軸承動載荷識別方法改進(jìn)及試驗驗證

劉志強(qiáng),陳亞明,沈德明,楊建剛,譚 平

（1.東南大學(xué) 火電機(jī)組振動國家工程研究中心，南京 210096；2.光大環(huán)境科技（中國）有限公司，南京 211106；3.南京科遠(yuǎn)智慧科技集團(tuán)股份有限公司，南京 211102；4.江蘇省熱工過程智能控制重點實驗室，南京 211102）

動載荷是影響旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸承性能的重要因素，準(zhǔn)確識別軸承動載荷對于保證旋轉(zhuǎn)機(jī)械的安全穩(wěn)定運(yùn)行至關(guān)重要。軸承動載荷很難直接測量獲取，根據(jù)實測振動等數(shù)據(jù)識別軸承動載荷是研究熱點。

動載荷識別方法主要有頻域法和時域法[1]。時域法利用結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)建立逆向時域模型，根據(jù)已知的動響應(yīng)重構(gòu)動載荷。時域法對初值非常敏感，誤差累積難以避免且計算效率低[2]。頻域法是在頻域內(nèi)構(gòu)建系統(tǒng)逆向頻響函數(shù)模型，再通過系統(tǒng)輸出識別輸入。頻域識別方法包括：頻響函數(shù)直接求逆法和模態(tài)坐標(biāo)變換法。模態(tài)坐標(biāo)變換法需要已知結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，在模態(tài)空間識別載荷的分布特性后，轉(zhuǎn)換到物理空間[3]。該方法對模態(tài)參數(shù)識別的準(zhǔn)確度要求較高，存在因模態(tài)截斷所帶來的誤差。頻響函數(shù)直接求逆法[4]簡便，得到廣泛應(yīng)用。但是該方法存在測點和試驗工況合理選取、矩陣病態(tài)等問題，導(dǎo)致解的不適定性。為了解決頻響函數(shù)矩陣病態(tài)問題，人們開展了很多研究。Hansen[5]提出TSVD 法將較小的奇異值過濾，避免實測響應(yīng)誤差被過度放大。陳震等[6]在TSVD的基礎(chǔ)上，提出基于分段多項式截斷奇異值分解（Piecewise Polynomial Truncated Singular Value Decomposition，PPTSVD）識別橋梁移動載荷，算例表明該方法識別移動載荷精度高。夏超男、葉新茂[7－8]分別采用L 曲線法、廣義交叉驗證(GCV)法和通用交叉驗證(OCV)法選取TSVD 模型中最優(yōu)正則化參數(shù)。部分學(xué)者根據(jù)結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)測試思路解決矩陣病態(tài)問題，姜金輝等、周林等[9－10]提出基于復(fù)合條件數(shù)權(quán)重法的測點優(yōu)選模型，一定程度上可以減輕頻響函數(shù)矩陣病態(tài)程度。楊帆等[11]基于模態(tài)函數(shù)分布創(chuàng)立了響應(yīng)點篩選理論，適用于不同的載荷類型和邊界條件。Gupta 等[12]利用D-最優(yōu)設(shè)計結(jié)合有限元分析，確定最佳測點位置以提高載荷識別精度。

本文以發(fā)動機(jī)多支點軸承動載荷識別問題為對象，在基于條件數(shù)的響應(yīng)點優(yōu)化選擇基礎(chǔ)上，采用TSVD正則化方法消除矩陣病態(tài)性。在雙轉(zhuǎn)子試驗平臺上進(jìn)行載荷識別試驗，驗證了該方法的有效性。

1 軸承動載荷辨識模型

對于實測的線性結(jié)構(gòu)確定性響應(yīng)，設(shè)實測響應(yīng)點個數(shù)為m，待識別的載荷個數(shù)為n。動載荷列陣F(ω)與響應(yīng)列陣U(ω)之間在頻域上線性關(guān)系如式(1)所示：

