基于有限新息率的非瞬時(shí)擴(kuò)散點(diǎn)源參數(shù)估計(jì)方法

付 寧 沈孟垚 尉志良 喬立巖

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

1 引言

近些年來，隨著無線傳感器的發(fā)展[1，2]，利用無線傳感網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行物理場(chǎng)監(jiān)測(cè)逐漸成為熱門的研究方向。通常，這些物理場(chǎng)是由偏微分方程決定的，比如擴(kuò)散場(chǎng)是由擴(kuò)散方程驅(qū)動(dòng)的。擴(kuò)散方程是由德國(guó)物理學(xué)家Fick根據(jù)傅里葉的熱傳導(dǎo)方程在1855年提出的，描述了物質(zhì)從高濃度區(qū)向低濃度區(qū)遷移規(guī)律，是2階偏微分方程。對(duì)于擴(kuò)散方程的求解問題，在數(shù)理領(lǐng)域得到了廣泛的研究；而對(duì)于擴(kuò)散源的估計(jì)問題，是在20世紀(jì)80年代才開始興起。

擴(kuò)散場(chǎng)不受帶寬限制，因此想要用經(jīng)典的帶限重構(gòu)框架實(shí)現(xiàn)參數(shù)恢復(fù)，則需要非常密集的樣本。為了減小帶寬的限制，對(duì)于擴(kuò)散場(chǎng)重建問題，Van Waterschoot等人[3]用了有限元的方法進(jìn)行場(chǎng)估計(jì)；此外，還有基于貝葉斯估計(jì)的統(tǒng)計(jì)估計(jì)技術(shù)[4]。直接恢復(fù)場(chǎng)的方法仍需要密集的采用網(wǎng)絡(luò)才能可靠地恢復(fù)擴(kuò)散場(chǎng)，于是有人通過將場(chǎng)源模型化，將恢復(fù)場(chǎng)的問題轉(zhuǎn)換為場(chǎng)源的未知參數(shù)的估計(jì)問題。例如2011年，Ranieri等人[5]提出了一種基于壓縮感知的方法；Rostami等人[6]又引進(jìn)了擴(kuò)展的壓縮感知來解決這個(gè)問題。然而基于壓縮感知的方案依賴于統(tǒng)一的空間采樣，這在實(shí)踐中往往難以實(shí)現(xiàn)。Zhang等人[7]針對(duì)傳感器監(jiān)控節(jié)點(diǎn)集中分布的問題，提出了一種基于K-Coverage的監(jiān)控節(jié)點(diǎn)選擇算法，有效提高了擴(kuò)散源定位的準(zhǔn)確性；而Alexandru等人[8]則采用移動(dòng)的傳感器進(jìn)行采樣，能對(duì)傳感器的軌跡和擴(kuò)散源位置進(jìn)行估計(jì)；為了解決源個(gè)數(shù)未知的情況，Wang等人[9]提出了利用擴(kuò)散場(chǎng)的峰谷結(jié)構(gòu)來確定擴(kuò)散源個(gè)數(shù)；除此之外，F(xiàn)legg等人[10]提出了3維空間內(nèi)的擴(kuò)散衰減類型的點(diǎn)源的參數(shù)估計(jì)方法。因?yàn)檫@些方法中的一些沒有對(duì)擴(kuò)散源的時(shí)間性質(zhì)做出假設(shè)，所以更普遍地適用，但是它們可能在噪聲情況下變得不穩(wěn)定，或者不能在空間和時(shí)間上重建整個(gè)場(chǎng)。

