材料力學沖擊問題中結(jié)構(gòu)參數(shù)影響的討論1)

李 敏 李依倫 陳偉民 ,,2)

*(北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京 100191)

?(巴黎–薩克雷大學，巴黎 91190)

**(中國科學院力學研究所，北京 100190)

??(中國科學院大學工程科學學院，北京 100049)

沖擊問題作為能量方法的應用擴展，盡管在材料力學中所占篇幅不多，但代表載荷屬性的另一種典型模式，在分析方法與現(xiàn)象表征方面有其特色。材料力學沖擊問題的重點講授內(nèi)容是分析梁結(jié)構(gòu)承受位于一定高度H重物無初速度釋放的沖擊響應（主要是位移與載荷），基本公式為

其中Δd,Δst與Kd分別為動態(tài)位移、靜態(tài)位移與動荷因數(shù)。學生對于利用基本公式解算習題一般不存在問題，也能根據(jù)沖擊響應隨靜態(tài)位移變化的規(guī)律判斷相關(guān)結(jié)構(gòu)的危險程度，其中核心理念是盡量降低結(jié)構(gòu)剛度或增加靜態(tài)位移，達到降低沖擊響應的目的。

根據(jù)基本公式，以上的描述應該是正確的，但縱向比較時，學生對于這種結(jié)論也存在疑惑之處：根據(jù)前期已經(jīng)學習的知識或者直觀感受，結(jié)構(gòu)變形大對應著應變（應力）大，造成變形的外力也應該大，這與上面的結(jié)論似乎相悖。結(jié)合例題更為具體化地表述：結(jié)構(gòu)變形大對應著沖擊重物下降更多距離，更多機械能轉(zhuǎn)化為被沖擊梁結(jié)構(gòu)的應變能，為什么沖擊造成的應力反而越??？

造成學生疑惑有多方面原因，其中學生對于動態(tài)問題和使用能量法分析問題的能力弱于靜力學分析是重要原因，另外被沖擊主結(jié)構(gòu)與緩沖裝置在講述中分類不清也是一個方面?；卮疬@類問題完全采用概述方式效果不佳，本文試圖基于常見的例題習題進行進一步地分析，讓學生從數(shù)據(jù)比較中總結(jié)歸納，找到自我說服的邏輯。

為了契合學生對教學內(nèi)容的熟悉程度，本文首先列舉簡單例題和習題并挖掘其中的機理，然后通過一般性表達式進行定性定量分析。

1 典型例題的進一步分析

1.1 附加結(jié)構(gòu)在邊界點支撐主結(jié)構(gòu)

為了說明緩沖結(jié)構(gòu)的效果，沖擊問題中常用簡支梁AB（圖1(a)）與彈簧支撐梁（圖1(b)）中點承受重物沖擊進行比較[1-2]，圖中梁的彈性模量E，長度l，矩形截面h×b，重物重量F=mg，與梁軸距離H，支撐彈簧剛度k均已知。

該例題的解算步驟很清晰，常見簡潔模式如下。

（1）梁AB中點豎直方向的靜剛度k1=48EI/l3，彈簧靜表觀剛度k2=2k。

（2）對于簡支狀態(tài)（圖1(a)）

（3）對于彈簧支撐狀態(tài)（圖1(b)）

圖1 展示緩沖效果的典型例題

后續(xù)的解算過程與數(shù)據(jù)不再列出，對比式（2）與式（3），很明顯后者（有彈簧支撐）的機械能損失多出一項FΔd2，除非支撐彈簧儲存的彈性勢能大于由于彈簧帶來的重物位置勢能增量FΔd2，否則很難理解彈簧支撐的作用，因為有彈簧支撐后重物下降了更多高度，表明輸入給系統(tǒng)的沖擊能量增加了。由于

所以只需證明 2Δst2＜Δd2，事實上，該結(jié)論的成立很明顯（教材中關(guān)于沖擊動荷因數(shù)討論的要點）：除非重物無高度無初速釋放時Δd2=2Δst2，否則Δd2＞2Δst2一定成立。

以上簡單推導揭示的基本規(guī)律：無論支撐彈簧的剛度如何，只要支撐模式為“串聯(lián)”方式，則彈簧吸收的能量大于由于彈簧出現(xiàn)引入的額外機械能增量，導致被沖擊主結(jié)構(gòu)（該例中的梁AB）由于沖擊造成的應變能與變形均減小，即圖1(b)相比圖1(a)，梁的變形更小(Δd1＞Δ′d1)。

