塑性力學教學中Mises屈服準則幾何軌跡證明1)

梅瑞斌 包 立 劉相華 *

*(東北大學材料與科學工程學院，沈陽 110819)

?(東北大學秦皇島分校，河北秦皇島 066004)

屈服準則最早起源于巖土、巖石研究，常見的有用于金屬塑性屈服的米塞斯（Mises）、屈雷斯加（Tresca）準則以及用于巖土力學分析的德魯克–普拉格（Drucker–Prager）、莫爾–庫侖（Mohr–Coulomb）、辛凱維奇–潘德（Zienkiewicz–Pande）等準則，而金屬塑性力學中主要介紹Mises屈服準則和Tresca屈服準則物理意義、數(shù)學表達式異同以及幾何軌跡關系。作為塑性力學的基礎理論，屈服準則在力學分析和參數(shù)優(yōu)化中占據(jù)著重要地位[1-4]，也是各高校金屬塑性成形力學[5]、塑性加工力學基礎[6]、塑性力學基礎[7]、彈塑性力學[8]等塑性力學類課程以及金屬塑性成形原理[9]、材料成形原理[10]等塑性原理類相關課程中重點講授的知識點。目前教材中關于幾何軌跡解釋和證明較為簡略，導致課程講授中學生對屈服準則的幾何軌跡理解不深刻、不透徹。為此，本文從學生理解角度對屈服準則幾何軌跡進行了梳理和證明，根據(jù)多年教學實踐效果表明該方法對學生加深屈服準則知識點理解有較大幫助。

1 平面應力條件下屈服準則軌跡證明

Tresca屈服準則是1864年法國工程師Tresca提出的最大剪應力準則，即：對同一金屬在同樣的變形條件下，無論是簡單應力狀態(tài)還是復雜應力狀態(tài)，只要最大剪應力達到某一極值就發(fā)生屈服，然后分別引入拉伸屈服強度σs和剪切屈服強度k后，該準則可以描述為

1913年，Mises從數(shù)學角度推導了Mises屈服準則表達式，1924年，漢基證明了該表達式為能量準則，即：對各向同性材料來說，當變形體內部所積累的單位體積彈性變形能達到一定值時，材料發(fā)生屈服且該變形能只與材料性質有關，而與應力狀態(tài)無關。引入拉伸屈服強度σs和剪切屈服強度k后，該準則可以描述為

對于Mises屈服準則來說，假定在主應力坐標系下，σ3=0 ，將其代入準則表達式可以得到

令σ1-σ2/2=x，σ2/2=y，則式 (3)變?yōu)?/p>

式（4）所示的幾何圖形為標準橢圓，長半軸為σs，短半軸為。又由假設σ1=x+y，σ2=2y，可得Mises屈服準則平面條件下σ1和σ2在σ3=0平面內是橢圓，與標準橢圓相比，軸向旋轉45°（圖1(a)所示），旋轉后長半軸變?yōu)?，短半軸變?yōu)椤τ赥resca屈服準則來說，假定σs＞0 ，σ3=0 ，則可以得到Tresca屈服準則為Mises準則的內接六邊形（圖1(b)所示）。

圖1 平面應力下屈服準則的幾何圖形

在平面應力條件下Mises屈服準則幾何軌跡是橢圓，為進一步分析，從平面直角坐標系出發(fā)，對該橢圓方程進行證明。

證明：假設坐標系O-XY和坐標系O'-X'Y'的關系如圖2所示。

對于圖2所示坐標系，進行如下描述：坐標系O-XY逆時針旋轉θ后與坐標系O'-X'Y'重合，或者表述為坐標系O'-X'Y'順時針旋轉θ后與坐標系O-XY重合，利用數(shù)學上的坐標變換相關知識可以得到

圖2 旋轉矩陣與坐標系變換

對于Mises屈服準則的幾何變換，坐標變換關系表述為

由式（6）可得新舊坐標系下應力關系表達式為

將式（7）代入到平面應力條件下的Mises屈服準則表達式（2）中，可得

令 c o s(2θ)=0 ， s i n(2θ)=1 ，即θ=，可得到

將式（9）進行標準化處理后得到

式（10）為標準的橢圓方程，根據(jù)矩陣變換條件可知，平面應力狀態(tài)的下Mises屈服準則是由標準橢圓逆時針旋轉45°得到，其長半軸及短半軸長度分別為和。