自2002年有限新息率(Finite Rate of Innovation， FRI)采樣理論提出以來[11]，欠采樣方法也越來越多地出現(xiàn)在人們視野里。FRI采樣理論能以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率的采樣速率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，從而重構(gòu)原始信號(hào)。2011年在FRI框架下，Dokmanic等人[12]對(duì)1維的瞬時(shí)點(diǎn)源進(jìn)行了恢復(fù)；而在2011年，Lu等人[13]拓展了時(shí)間已知，位置未知情況下的2維多點(diǎn)源的定位方法；2012年，Ranieri等人[14]針對(duì)位置已知，時(shí)間未知的點(diǎn)源，時(shí)間是FRI信號(hào)類型的源進(jìn)行了時(shí)間參數(shù)的恢復(fù)；帝國(guó)理工學(xué)院的Murray-Bruce[15]利用reciprocity gap原理提出了構(gòu)造廣義測(cè)量值對(duì)多個(gè)瞬時(shí)點(diǎn)源利用Prony-like方法進(jìn)行恢復(fù)，其方法能進(jìn)行多個(gè)瞬時(shí)點(diǎn)源的同時(shí)估計(jì)，并將其應(yīng)用到時(shí)間衰減點(diǎn)源的情況[16]；隨后，他們改變廣義測(cè)量值的獲取方法，利用廣義Strange-Fix提出了新的恢復(fù)框架以解決物理驅(qū)動(dòng)的場(chǎng)點(diǎn)源恢復(fù)問題[17]。然而上述方法都是針對(duì)點(diǎn)源信號(hào)恢復(fù)提出的，對(duì)于例如煙囪的化學(xué)物質(zhì)排放，小孔泄露等問題，此時(shí)擴(kuò)散源的發(fā)生時(shí)間與擴(kuò)散場(chǎng)的監(jiān)測(cè)時(shí)間相差不大，擴(kuò)散源將不能被當(dāng)作瞬時(shí)源，此時(shí)繼續(xù)采用上述建模和參數(shù)估計(jì)方法將產(chǎn)生較大估計(jì)誤差，甚至出現(xiàn)估計(jì)錯(cuò)誤。特別地，對(duì)于非瞬時(shí)源，以上方法不具備估計(jì)擴(kuò)散源持續(xù)時(shí)間的能力。綜上，目前關(guān)于擴(kuò)散源的參數(shù)估計(jì)方法都集中在擴(kuò)散源類型為瞬時(shí)的狄拉克脈沖，而對(duì)于非瞬時(shí)的擴(kuò)散場(chǎng)景這種方法不再適用。

本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要在于：一是擴(kuò)展了擴(kuò)散源模型，通過脈寬可變脈沖(Variable Pulse Width， VPW)信號(hào)進(jìn)行建模，能更好地對(duì)非瞬時(shí)類型的擴(kuò)散源進(jìn)行擬合，因?yàn)槊}寬可變脈沖可看作狄拉克脈沖的泛化，所以本文提出的算法的適用范圍更廣；二是本文提出的算法能針對(duì)非瞬時(shí)類型源得到更準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)，相比其他方法，本文的方法利用估計(jì)得到的參數(shù)，能夠更準(zhǔn)確地重構(gòu)出原始擴(kuò)散源的時(shí)間函數(shù)，從而判斷出擴(kuò)散源的持續(xù)時(shí)間和幅度等參數(shù)。

本文在第2節(jié)介紹參數(shù)估計(jì)的問題模型；第3節(jié)描述擴(kuò)散源模型基礎(chǔ)VPW信號(hào)的FRI采樣理論；第4節(jié)從擴(kuò)散源建模，采樣和信號(hào)重構(gòu)幾方面介紹文中提出的基于有限新息率的非瞬時(shí)的參數(shù)估計(jì)的算法實(shí)現(xiàn)；第5節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)證明算法的有效性，同時(shí)探究估計(jì)結(jié)果精度的影響因素，并通過算法對(duì)比證明本文提出的算法對(duì)于非瞬時(shí)源的參數(shù)估計(jì)更加準(zhǔn)確。

2 擴(kuò)散源參數(shù)估計(jì)問題

擴(kuò)散是一種物理現(xiàn)象，其描述了物質(zhì)分子從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域遷移，直至均勻分布的過程。擴(kuò)散方程是一個(gè)2階偏微分方程，其模擬了許多生物和物理現(xiàn)象，如流體中溫度的變化、疾病流行動(dòng)態(tài)和生物化學(xué)物質(zhì)釋放等?？紤]擴(kuò)散方程

3 脈寬可變信號(hào)的有限新息率采樣理論

3.1 VPW信號(hào)

脈寬可變信號(hào)是非理想的FRI信號(hào)，其脈沖形狀未知。單個(gè)脈寬可變脈沖由對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分組成，其表達(dá)式為