1.2 附加結(jié)構(gòu)在沖擊點支撐主結(jié)構(gòu)

1 .1節(jié)中出現(xiàn)了“串聯(lián)”方式，為了解釋其含義，這里列出另外一個常見習題[1]（圖2），原題一般有兩種情況，這里只討論δ=0 即兩根梁接觸的情況，兩根簡支梁完全相同，各項參數(shù)均已知。

圖2 雙梁組合沖擊問題典型例題

這里比較兩種模型：

（1）模型一，簡支梁AB和CD共同承受沖擊；

（2）模型二，僅有簡支梁AB承受沖擊。

模型一中梁AB和CD在沖擊載荷作用下位移相同，其組合相當于等效彈簧“并聯(lián)”方式，中點豎直方向表觀剛度k1=2k=96EI/l3

這種模式可看作梁AB和CD各自承擔一半質(zhì)量的沖擊過程，或者直接看作簡支梁AB單獨承受mg/2 的沖擊過程。

模型二中梁AB中點表觀剛度k2=k

對比式（6a）與式（5），加入梁CD的作用表述為：

（1）減小了機械能輸入FΔ′，或減小了沖擊能量；

（2）分擔了（吸收了）一部分機械能，分擔部分與剛度成正比（此例中各自一半）。

1.3 兩種附加結(jié)構(gòu)緩沖模式的比較

以上兩個題目代表了利用附加結(jié)構(gòu)減緩主結(jié)構(gòu)受沖擊的兩種典型模式，以主結(jié)構(gòu)單獨承受沖擊為比較的標準（圖1(a)和圖2中的模型二）。

（1）邊界點支撐模式（串聯(lián)模式）降低了整體表觀剛度，導致沖擊輸入能量增加（重物下降高度增大），但附加結(jié)構(gòu)（圖1中的彈簧）存儲的應變能超過沖擊輸入能量的增量，所以主結(jié)構(gòu)（圖1中的梁AB）的應變能減小了，換言之，附加緩沖結(jié)構(gòu)后主結(jié)構(gòu)變形是減小的（這一點與學生直觀感受不一樣）。

（2）沖擊點支撐模式（并聯(lián)模式）提高了整體表觀剛度，導致沖擊輸入能量減少（重物下降高度減?。?，而且附加結(jié)構(gòu)按照剛度比例吸收了一部分應變能，所以主結(jié)構(gòu)（圖2中的梁AB）的應變能減小，對應的變形減小與直觀感受一致。

（3）以上的分析顯示沖擊點支撐模式對于減緩沖擊似乎更有效，但須注意這種模式提高了接觸點的沖擊載荷，其效果沒有出現(xiàn)在以上分析中的原因在于材料力學對沖擊問題進行了簡化假設：不考慮彈性波傳播與沖擊接觸面塑性變形問題，所以附加結(jié)構(gòu)（梁CD）直接分擔一半載荷，實際情況下使用邊界支撐模式更合理。

另外，如果希望課堂講授內(nèi)容更具層次性，可以在兩種模式中分別展示附加結(jié)構(gòu)剛度變化的效果并進行比較，例如：

（1）圖1中隨彈簧剛度增加，其極限就是主結(jié)構(gòu)單獨承受沖擊（簡支梁）；當彈簧剛度減小，彈簧在沖擊過程中吸收應變能的比例增大，極限情況是主結(jié)構(gòu)不變形。

（2）圖2中隨著附加結(jié)構(gòu)（梁CD）剛度降低，極限情況是主結(jié)構(gòu)（梁AB）單獨承受沖擊；當附加結(jié)構(gòu)剛度增大，在沖擊過程中附加結(jié)構(gòu)吸收應變能的比例增大，極限情況是主結(jié)構(gòu)不變形（與圖1模型規(guī)律正好相反）。

1.4 主結(jié)構(gòu)單獨承受沖擊

1 .3節(jié)中提及當附加結(jié)構(gòu)剛度取極大（或極小值）時，問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹鹘Y(jié)構(gòu)單獨受沖擊。事實上沖擊問題引入時分析模型就是這種類型，只是后續(xù)的例題習題多數(shù)附加緩沖結(jié)構(gòu)削弱了這類問題的地位。

