陣元位置互質(zhì)的線性陣列：互耦分析和角度估計(jì)

何 勁 唐 莽 舒 汀 郁文賢

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院 上海 200240)

1 引言

陣列信號(hào)處理在雷達(dá)、聲吶、無線通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。信號(hào)的角度估計(jì)(也稱為方向估計(jì)、DOA估計(jì))是陣列信號(hào)處理的核心問題之一。在過去的幾十年里，發(fā)展了大量有效的角度估計(jì)方法，形成了相對(duì)較為完善的理論體系。有關(guān)角度估計(jì)的基本方法可參考文獻(xiàn)[1–3]。長期以來，在設(shè)計(jì)角度估計(jì)算法時(shí)都考慮使用均勻線性陣列(Uniform Linear Array， ULA)。這是因?yàn)閁LA具有便于算法設(shè)計(jì)的一些特性，如范德蒙結(jié)構(gòu)、平移不變性等，同時(shí)也便于對(duì)算法進(jìn)行理論和統(tǒng)計(jì)性能分析。根據(jù)奈奎斯特空間采樣定理，為了保證無模糊的參數(shù)估計(jì)，ULA的相鄰陣元間距不能超過半波長。這將限制整個(gè)陣列的有效孔徑，從而限制陣列的空間分辨率和對(duì)參數(shù)估計(jì)的精度。此外，如果考慮天線間的電磁行為，相鄰較近的陣元間會(huì)受到顯著的互耦影響，這也將會(huì)造成陣列參數(shù)估計(jì)性能的下降。稀疏陣列的提出，為解決以上問題提供了有效的途徑。典型的稀疏陣列結(jié)構(gòu)包括嵌套陣列和互質(zhì)陣列等。

嵌套陣列的概念在文獻(xiàn)[4]中提出。嵌套陣列由兩個(gè)或多個(gè)緊密相連的均勻線陣組成，其中每個(gè)均勻線陣都可以“嵌入”在和其串聯(lián)的均勻線陣的兩個(gè)相鄰陣元中。經(jīng)過近十年的發(fā)展，嵌套陣列已被廣泛應(yīng)用于實(shí)現(xiàn)對(duì)各類信號(hào)的角度估計(jì)，如窄帶信號(hào)[4]、寬帶信號(hào)[5]、分布式信號(hào)[6]、完全極化信號(hào)[7]、部分極化信號(hào)[8]、混合源信號(hào)[9]、非圓信號(hào)[10]等。同時(shí)，將嵌套陣列擴(kuò)展到2維可實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的2維角度估計(jì)[11–13]?；ベ|(zhì)陣列的概念在文獻(xiàn)[14]中提出?；ベ|(zhì)陣列是由兩個(gè)陣元個(gè)數(shù)和間距均滿足互質(zhì)條件的均勻線陣組成的結(jié)構(gòu)化稀疏陣列。與嵌套陣列一樣，互質(zhì)陣列也被廣泛應(yīng)用于解決信號(hào)的角度估計(jì)問題。有關(guān)互質(zhì)陣列的角度估計(jì)算法的發(fā)展，可參考文獻(xiàn)[15]。

與均勻線陣相比，嵌套陣列和互質(zhì)陣列由于其固有的稀疏特性增大了有效的陣列孔徑，并在一定程度上降低了陣列的互耦效應(yīng)。盡管如此，嵌套陣列和互質(zhì)陣列本身還存在影響互耦效應(yīng)降低的因素。比如：嵌套陣列的第1級(jí)ULA陣元間距要求為半波長，互質(zhì)陣列的陣元間距與陣列規(guī)模成正比，當(dāng)陣列規(guī)模較小時(shí)陣元間距也較小。這些因素也使得嵌套陣列和互質(zhì)陣列在使用過程中依然受到互耦效應(yīng)的影響。近年來，學(xué)者們針對(duì)降低嵌套陣列和互質(zhì)陣列的互耦效應(yīng)，提高陣列的實(shí)用性，開展了大量工作[16–20]，這些工作也說明了評(píng)估互耦對(duì)實(shí)際系統(tǒng)測(cè)向性能的影響是非常必要的。

為了進(jìn)一步降低稀疏陣列的互耦效應(yīng)，提高陣列對(duì)角度估計(jì)的性能，本文提出一種新的稀疏陣列結(jié)構(gòu)：陣元位置互質(zhì)的線性陣列(Coprime Linear Arrays， CLA)，并提出一種基于CLA的無模糊角度估計(jì)算法。首先，給出了CLA的定義，并證明了其導(dǎo)向矢量對(duì)不同信號(hào)方向是線性獨(dú)立的。隨后，利用高階累積量，建立了陣列輸出信號(hào)的3階張量模型，并通過張量分解得到導(dǎo)向矢量的估計(jì)。最后，利用得到的導(dǎo)向矢量估計(jì)，推導(dǎo)了一種求解無模糊信號(hào)角度估計(jì)的方法。不同于嵌套陣列和互質(zhì)陣列，CLA可將相鄰陣元間的間距設(shè)計(jì)遠(yuǎn)大于半波長，從而顯著降低陣列互耦效應(yīng)。在計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)中，通過阻抗匹配互耦模型比較了CLA和均勻線陣、嵌套陣列和互質(zhì)陣列的互耦效應(yīng)和角度估計(jì)性能，證明了CLA的有效性。

