如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維和能力（2）：定性與定量

高云峰

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084)

作為一名高校理論力學(xué)教師，在理論力學(xué)的第一次課程中，我會(huì)介紹這樣一張圖（圖1），它表明理論力學(xué)在處理實(shí)際工程問題中的位置。由于學(xué)時(shí)所限，力學(xué)課程的內(nèi)容主要限定在如何從“力學(xué)模型”到“數(shù)學(xué)模型”。我們?nèi)狈Α肮こ虇栴}”簡(jiǎn)化為“力學(xué)模型”的環(huán)節(jié)，學(xué)生做作業(yè)或考試直接面對(duì)的就是已經(jīng)簡(jiǎn)化好的力學(xué)模型（具體題目）；我們也缺乏“數(shù)學(xué)模型”如何“分析計(jì)算”的環(huán)節(jié)，雖然學(xué)生在數(shù)學(xué)課程中學(xué)過必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，但與力學(xué)的關(guān)系有點(diǎn)遠(yuǎn)；我們更缺乏“實(shí)施”環(huán)節(jié)，也許學(xué)生要等到畢業(yè)設(shè)計(jì)才有一點(diǎn)實(shí)踐的機(jī)會(huì)。

圖1 理論力學(xué)在實(shí)際問題處理中的位置

一般來說，從“工程問題”到“力學(xué)模型”，需要力學(xué)知識(shí)和工程經(jīng)驗(yàn)，也需要定性分析的方法（見后面具體案例）；而從“力學(xué)模型”到“數(shù)學(xué)模型”再到“分析計(jì)算”，更接近平時(shí)的作業(yè)，需要應(yīng)用具體的力學(xué)知識(shí)和定量分析的方法。

定量分析是依據(jù)數(shù)據(jù)和模型，計(jì)算出分析對(duì)象的各項(xiàng)指標(biāo)及其數(shù)值的一種方法。定性分析主要是憑直覺、經(jīng)驗(yàn)，對(duì)分析對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)、變化規(guī)律作出判斷的一種方法。

定量分析的特點(diǎn)是問題的數(shù)據(jù)和模型已知，傳統(tǒng)力學(xué)的作業(yè)就是典型的定量分析問題：題目給出了模型（各種結(jié)構(gòu)、機(jī)構(gòu)等），給出了數(shù)據(jù)（已知條件）；定性分析的特點(diǎn)則是問題的數(shù)據(jù)或模型不清楚，在數(shù)據(jù)不充分或者模型建立之前比較適用。兩種分析方法各有特點(diǎn)，傳統(tǒng)教育偏重于定量分析，涉及定性分析的內(nèi)容很少。實(shí)際上，現(xiàn)代定性分析方法同樣要采用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行計(jì)算，而定量分析則必須建立在定性預(yù)測(cè)基礎(chǔ)上，二者相輔相成，定性是定量的依據(jù)，定量是定性的具體化，二者結(jié)合起來靈活運(yùn)用才能取得更佳效果。

在發(fā)明創(chuàng)造中也十分需要定性和定量分析。一個(gè)裝置發(fā)明出來之前，并不清楚內(nèi)部會(huì)是什么結(jié)構(gòu)，因此也無法進(jìn)行直接的分析計(jì)算。發(fā)明是根據(jù)希望的功能或特點(diǎn)，逆向設(shè)計(jì)系統(tǒng)可能的結(jié)構(gòu)形式，在得到大致的結(jié)構(gòu)后，再利用定量分析的方法確定精確的參數(shù)。

下面幾個(gè)案例從不同的角度介紹了定性與定量分析的方法，可以讓學(xué)生體會(huì)到定性與定量分析相結(jié)合，既簡(jiǎn)單又巧妙地解決問題。

1 落體運(yùn)動(dòng)的定性分析

物體自由下落時(shí)，由于地球的自轉(zhuǎn)，落體并不是沿著鉛垂線下落。在北半球，物體下落時(shí)科氏加速度向西，因此科氏慣性力向東（圖2），使得物體向東偏，而向東的運(yùn)動(dòng)又引起物體向南偏[1]。