以1.2節(jié)的討論為基礎，很容易理解承受沖擊主結(jié)構(gòu)剛度變化的效果，以應變能或外力功的視角，增加剛度就是在梁中心點添加等效剛度的梁CD，減小剛度就是將梁分解為AB與CD（舍去）。對于結(jié)構(gòu)剛度減小的狀態(tài)（剛度增大狀態(tài)參照1.2節(jié)結(jié)論，不再贅述），參照應變能表達式

或者應變能對結(jié)構(gòu)剛度一階導數(shù)

與具有附加緩沖結(jié)構(gòu)模式相反，主結(jié)構(gòu)單獨承受沖擊時，其應變能隨結(jié)構(gòu)剛度減小而單調(diào)增加，盡管與靜態(tài)問題中應變能反比例于結(jié)構(gòu)剛度有差異，但總趨勢是反向非線性關(guān)系。

2 安全評估與合理設計

以上的討論主要圍繞應變能展開，因為沖擊問題在材料力學課程體系中更多作為能量方法的應用出現(xiàn)，但歸根結(jié)底材料力學的基本任務是解決安全性與經(jīng)濟性的矛盾，所以在保證安全前提下的合理設計是終極目標。

從帶有附加緩沖結(jié)構(gòu)的例題習題中，學生獲得一種“感受”：結(jié)構(gòu)剛度越低、變形越大、沖擊載荷越小，結(jié)構(gòu)就越安全，這種結(jié)論是否全面？試想：纖細的梁受沖擊會不會破壞？

在靜態(tài)問題的強度分析中，載荷為定值與結(jié)構(gòu)參數(shù)無關(guān)；而沖擊問題中載荷與結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)，其強度和剛度分析模式與變化規(guī)律的展示有益于學生理解相關(guān)問題。

安全校核與合理設計的基礎是應力、位移（變形）、載荷（關(guān)聯(lián)接觸應力與動態(tài)過程）的基本公式，為了便于理解與歸類，這里首先對沖擊問題中各項公式進行簡化。盡管理論上靜態(tài)位移Δst可以無限大，但對于實際工程問題，絕大部分情況下H遠大于Δst（物體或工具墜落等工程實例中前者一般在百毫米量級或以上，而后者往往小于1 mm，甚至小于0.1 mm），所以二者比值H/Δst?1 ，在此基礎上可以對各項公式的形式進行簡化，例如第1節(jié)中列出的應變能可近似為

與之類似，基于H/Δst?1 ，給出位移、應變、應力、外力、應變能（外力功）對各項參數(shù)的方次關(guān)系（動態(tài)為近似關(guān)系，靜態(tài)為精確表達）

通過靜態(tài)與動態(tài)參數(shù)影響規(guī)律的比較，除了參數(shù)方次有變化，有些關(guān)系可能與過去的直觀感受不同，例如在靜態(tài)問題中應力應變與梁的長度成正向比例關(guān)系，但在動態(tài)問題中屬于反向關(guān)系；又如在靜態(tài)問題中梁內(nèi)應力與材料參數(shù)無關(guān)，但在動態(tài)問題中與材料參數(shù)E相關(guān)；另外在靜態(tài)問題中剛度越大的結(jié)構(gòu)存儲應變能的能力越弱，但動態(tài)沖擊問題中大部分情況（H/Δst?1 ）結(jié)構(gòu)存儲的應變能與結(jié)構(gòu)材料和幾何參數(shù)基本無關(guān)。

以上動態(tài)問題中當H→0時，位移、應力、應變與載荷的下極限是2倍靜態(tài)值，應變能與外力功的下極限是4倍靜態(tài)值，此處不再贅述。

以上的公式與討論對于常規(guī)教學不是必須的，但針對材料力學主體任務?解決經(jīng)濟性與安全性矛盾而言，其中部分公式可以解答學生疑惑，例如式（12a）顯示，為了保證應力小于許用值的強度條件，當已知F，H，E，L要求設計截面尺寸時，A=h×b有確定的最小值，即梁的截面并不是越小越好，盡管基于降低動荷因子Kd的要求，希望更小的截面面積A。所以，對于本節(jié)之初提出問題的結(jié)論是明確的：在沖擊問題結(jié)構(gòu)設計中應該減小結(jié)構(gòu)剛度以降低沖擊載荷，但其下限須保證動應力小于許用值所對應的幾何參數(shù)。