2 陣列模型與問題描述

首先，考慮如圖1所示的線性陣列。不失一般性，假設(shè)陣列由L+1個(gè)陣元組成，沿y軸放置。陣元0放置在原點(diǎn)，作為相位參考，其余L個(gè)陣元的坐標(biāo)分別為d1，d2，...，dL， 其中d?=m?D，D=λ/2，λ表示系統(tǒng)波長。定義圖1 所示的陣列滿足當(dāng)?1∈[1，L]，?2∈[1，L]，m?1和m?2互質(zhì)時(shí)，表示陣元位置互質(zhì)的線性陣列，即CLA。CLA與互質(zhì)陣列具有明顯區(qū)別，互質(zhì)陣列可分解為兩個(gè)均勻線陣，而CLA 的任意子陣(大于兩個(gè)陣元)均不是均勻線陣。

圖1 陣元位置互質(zhì)的線性陣列示意圖

3 互耦影響分析

事實(shí)上，在陣列信號(hào)處理文獻(xiàn)中廣泛使用的接收信號(hào)模型式(2)并不是用于表示實(shí)際數(shù)據(jù)測(cè)量值的合理模型，因?yàn)槭?2)中未考慮電磁行為引起的天線/陣元之間的互耦效應(yīng)。通常，從信號(hào)處理的角度處理陣列互耦問題的方法是，首先通過將耦合矩陣M乘以陣列流形矩陣A來建模耦合數(shù)據(jù)，然后通過估計(jì)矩陣M進(jìn)行解耦合/去耦合。但由于由天線電磁行為較為復(fù)雜，實(shí)際耦合模型難以用數(shù)學(xué)方式建模，因此這種解決方案將導(dǎo)致假定的互耦模型與實(shí)際耦合模型不匹配，從而導(dǎo)致非隨機(jī)系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)誤差。

互耦矩陣M的非對(duì)角元素反映了陣元間互耦的“量”。此外，根據(jù)天線和電路理論，M的非對(duì)角元素的大小與天線/陣元間的距離成反比。這意味著當(dāng)陣元間距足夠大時(shí)，M將成為單位矩陣。只有在這種情況下，系統(tǒng)模型式(2)才是合理的。利用這一見解，可以通過將CLA的陣元間距設(shè)計(jì)為遠(yuǎn)大于半波長，從而顯著降低互耦的影響，以合理的方式忽略互耦對(duì)參數(shù)估計(jì)性能的影響，提高角度估計(jì)精度。

4 角度估計(jì)算法

在陣列信號(hào)處理中，實(shí)現(xiàn)無模糊角度估計(jì)的前提是不同角度對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量彼此線性獨(dú)立。因此，在推導(dǎo)角度估計(jì)算法之間，首先在定理1中證明對(duì)不同信號(hào)角度，CLA的導(dǎo)向矢量是線性獨(dú)立的。

定理1 對(duì)圖1定義的CLA，對(duì)應(yīng)于不同方向的導(dǎo)向矢量彼此線性獨(dú)立。

證明 參見附錄1。

定理2表明，陣列輸出的高階累積量矩陣可以表示成陣列流形矩陣的3階張量形式。因此，陣列流形矩陣A可以通過對(duì)張量模型式(6)或式(10)進(jìn)行低秩分解得到。有許多有效的方法可以實(shí)現(xiàn)3階張量模型低秩分解。本文將采用三線性交替二乘(Trilinear Alternating Least Square， TALS)算法[22]進(jìn)行求解。TALS算法的核心思想概述如下：將待估計(jì)參數(shù)分為3組(根據(jù)式(10)，分別為AΓ，A和AH)，依次對(duì)其中一組參數(shù)進(jìn)行最小二乘法求解直到代價(jià)函數(shù)或參數(shù)的變化小于預(yù)定義的收斂標(biāo)準(zhǔn)。由于TALS算法的每一步都是基于最小二乘的優(yōu)化，因此可以確保TALS算法單調(diào)收斂。后續(xù)仿真中，將使用COMFAC (COMplex parallel FACtor analysis)算法[22]來實(shí)現(xiàn)TALS的快速收斂。根據(jù)式(10)，利用COMFAC算法得到的是AΓ，A和AH估計(jì)值。通過簡單的運(yùn)算即可得到導(dǎo)向矢量矩陣A的3組估計(jì)值。對(duì)這3組估計(jì)值取平均可進(jìn)一步降低噪聲的影響，提高參數(shù)估計(jì)精度。