圖2 非慣性系中解釋落體偏東南

為了訓(xùn)練學(xué)生的思維，我會(huì)提出問題：如何在慣性系中解釋落體會(huì)偏東、偏南呢？

物體在A點(diǎn)釋放前，相對(duì)地面B點(diǎn)靜止（B點(diǎn)是A點(diǎn)的垂線與地面的交點(diǎn)）。在慣性空間看，A和B同時(shí)繞地軸自西向東運(yùn)動(dòng)，且有

因此物體從A點(diǎn)下落過程中向東偏，而B點(diǎn)也自西向東運(yùn)動(dòng)。根據(jù)式（1），物體向東運(yùn)動(dòng)的速度更大些，因此落體落在B點(diǎn)的東邊，落體向東偏（圖3）。

圖3 慣性系中解釋落體偏東

如何解釋向南偏呢？在慣性空間看，物體以初速度vA做拋物線運(yùn)動(dòng)（更準(zhǔn)確說是圓錐曲線運(yùn)動(dòng)），運(yùn)動(dòng)軌跡在由速度vA與AB連線構(gòu)成的平面內(nèi)，該平面與過B點(diǎn)的經(jīng)線相切（圖4）。從AB角度俯視，當(dāng)物體從A點(diǎn)落到地面A*時(shí)，B點(diǎn)沿著經(jīng)線運(yùn)動(dòng)到B*（圖5）。注意到北極點(diǎn)在經(jīng)線圈內(nèi)，沿經(jīng)線運(yùn)動(dòng)時(shí)不算偏北也不算偏南，進(jìn)入經(jīng)線圈內(nèi)算偏北，出了經(jīng)線圈外面算偏南。A*點(diǎn)在經(jīng)線之外，因此落體偏南。

圖4 慣性系中解釋落體偏南

圖5 沿AB方向俯視圖

可以發(fā)現(xiàn)在慣性系中解釋落體偏東偏南比較麻煩，但這是學(xué)生利用概念解釋某種現(xiàn)象的一次鍛煉。

2 四葉玫瑰線的定性和定量分析

在講授運(yùn)動(dòng)學(xué)的知識(shí)時(shí)，我會(huì)設(shè)計(jì)一個(gè)“基于設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)”案例[2]，從寓言故事引出問題并讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)裝置，把定性分析、定量分析的方法教給學(xué)生。

這是關(guān)于尋找幸運(yùn)草的寓言故事，找到四葉草（圖6）就會(huì)得到幸福。因?yàn)樗陌耆~子分別表示真愛（love）、健康（health）、名譽(yù)（glory）和財(cái)富（riches）。

圖6 四葉草

寓意中為什么不說尋找三葉草呢？因?yàn)槿~草很容易找到。有調(diào)查表明自然界中每十萬株三葉草中可能只有一株四葉草。那么問題來了：既然四葉草很難找到，學(xué)生們能否自己創(chuàng)造四葉草呢？然后從四葉草引出四葉玫瑰線，目標(biāo)是設(shè)計(jì)出一種簡(jiǎn)單的裝置，可以畫出四葉玫瑰線（圖7）。

設(shè)四葉玫瑰線的每瓣最大尺寸為a，在極坐標(biāo)中，其方程為

學(xué)生首先遇到的問題是：四葉玫瑰線能否用簡(jiǎn)單的裝置精確地畫出來？這個(gè)問題與平時(shí)的作業(yè)不同：不清楚該裝置是否存在，如何用所學(xué)的知識(shí)來分析這一問題呢？對(duì)于不清楚結(jié)構(gòu)的問題，沒法采用定量分析的方法，但是可以采用定性分析的方法。

首先證明存在性。從數(shù)學(xué)角度看，方程（2）在直角坐標(biāo)中可以表示為

利用三角公式后有

式（4）意味著什么？通常學(xué)生認(rèn)為這是三角函數(shù)問題，現(xiàn)在要換個(gè)角度看，它是否表示運(yùn)動(dòng)合成呢？

從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看，質(zhì)點(diǎn)在xy平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程是