所以，圖1中所示六邊形ABCDEF為Tresca屈服準則幾何軌跡，外接橢圓軌跡為Mises屈服準則幾何軌跡。

2 空間米塞斯屈服準則幾何證明

Mises屈服準則平面幾何軌跡為橢圓，故在空間中只有橢圓面和圓柱面兩種可能。假設一點P的應力狀態(tài)(σ1,σ2,σ3)可用向量OP來表示，如圖3所示。

圖3 向量 O P 及幾何圖形示意圖

過坐標原點O作與坐標軸成等傾角的直線ON，向量OP在該直線上的投影為OM，由此，向量OP可分解為向量OM與MP且有

由圖3很容易得到OP線段的模為|OP|2=所以MP線段的模為

為求得OM的模，令M點的坐標為x，y和z，OP矢量為（x,y,z），根據(jù)矢量關系，MP矢量為(x-σ1,y-σ2,z-σ3)，由于OM⊥MP，所以

故，矢量OM的模為

將OP和OM向量的模代入式（12）后，可得矢量MP的模為

由式（14）可以看出，以OM為軸心，MP為半徑，旋轉形成一個圓柱面，其該圓柱面的半徑與平面應力條件下Mises屈服準則橢圓的短半軸相等。如果能證明該圓柱面與σ3=0 平面的交線和式（10）表示的橢圓的長半軸相等，則可推出該圓柱面即為Mises屈服準則的空間幾何軌跡。

證明：由圖3可知，OM與三個坐標軸成等傾角，方向余弦為，過M點作σ1和σ2組成的平面的垂線，交點為F，連接OF并延伸至G。

根據(jù)M點和F點坐標能夠得到線段OF的長度為，于是

將MG長度代入式（15）可得到線段OG長度為，正好等于平面應力條件下橢圓長半軸的值。所以該空間圓柱面與σ3=0 平面相交曲線是長半軸為，短半軸為的橢圓幾何軌跡。

由此得證，Mises屈服準則的空間圖形是以直線ON為軸線，以為半徑的圓柱面，該圓柱面軸心線方向與三個主坐標軸夾角相同。根據(jù)Mises屈服準則和Tresca屈服準則平面關系可以證明Tresca屈服準則的空間圖形為正六棱柱面。

3 Tresca與Mises幾何軌跡關系

由前述可知，用拉伸屈服應力σs描述的Mises屈服準則空間軌跡為圓柱面，而Tresca屈服準則為內接正六邊形，如圖1(b)所示。在引入羅德系數(shù)條件下，Mises屈服準則可以簡化為

其中，μd為羅德系數(shù)，β為簡化系數(shù)。

一般根據(jù)式（16）可知：（1）軸對稱應力狀態(tài)下，β=1 ，兩個屈服準則表達形式相同；（2）平面應變或純剪應力狀態(tài)下，，兩個準則差別最大。

實際上，當屈服準則用剪切屈服強度k描述時，由于Mises屈服準則下故式（16）表示的Mises屈服準則簡化形式描述為

根據(jù)式（17）可知：（1）軸對稱應力狀態(tài)下，β=1時，Mises屈服準則，而Tresca屈服準則σ1-σ3=2k，兩個準則形式并不相等；（2）平面應變或純剪應力狀態(tài)下，時，Mises屈服準則σ1-σ3=2k，和Tresca屈服準則表達形式相同。

綜上所述，不難得到當用剪切屈服強度描述屈服準則時，Mises屈服準則和Tresca屈服準則表達式形式與采用拉伸屈服強度描述時正好相反。如果用σs描述屈服準則，Tresca內接于Mises屈服準則幾何軌跡，而如果用k來描述，則平面應力條件下的屈服準則幾何軌跡如圖4所示，此時，Tresca屈服準則仍然為六邊形，Mises屈服準則為橢圓，橢圓內接于六邊形，空間圖形也是如此。

圖4 剪應力常數(shù)描述時平面應力條件的屈服準則幾何軌跡

4 結論

針對塑性力學教學和應用中的重點知識，從教學和學生學習角度利用坐標變換和幾何關系推導證明了Mises和Tresca屈服準則的幾何軌跡，討論了兩個準則表達式以及幾何軌跡的關聯(lián)性和本質區(qū)別。平面應力條件下Mises和Tresca為橢圓和六邊形，空間圖形為圓柱面和正六棱柱面，當準則用屈服應力σs表示時，Tresca幾何軌跡內接于Mises幾何軌跡，當用剪切屈服強度k表示時，Tresca幾何軌跡外接于Mises幾何軌跡。