5 討論

通過前面幾個(gè)小節(jié)的分析，提出的CLA可以在降低互耦效應(yīng)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)無模糊的角度估計(jì)。與文獻(xiàn)[16–20]中已有的低互耦效應(yīng)稀疏線陣相比，CLA具有以下兩個(gè)特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)：一是CLA完全稀疏，即陣列中不包含間距為半波長的陣元，理論上CLA的互耦效應(yīng)比文獻(xiàn)[16–20]中的稀疏陣列更低；二是相同陣元個(gè)數(shù)時(shí)，CLA可具有比文獻(xiàn)[16–20]中的稀疏陣列更大的陣列孔徑，理論上CLA的角度分辨率和角度估計(jì)精度比文獻(xiàn)[16–20]中的稀疏陣列更高。上述兩點(diǎn)將在計(jì)算機(jī)仿真分析中進(jìn)行進(jìn)一步比較和說明。

根據(jù)CLA的定義，對(duì)任意給定的陣元數(shù)目，CLA的結(jié)構(gòu)并不唯一。從降低互耦和提高測(cè)角精度的角度考慮，在滿足CLA的條件下，陣列孔徑越大，其受到的互耦影響越小，相應(yīng)的測(cè)角精度越高。上述兩點(diǎn)將在計(jì)算機(jī)仿真分析中進(jìn)行進(jìn)一步比較和說明。從系統(tǒng)設(shè)計(jì)的角度考慮，實(shí)際陣列的孔徑將受到部署陣列的系統(tǒng)負(fù)載限制。因此，在使用CLA進(jìn)行測(cè)角時(shí)，需要在估計(jì)性能和總陣列孔徑之間進(jìn)行折中。

6 計(jì)算機(jī)仿真分析

本節(jié)將通過計(jì)算機(jī)仿真對(duì)CLA的互耦效應(yīng)和角度估計(jì)精度進(jìn)行分析。為說明CLA的優(yōu)勢(shì)，將其與均勻線陣(ULA)、嵌套陣列(NA)、互質(zhì)陣列(CA)以及具有低互耦效應(yīng)的超級(jí)嵌套陣列(SNA)[16]、擴(kuò)展嵌套陣列(ANA)[17]、廣義嵌套陣列(GNA)[18]和CAP-3互質(zhì)陣列[20]進(jìn)行比較。假設(shè)所有考慮的陣列均為偶極子天線陣列，陣元個(gè)數(shù)L為偶數(shù)。對(duì)嵌套陣列，兩級(jí)的陣元個(gè)數(shù)均為L/2。對(duì)互質(zhì)陣列，由于兩個(gè)ULA具有共同參考陣元，其陣元個(gè)數(shù)分別為L/2和(L + 2)/2。對(duì)其余陣列結(jié)構(gòu)，采用相應(yīng)文獻(xiàn)中的最優(yōu)方法設(shè)置陣元位置。對(duì)CLA的設(shè)置，文中考慮以下兩種情況：相鄰兩個(gè)陣元間距為大于10λ和15λ的最小質(zhì)數(shù)，分別用CLA (1)和CLA (2)表示。為分析互耦效應(yīng)，考慮偶極子天線應(yīng)用中廣泛使用的互耦模型將互耦矩陣M建模為[23]

圖2 互耦泄漏因子隨陣元個(gè)數(shù)的變化關(guān)系

根據(jù)CLA的理論分析知道其導(dǎo)向矢量是不模糊的，因此可以利用傳統(tǒng)的估計(jì)算法，如Capon算法和MUSIC算法，進(jìn)行角度估計(jì)。為進(jìn)一步說明CLA的有效性，比較傳統(tǒng)的Capon算法和MUSIC算法與提出的算法之間的性能。仿真條件與前面的仿真相同，使用CLA式 (1)陣列結(jié)構(gòu)。圖5給出了3種算法的均方根誤差隨信噪比的變化關(guān)系。通過仿真可以發(fā)現(xiàn)，提出的算法的性能與傳統(tǒng)的算法相當(dāng)，但提出的算法無需譜峰搜索運(yùn)算，因此具有相對(duì)較低的計(jì)算復(fù)雜度。

圖3 角度估計(jì)的均方根誤差隨信噪比的變化關(guān)系，未考慮互耦

圖4 角度估計(jì)的均方根誤差隨信噪比的變化關(guān)系，考慮互耦

圖5 角度估計(jì)的均方根誤差隨信噪比的變化關(guān)系，考慮互耦

7 結(jié)束語

針對(duì)現(xiàn)有稀疏陣列存在的陣列互耦影響角度測(cè)量精度的問題，本文提出了陣元位置互質(zhì)的線性陣列(Coprime Linear Arrays， CLA)，分析了CLA的互耦影響并提出了一種基于CLA的角度估計(jì)方法。論文證明了CLA導(dǎo)向矢量的無模糊性，推導(dǎo)了一種基于陣列輸出高階累積量張量分解的無模糊信號(hào)角度估計(jì)算法。CLA可將相鄰陣元間的間距設(shè)計(jì)遠(yuǎn)大于半波長，從而可顯著降低陣列互耦效應(yīng)。通過計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)與典型的陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，證明了CLA在降低陣列互耦和提高角度估計(jì)精度方面的優(yōu)勢(shì)。CLA也可應(yīng)用于解決陣列信號(hào)處理的其它問題，如陣列校正和波束形成，相應(yīng)的方法將另文給出。