更進一步，減小沖擊載荷對于減緩沖擊過程、避免接觸面塑性變形都很重要（盡管在材料力學沖擊部分沒有涉及該方面的內(nèi)容），根據(jù)式（13a），由于截面高度h與寬度b在動載荷中的地位不同，在保證A=h×b不變的同時，應該盡量降低h。

事實上，關(guān)于這個問題教材上也有例證[1]：在彎曲梁強度合理設計時有等強設計方法，中點承載簡支梁的等強截面可以變化高度h（圖3(a)），也可以變化寬度b（圖3(b)），工程實際中使用變寬度模式并沿圖3(b)中虛線分割后不焊不鉚疊合形成看似變高度的等強度梁（圖3(c)）。

圖3 等強設計的不同模式示意圖

變寬度分割疊合模式的最大慣性矩（單層厚度為h，最厚處n層）

對比相同形狀變高度梁的最大慣性矩

二者比值為Im′ax/Imax=n2，換言之這種變寬度分割疊加的模式在保證等強度設計的同時，極大降低了結(jié)構(gòu)的彎曲剛度，有益于緩解沖擊載荷，這就是廣泛應用于車輛和機械設備的疊板彈簧（圖4），這種模式與第1節(jié)的附加緩沖結(jié)構(gòu)有相通之處，而且其形式介于邊界支撐與沖擊點支撐之間。在講解沖擊問題基本原理與例題后，回顧以往的知識并進行擴展，對于學生加深知識理解、認知理論應用是一種較好的課程內(nèi)容設計模式。

圖4 車用彈簧鋼板位置安裝圖

另外，本節(jié)討論基于H/Δst?1 ，為了涵蓋由于假設帶來的范圍缺失，這里利用教科書中例題對應數(shù)據(jù)[1]進行變參數(shù)分析，圖5與圖6分別對應H/Δst與E的影響。其中，圖5縱軸左側(cè)為動荷因數(shù)Kd的標尺，縱軸右側(cè)為歸一化動態(tài)位移與應變能Vε（外力功）的標尺（采用H/Δst最大值對應的或Vε進行歸一化）；圖6橫軸為使用最大值歸一化的E，縱軸右側(cè)為和Vε，使用最大E對應量歸一化（與的來歷依據(jù)式（10a））。

圖5 動態(tài)效果隨 H /Δst 的變化

圖6 動態(tài)效果隨 E 的變化

圖中數(shù)據(jù)顯示，對于沖擊高度與結(jié)構(gòu)剛度的大幅度變化范圍，盡管對應的沖擊動荷因數(shù)有明顯變化，但，，Vε的歸一化數(shù)據(jù)在絕大部分范圍非常接近1，證明以上根據(jù)H/Δst?1 進行的簡化分析具有較廣的適應性（σd與εd有類似的規(guī)律，不再列出）。

3 小結(jié)

在材料力學動載荷教學內(nèi)容中，結(jié)構(gòu)受位于一定高度重物無初速度釋放的沖擊響應是重點，初期的理論分析針對單獨的簡支梁模型，但后期的例題與習題多為帶有緩沖裝置的組合結(jié)構(gòu)，盡管基本公式通用，但其中的參數(shù)影響規(guī)律不同。本文通過經(jīng)典實例的深入分析與參數(shù)方次影響的定性定量展示，說明了不同模型沖擊響應的規(guī)律與差異。

對于單獨的結(jié)構(gòu)承受沖擊，結(jié)構(gòu)應變能與結(jié)構(gòu)剛度呈非線性關(guān)系，在絕大部分工程沖擊問題中應變能與Δst弱相關(guān)，盡管降低結(jié)構(gòu)剛度對于減緩沖擊載荷非常有效，但其下限須保證強度條件對應的結(jié)構(gòu)幾何尺寸，且依據(jù)參數(shù)方次關(guān)系可以指導合理化設計方向。

帶有緩沖裝置的組合結(jié)構(gòu)承受沖擊，緩沖裝置位于邊界點的模式降低了整體表觀剛度，沖擊輸入能量增加，但附加結(jié)構(gòu)存儲的應變能超過沖擊輸入能量的增量，所以附加緩沖結(jié)構(gòu)后，主結(jié)構(gòu)變形減??；緩沖裝置位于沖擊點，提高了整體表觀剛度，沖擊輸入能量減少，附加結(jié)構(gòu)按照剛度比例吸收應變能，對應的變形減小，但沖擊載荷較大容易造成接觸表面塑性變形。