3.2 VPW脈沖的參數(shù)恢復(fù)

3.3 指數(shù)再生核

4 擴(kuò)散源參數(shù)估計(jì)算法

4.1 擴(kuò)散模型

已知擴(kuò)散源個(gè)數(shù)，傳感器采樣值和傳感器的位置與采樣時(shí)間信息，恢復(fù)擴(kuò)散源的位置參數(shù)、脈寬、幅度和時(shí)延參數(shù)。具體過程可分為兩大步驟：第一，根據(jù)對(duì)實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行加權(quán)組合得到廣義測(cè)量值，利用指數(shù)再生近似理論，計(jì)算出組合系數(shù)；第二，對(duì)加權(quán)組合之后的測(cè)量值用多維譜估計(jì)算法恢復(fù)未知參數(shù)。

4.2 擴(kuò)散源參數(shù)估計(jì)

圖1 VPW脈沖時(shí)域波形

首先對(duì)擴(kuò)散場(chǎng)進(jìn)行采樣，在位置xn，時(shí)間tl的傳感器采樣值為φn(tl)。本文研究的非瞬時(shí)擴(kuò)散點(diǎn)源的參數(shù)恢復(fù)框架分為兩大部分：一是對(duì)實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行線性組合來近似廣義測(cè)量值，二是根據(jù)廣義測(cè)量值來估計(jì)位置參數(shù)、脈寬參數(shù)和幅度參數(shù)。

4.2.1 由廣義測(cè)量值得到擴(kuò)散源參數(shù)

綜上，已知實(shí)際測(cè)量值，利用求得的組合系數(shù)，對(duì)其進(jìn)行線性組合，近似得到廣義測(cè)量值，利用譜估計(jì)算法分別求出位置參數(shù)、時(shí)間參數(shù)、脈寬參數(shù)和幅度參數(shù)。將上述參數(shù)估計(jì)過程總結(jié)成算法如表1：

表1 非理想時(shí)間脈沖擴(kuò)散點(diǎn)源參數(shù)估計(jì)過程

5 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證非理想脈沖的點(diǎn)源的參數(shù)恢復(fù)算法的準(zhǔn)確性。首先用計(jì)算機(jī)模擬了一個(gè)2維空間的擴(kuò)散場(chǎng)，即d=2，x=(x1，x2)。假設(shè)傳感器是均勻放置的，且所有傳感節(jié)點(diǎn)是同步的，用傳感器網(wǎng)絡(luò)對(duì)擴(kuò)散場(chǎng)進(jìn)行時(shí)間均勻采樣，對(duì)得到的采樣值用第4節(jié)所述算法進(jìn)行擴(kuò)散源參數(shù)的恢復(fù)。位置參數(shù)恢復(fù)結(jié)果如圖2所示，圖中綠色的點(diǎn)代表傳感器，“*”代表估計(jì)的擴(kuò)散源位置，“五角星”代表擴(kuò)散源的真實(shí)位置。本次實(shí)驗(yàn)中，仿真模擬式(4)所示的擴(kuò)散源形成的擴(kuò)散場(chǎng)，根據(jù)表1提供的算法對(duì)擴(kuò)散源參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。其中，參數(shù)設(shè)置參考文獻(xiàn)[17]進(jìn)行設(shè)置，采樣總時(shí)長(zhǎng)T=15 ，K1=K2=15 ， 采樣時(shí)間間隔為1，S NR=30 dB。噪聲是在模擬擴(kuò)散場(chǎng)的采樣基礎(chǔ)上添加零均值的高斯白噪聲，進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，采用3組不同的時(shí)間脈沖函數(shù)，時(shí)延、脈寬和幅度參數(shù)設(shè)置及估計(jì)結(jié)果的均值和方差如表2所示。其中，方差的計(jì)算公式為：

表2 參數(shù)設(shè)置及恢復(fù)結(jié)果

圖2 位置恢復(fù)結(jié)果

根據(jù)上述結(jié)果，對(duì)于擴(kuò)散源的位置、時(shí)間這些重要的參數(shù)，在有噪聲的情況下，本文提出的算法也能進(jìn)行近似的估計(jì)。估計(jì)結(jié)果會(huì)存在誤差，因?yàn)樵诒疚牡乃惴ㄖ欣昧酥笖?shù)再生近似原理，即格林函數(shù)不能嚴(yán)格滿足Strang-Fix條件，在此意義下，得到的組合系數(shù)是逼近指數(shù)的系數(shù)，因此，即使是在無噪聲的情況下，估計(jì)結(jié)果也不能完全與真實(shí)值相等，但是可以得到其近似值。

