè)開關(guān)函數(shù)的k階動(dòng)態(tài)相量，以A 相為例有：

為便于模型的建立與求解，假設(shè)輸入電壓v1為恒定的理想直流電源，其值為V1；vref只有零階分量，其值為Vref；v2的動(dòng)態(tài)分量極小，為簡(jiǎn)化分析忽略高階分量，假設(shè)只有零階分量，即

令x和u分別作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入變量，具體公式為

式中，n為所考慮的動(dòng)態(tài)相量總階數(shù)。

i k形式如下：

根據(jù)式和式所選擇的狀態(tài)變量和輸入變量，得到狀態(tài)方程的矩陣形式為

系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B分別為

矩陣A和B中元素AL,k、AR,k、Hk、Bk（k=1，2，…，n）的具體形式參見附錄。

2 三相DAB直流變換器的穩(wěn)定性分析及小信號(hào)模型

2.1 穩(wěn)定性分析

根據(jù)李雅普諾夫第一法，可以通過(guò)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于線性系統(tǒng)，求解出特征方程的根即可作出穩(wěn)定性判斷。對(duì)于非線性系統(tǒng)，則可以通過(guò)線性化的方法，取其一次近似得到線性化方程，然后再根據(jù)其特征值來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性[16]。

由式（14）所示的狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，用一組同維矢量函數(shù)來(lái)表示，公式為

設(shè)xe、ue為其平衡狀態(tài)，為討論系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性，將非線性矢量函數(shù)f（x，u，t）在鄰域內(nèi)展開成泰勒級(jí)數(shù)，公式為

如果令Δx=x-xe和Δu=u-ue，并取式（18）的一次近似式，可以得到系統(tǒng)線性化的小信號(hào)模型，公式為

式中

在式（19）的基礎(chǔ)上，若小信號(hào)模型中的AΔ矩陣沒有實(shí)部為零的特征值，則非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以完全由線性化后得到的小信號(hào)模型的穩(wěn)定性來(lái)決定。如果AΔ的所有特征值實(shí)部都為負(fù)，系統(tǒng)則是漸進(jìn)穩(wěn)定的；如果AΔ的特征值至少有一個(gè)實(shí)部為正，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的；如果AΔ的特征值至少有一個(gè)實(shí)部為零，而其他特征值的實(shí)部均為負(fù)時(shí)，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

2.2 小信號(hào)模型

為得到三相DAB 直流變換器閉環(huán)系統(tǒng)的小信號(hào)模型，對(duì)以下變量引入小信號(hào)，公式為分別為小信號(hào)值；

將式（14）進(jìn)行泰勒展開后忽略二階及以上高階分量，得到式（19）所示的小信號(hào)模型。小信號(hào)模型的狀態(tài)變量和輸入變量分別為

其中，

小信號(hào)模型的系統(tǒng)矩陣AΔ和輸入矩陣BΔ為

矩陣AΔ和BΔ中元素K1、K2、KL,k、KR,k、KJ,k、B1、BL,k、BR,k（k=1，2，…，n）的具體形式參見附錄。

3 分析與驗(yàn)證

3.1 參數(shù)設(shè)置

為驗(yàn)證使用本文所建模型分析系統(tǒng)小信號(hào)穩(wěn)定性的正確性，對(duì)表1 所示三相DAB 直流變換器參數(shù)模型進(jìn)行分析。

表1 三相DAB直流變換器參數(shù)Table 1 Parameters of three phase DAB converter

3.2 特征值分析

基于前文推導(dǎo)的三相DAB 直流變換器小信號(hào)模型，分析其系統(tǒng)矩陣AΔ的特征值，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)輸出直流電壓達(dá)到120 V 時(shí)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，以11 階的小信號(hào)模型進(jìn)行研究。為觀察控制參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，使用控制變量法來(lái)進(jìn)行分析。