反過來說，滿足方程（5）的點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)這一啟示，方程（4）可以改寫為

式（6）暗示了四葉玫瑰線是兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)疊加的結(jié)果，而角度前面的倍數(shù)表示轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，正負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)動(dòng)的方向不同。

存在性解決了，這兩個(gè)圓與四葉玫瑰線的尺寸a有什么關(guān)系呢？下面利用運(yùn)動(dòng)合成的知識(shí)進(jìn)行定量計(jì)算。

假設(shè)大圓O半徑為R，小圓O′半徑為r，小孔P與O′的距離為e，初始時(shí)假設(shè)兩圓在A點(diǎn)接觸，AOP水平（圖8）。由于小圓在大圓內(nèi)作純滾動(dòng)（圖9），有

圖8 裝置初始位置

圖9 運(yùn)動(dòng)時(shí)角度的關(guān)系

P點(diǎn)坐標(biāo)為

聯(lián)立式（6）～（8），解出

有興趣的學(xué)生們根據(jù)式（9），利用CAXA軟件很容易獲得標(biāo)準(zhǔn)齒輪（內(nèi)齒輪、外齒輪）的輪廓，然后利用激光切割機(jī)，快速高精度地獲得需要的齒輪，為了進(jìn)行對(duì)比研究，特意在齒輪上多開了一些孔（圖10）。按住大齒輪，把筆放在小齒輪上適當(dāng)?shù)目字?，轉(zhuǎn)動(dòng)小齒輪，就可以畫出標(biāo)準(zhǔn)的四葉玫瑰線了（圖11）。

圖10 設(shè)計(jì)制造的裝置

圖11 最終畫出四葉草

學(xué)生們嘗試制作裝置時(shí)發(fā)現(xiàn)，裝置的參數(shù)稍變一點(diǎn)，就不是我們要的結(jié)果。要想得到四葉玫瑰線，必須確定精確的參數(shù)。這表明在寓言中尋找四葉草不容易，在實(shí)際操作中要畫出四葉玫瑰線也不容易。

3 欹器的定性和定量分析

在講授平衡與穩(wěn)定的內(nèi)容時(shí)，我設(shè)計(jì)了一個(gè)復(fù)原孔子時(shí)代欹器的案例，既與力學(xué)有關(guān)，又把教育含義、創(chuàng)意設(shè)計(jì)、動(dòng)手實(shí)踐融合在一起[3]。

欹器已經(jīng)失傳近千年，不清楚形狀，但是經(jīng)過定性分析，再利用計(jì)算機(jī)計(jì)算，可以做出一個(gè)在桌面上演示的模型，涉及表面形狀、重心位置、平衡、穩(wěn)定等因素，且各因素耦合影響，還是比較復(fù)雜的。下面是部分定性分析與定量計(jì)算的內(nèi)容。

（1）關(guān)于外形的定性分析

根據(jù)直觀的感覺，欹器的底部不能是平的碗底（角度不會(huì)變化），而應(yīng)該是某種曲線（圖12）。這就是定性分析的結(jié)果，簡(jiǎn)單而不需要任何參數(shù)。

圖12 外形示意圖

（2）關(guān)于重心變化的定性分析

一個(gè)均質(zhì)圓柱形容器，空的時(shí)候重心大致在中心位置；加水后整體重心會(huì)下降；加滿水后重心又回到中間位置。因此得出一個(gè)重要的結(jié)論：向欹器中加水時(shí)，重心位置會(huì)變化，雖然具體變化規(guī)律與形狀有關(guān)，但重心位置總體變化趨勢(shì)是先下降再上升（圖13）。

圖13 重心高度變化示意圖

（3）關(guān)于平衡與穩(wěn)定的定性分析

欹器底部的區(qū)域可以用一個(gè)半徑為r的球代替，直觀上可以知道：如果重心C在圓心O的下方，就可以像不倒翁直立，C在圓心上方就會(huì)傾斜。因此，初始時(shí)欹器的重心應(yīng)該在O點(diǎn)上方，加一些水后重心應(yīng)該低于O點(diǎn)從而直立，加滿水后重心應(yīng)該回到O點(diǎn)從而倒下（圖14）。如果加滿水重心仍在O點(diǎn)下方則欹器不會(huì)倒下，如果沒有加滿重心就超過O點(diǎn)，欹器就不滿足“滿而覆”。