下面介紹了本文對(duì)于非瞬時(shí)擴(kuò)散點(diǎn)源算法恢復(fù)的優(yōu)越性。對(duì)于圖5所示的擴(kuò)散點(diǎn)源，當(dāng)時(shí)間函數(shù)脈寬很小時(shí)，采用現(xiàn)有的瞬時(shí)點(diǎn)源模型和本文所提出的點(diǎn)源模型的參數(shù)恢復(fù)結(jié)果對(duì)比，SNR=30 dB，每種方法進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，采用兩組不同的參數(shù)設(shè)置，參數(shù)估計(jì)結(jié)果的均值和方差如表3所示。

對(duì)于圖5所示的擴(kuò)散源的恢復(fù)，本文的時(shí)延和幅值的估計(jì)結(jié)果是在得到VPW對(duì)稱脈沖參數(shù)的基礎(chǔ)上計(jì)算而來的，由表3可以看出本文提出算法的參數(shù)估計(jì)比瞬時(shí)點(diǎn)源模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果更接近真實(shí)值，對(duì)于幅值的估計(jì)的方差也更小，雖然時(shí)延估計(jì)的方差比瞬時(shí)點(diǎn)源估計(jì)方法稍大，但是因?yàn)樗矔r(shí)點(diǎn)源估計(jì)的時(shí)延均值與真實(shí)值相差較大。為了更進(jìn)一步說明兩種模型的恢復(fù)結(jié)果，圖6展示了在不同信噪比下的參數(shù)估計(jì)誤差，每個(gè)SNR下進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。

圖3 MAE與SNR的變化關(guān)系

圖4 傳感器密度與參數(shù)恢復(fù)誤差

圖5 非瞬時(shí)時(shí)間函數(shù)

表3 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖6 瞬時(shí)點(diǎn)源模型與本文點(diǎn)源模型恢復(fù)誤差對(duì)比

通過圖6可以看出，本文提出的點(diǎn)源模型的參數(shù)估計(jì)誤差比瞬時(shí)點(diǎn)源模型的參數(shù)估計(jì)誤差更小，同時(shí)隨著噪聲水平的減小，本文的非瞬時(shí)模型的參數(shù)估計(jì)誤差減小得更多。綜上，本文提出的非瞬時(shí)點(diǎn)源的參數(shù)估計(jì)算法對(duì)于圖5所示的恢復(fù)效果比瞬時(shí)點(diǎn)源模型的恢復(fù)效果更好，因?yàn)楸疚奶岢龅姆撬矔r(shí)點(diǎn)源模型與圖5所示非瞬時(shí)擴(kuò)散源類型更加匹配。

6 結(jié)束語

本文針對(duì)非理想時(shí)間脈沖的擴(kuò)散點(diǎn)源，在瞬時(shí)點(diǎn)源的研究基礎(chǔ)了提出了改進(jìn)的基于有限新息率的非瞬時(shí)擴(kuò)散點(diǎn)源的參數(shù)恢復(fù)算法。對(duì)于不能認(rèn)為是瞬時(shí)發(fā)生的擴(kuò)散源，其發(fā)生時(shí)間相對(duì)于測(cè)量時(shí)長(zhǎng)不能忽略，本算法利用無線傳感器對(duì)擴(kuò)散場(chǎng)進(jìn)行采樣，對(duì)采樣值進(jìn)行線性組合，組合系數(shù)利用指數(shù)再生近似理論獲得，對(duì)組合后的測(cè)量值利用FRI理論中常用的恢復(fù)算法––譜估計(jì)方法進(jìn)行擴(kuò)散源的參數(shù)估計(jì)，對(duì)于非理想時(shí)間的擴(kuò)散點(diǎn)源，本文提出的參數(shù)估計(jì)方法比瞬時(shí)點(diǎn)源模型更加準(zhǔn)確，仿真結(jié)果驗(yàn)證了此種方法的有效性和準(zhǔn)確性。