令積分系數(shù)ki=0.1，將比例系數(shù)kp由5×10-8逐漸增加到3×10-6，AΔ矩陣的主導(dǎo)特征值的變化如圖2（a）所示。當(dāng)kp=5×10-8時(shí)，一對(duì)主導(dǎo)特征值處于右半平面，系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài)，隨著kp的增大，這對(duì)主導(dǎo)特征值向虛軸靠近，增大到5.4×10-8時(shí)穿過(guò)左半平面，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)kp繼續(xù)增大，這對(duì)特征值在遠(yuǎn)離虛軸的同時(shí)，另一對(duì)原來(lái)位于左半平面的特征值向虛軸靠攏，增大到2.68×10-6時(shí)穿過(guò)右半平面，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)?？梢?，過(guò)大或過(guò)小的比例系數(shù)均會(huì)使系統(tǒng)失去穩(wěn)定，在本例中使系統(tǒng)穩(wěn)定的比例系數(shù)區(qū)間為5.4×10-8～2.68×10-6。

令比例系數(shù)kp=1.5×10-6，將積分系數(shù)由0.1 逐漸增大到1.2，AΔ矩陣的主導(dǎo)特征值的變化如圖2（b）所示。當(dāng)ki=0.1 時(shí)，特征值均位于左半平面，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，隨著ki的增大，一對(duì)特征值向虛軸靠近，增大到1.04 時(shí)穿向右半平面，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。由此可見，積分系數(shù)過(guò)大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失去穩(wěn)定，本例中使系統(tǒng)穩(wěn)定的積分系數(shù)應(yīng)小于1.04。

圖2 控制參數(shù)改變時(shí)主導(dǎo)特征值的變化情況Fig.2 Variation of dominant eigenvalues with variation of control parameter

考慮工作情況及其穩(wěn)定性判斷見表2 所示的4種工作情況。根據(jù)圖2 的特征值計(jì)算結(jié)果，工況1、2、3 有一組特征值位于右半平面，含實(shí)部為正的特征值，故可判斷為不穩(wěn)定情況；工況4 的特征值均位于左半平面，故可判斷為穩(wěn)定情況。

表2 考慮工作情況及其穩(wěn)定性判斷Table 2 Work conditions considered and its stability judgment

3.3 仿真驗(yàn)證

在Matlab/Simulink 中建立仿真模型，對(duì)以上所考慮工況的穩(wěn)定情況進(jìn)行驗(yàn)證。系統(tǒng)初始運(yùn)行在工況4，在0.15 s 時(shí)分別將控制參數(shù)階躍變化到工況1、2、3，不同工況對(duì)應(yīng)的輸出直流電壓波形見圖3。

圖3 工況變化時(shí)直流電壓仿真波形Fig.3 Simulation waveform of DC voltage with condition variation

由圖3 可知，系統(tǒng)初始時(shí)在工況4 時(shí)是能夠穩(wěn)定運(yùn)行的，當(dāng)分別階躍到工況1、2、3 時(shí)，輸出側(cè)直流電壓呈現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)，與表2 判斷結(jié)果相符合。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于動(dòng)態(tài)相量法，建立了考慮閉環(huán)控制器的SPS 控制策略下三相DAB 直流變換器小信號(hào)模型，所提模型能夠正確分析系統(tǒng)的小信號(hào)穩(wěn)定性，通過(guò)仿真驗(yàn)證得到以下結(jié)論：過(guò)大或過(guò)小的比例系數(shù)、過(guò)大和積分系數(shù)均會(huì)使系統(tǒng)失去穩(wěn)定，要使系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行需將控制器參數(shù)限制在一定范圍內(nèi)。

本文利用動(dòng)態(tài)相量對(duì)使用SPS 控制策略的三相DAB 直流變換器進(jìn)行建模分析的方法，能夠?yàn)槭褂闷渌刂撇呗缘腄AB 變換器小信號(hào)建模及穩(wěn)定性分析提供新思路。

附錄A

對(duì)于矩陣A中元素：

對(duì)于矩陣B中元素：

對(duì)于矩陣AΔ中元素：

對(duì)于矩陣BΔ中元素：