圖14 欹器工作示意圖

從上述分析可以看出，雖然不知道欹器的具體形狀和參數(shù)，但已經(jīng)知道它需要滿足的重要特點(diǎn)，這就是定性分析的威力。

（4）定量計(jì)算及實(shí)施

有了以上的定性分析，其原理就清楚了，可以按圖15的流程利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行定量計(jì)算：先試探設(shè)一個(gè)底部的函數(shù)，然后分析計(jì)算其結(jié)果是否滿足圖14中的關(guān)系，經(jīng)過多次修改后有了經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該可以成功。

圖15 定量分析的流程

在講解平衡與穩(wěn)定的內(nèi)容時(shí)，學(xué)生看到復(fù)原的欹器演示收獲很多。有興趣的學(xué)生可以在分析計(jì)算后得到曲線方程，然后用AutoCAD進(jìn)行設(shè)計(jì)，用激光切割機(jī)加工出來。這是學(xué)生們?cè)跍y(cè)試的照片（圖16）。為了避免水撒到桌面上，可以用鋼珠代替水（圖17）。這種欹器可以在桌面上演示，是很好的“座右銘”。

圖16 學(xué)生在演示欹器

圖17 用鋼珠代替水

4 總結(jié)

本文提倡一種“基于設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)”，從四葉玫瑰線和欹器的案例可以看出其特點(diǎn)，它涉及定性分析、定量計(jì)算，也涉及創(chuàng)意和設(shè)計(jì)，最后的結(jié)果還對(duì)學(xué)生具有教育意義，這是目前教育中所缺失的。

從以上案例中可以得出幾點(diǎn)結(jié)論或啟示。

（1）落體偏向問題在非慣性系中很容易解釋，但在慣性系中的解釋就需要考慮運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：物體和落點(diǎn)具有不同的速度以及物體在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，利用這兩個(gè)特點(diǎn)就可以解決問題。這反映了定性分析的特點(diǎn)：充分利用系統(tǒng)本身的特點(diǎn)，找出反映其特征的信息。這一案例有利于讓學(xué)生進(jìn)行探究思維。

（2）四葉玫瑰線問題讓學(xué)生了解理論如何指導(dǎo)實(shí)踐，學(xué)生們?cè)趯?shí)際操作中也體會(huì)了尋找四葉草寓言的含義，并把寓言中尋找幸福轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)中自己創(chuàng)造幸福，讓學(xué)生獲得一種超越知識(shí)的認(rèn)識(shí)。這一案例屬于設(shè)計(jì)問題，是一種逆問題，學(xué)生習(xí)慣了平時(shí)的作業(yè)，偶然處理一些逆問題能讓思維更開闊。

（3）欹器具有很多教育含義：從歷史角度涉及孔子及其“中庸之道”；從教育角度涉及“滿招損，謙受益”；從力學(xué)角度涉及平衡、穩(wěn)定、重心；從能力培養(yǎng)的角度涉及逆向設(shè)計(jì)、動(dòng)手制作等。也正好符合清華大學(xué)提倡的“價(jià)值塑造”、“能力培養(yǎng)”、“知識(shí)傳授”。

未來社會(huì)需要更多的有創(chuàng)造性思維的人，適當(dāng)?shù)亩ㄐ苑治龈茏寣W(xué)生的思維得到更好的訓(xùn)練。通過這些案例，可以發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造性思維并不是憑空產(chǎn)生的，它可分解為一系列的過程，而每一過程可能都很簡(jiǎn)單。因此每個(gè)學(xué)生都具備潛在的創(chuàng)造性，關(guān)鍵是如何重組這些簡(jiǎn)單的過程。給學(xué)生一些實(shí)際問題或者逆向設(shè)計(jì)問題，是一種很好的訓(xùn)練方法。