式中：H∈Cm×n，m≥n，H為系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。動載荷可以表示為：

式中：上標(biāo)“H”表示矩陣復(fù)共軛轉(zhuǎn)置。

1.1 基于條件數(shù)的測點優(yōu)化

不同響應(yīng)點測點組合對應(yīng)的頻響函數(shù)矩陣不同，響應(yīng)測點最優(yōu)組合在于找到病態(tài)程度最低的頻響函數(shù)矩陣。響應(yīng)點個數(shù)對應(yīng)頻響函數(shù)的行數(shù)，載荷激勵個數(shù)對應(yīng)其列數(shù)，為保證解唯一，響應(yīng)點個數(shù)不少于載荷激勵個數(shù)[13]。

選取響應(yīng)測點個數(shù)為mr(n≤mr≤m)，則測點選取共有種組合，對于第i種組合，對應(yīng)的頻響函數(shù)矩陣表示為Hi(mr×n)，其條件數(shù)可以表示如下：

遍歷所有測點個數(shù)下測點組合頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)，找到條件數(shù)最小的矩陣，對應(yīng)的響應(yīng)測點組合即為最優(yōu)方案。

1.2 截斷奇異值分解技術(shù)（TSVD）

對頻響函數(shù)矩陣H進(jìn)行奇異值分解：

式中：Umn={u1,u2,…,un}和Vnn={v1,v2,…,vn}為列向量正交陣，是系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣H分解出的兩個酉矩陣，分別包括H矩陣奇異值左、右奇異向量；對角陣Σnn的對角元素{ }σi，i=1,2,…,n，σi≥0 是矩陣H的所有奇異值且按由大到小的順序排列。將式(4)代入式(2)中，則得到F為：

式中：上標(biāo)“+”表示矩陣H的摩爾-彭諾斯廣義偽逆，H+的表達(dá)式為：

從式(5)可以看出，較小的奇異值會顯著放大響應(yīng)誤差對參數(shù)估值的影響，使最小二乘解非常不穩(wěn)定。截斷奇異值分解(TSVD)法采用一個低秩矩陣Hk逼近原矩陣H，其中k＜n，目的是消除過小的奇異值及對應(yīng)的特征向量對正則解帶來的影響，由此削弱方程的病態(tài)特性，則式(1)的TSVD正則化解表示為：

式中：

式中：Σk是將對角陣Σ中n-k個最小的奇異值過濾后得到的，當(dāng)k取值合理時，矩陣Hk的條件數(shù)適中，使得TSVD 正則解更穩(wěn)定，k稱為截斷數(shù)，使病態(tài)矩陣H轉(zhuǎn)化為良態(tài)矩陣Hk。引入濾波因子：

將式(8)代入式(7)中，正則化解表達(dá)為：

TSVD法的關(guān)鍵在于截斷數(shù)k的選取，即確定合適的奇異閾值σk。在本文試驗條件下，待識別載荷個數(shù)為3 個，分解后的奇異值矩陣中，只有3 個奇異值，大部分測點組合下最小奇異值占比不到10%，故取奇異值累積占比為90%，舍棄小奇異值，排除實際測試中響應(yīng)誤差的干擾。

2 軸承動載荷識別試驗

2.1 試驗臺

在具有內(nèi)外雙機(jī)匣的雙轉(zhuǎn)子試驗臺上進(jìn)行軸承支點動載荷辨識試驗。試驗臺為帶有高、低壓轉(zhuǎn)子的雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，各支承通過錐殼和輻板連接到機(jī)匣上耦合在一起，機(jī)匣包括：進(jìn)氣機(jī)匣、風(fēng)扇機(jī)匣、中介機(jī)匣、核心機(jī)匣和渦輪后機(jī)匣，機(jī)匣通過兩個安裝節(jié)安裝在基座上。本文主要通過機(jī)匣水平方向振動，識別低壓轉(zhuǎn)子軸承水平方向動載荷。低壓轉(zhuǎn)子由#1、#2、#3共3個滾動軸承支承，其上帶有2個輪盤，軸承支點動載荷主要由輪盤不平衡力引起，可利用輪盤進(jìn)行動平衡實驗。低壓轉(zhuǎn)子支撐模型和試驗臺實物圖如圖1所示。

圖1 軸承支點動載荷識別試驗裝置

頻響函數(shù)測試系統(tǒng)主要由加速度傳感器、電荷放大器、力錘和信號分析儀組成。在頻響函數(shù)測試試驗時，激勵由壓電式力傳感器產(chǎn)生，靈敏度為4.11 pC/N，力信號通過電荷放大器放大后傳輸?shù)?52u IOtech 動態(tài)信號分析儀中，電荷放大器的放大系數(shù)為1 mV/N；通過振動加速度傳感器測量系統(tǒng)加速度響應(yīng)，傳感器靈敏度為100 mV/g，力信號和加速度振動信號由信號分析儀采集后被輸入計算機(jī)，經(jīng)計算得到位移頻響函數(shù)。試驗臺運(yùn)行時，使用振動數(shù)據(jù)采集儀獲取機(jī)匣表面振動位移信號，采樣樣本長度設(shè)置為1 024，同步采樣周期數(shù)為8。

2.2 實驗方案設(shè)計

在低壓壓氣機(jī)和渦輪輪盤上設(shè)置不平衡量，模擬不同動載荷工況，表1給出了7種試驗工況。在保證試驗安全下，使各工況之間機(jī)匣表面振動變化盡可能大。

表1 雙轉(zhuǎn)子試驗臺運(yùn)行工況

在機(jī)匣表面布置10 個測點測量機(jī)匣響應(yīng)作為系統(tǒng)響應(yīng)，將低壓轉(zhuǎn)子所受不平衡力等效為3 個軸承所受激勵并作為系統(tǒng)激勵，低壓轉(zhuǎn)子測點布置如圖2所示。拆除轉(zhuǎn)子，分別敲擊機(jī)匣表面的10 個測點，得到3個軸承支點的響應(yīng)，再利用頻響函數(shù)互易性，獲得軸承支點到機(jī)匣表面10×3維加速度頻響函數(shù)矩陣，相干系數(shù)大于0.7，認(rèn)為頻響函數(shù)可靠。

圖2 試驗臺結(jié)構(gòu)及測點布置

利用實測機(jī)匣響應(yīng)和頻響函數(shù)，識別出兩種工況下3 個軸承支點動載荷矢量差，根據(jù)力和力矩平衡，計算出兩個輪盤上不平衡力，將計算出的輪盤不平衡力矢量差與實際不平衡力矢量差對比，得到不平衡力的幅值和相位誤差，平均幅值相對誤差在15%左右，同時平均相位誤差不超過20°，認(rèn)為動載荷識別結(jié)果可靠[14]。

低壓轉(zhuǎn)子受力分析模型如圖3所示，輪盤不平衡力求解方程見式(11)。

圖3 低壓轉(zhuǎn)子受力分析模型

式中：U1和U2分別為低壓壓氣機(jī)風(fēng)扇輪盤和低壓渦輪盤所受不平衡力；F1、F2和F3分別為#1、#2 和#3 軸承所受動載荷。

2.3 試驗結(jié)果分析

以測點3為例，圖4給出了轉(zhuǎn)速為1 170 r/min和1 294 r/min時機(jī)匣表面該測點的振動原始波形和頻譜圖。試驗轉(zhuǎn)速1 170 r/min 接近臨界轉(zhuǎn)速1 200 r/min，與不平衡力同頻的工頻振動被大幅度激發(fā)出來，幅值較大，占據(jù)主導(dǎo)成分，導(dǎo)致振動波型比較規(guī)則。遠(yuǎn)離該轉(zhuǎn)速區(qū)間，轉(zhuǎn)速在1 294 r/min時，各種頻率成分都存在，信號比較不規(guī)則，故選擇轉(zhuǎn)速1 170 r/min時進(jìn)行分析。圖5為通過錘擊試驗獲得的各機(jī)匣與軸承支點的頻響函數(shù)和相干系數(shù)，在10 Hz～30 Hz研究范圍內(nèi)相干系數(shù)大于0.85。

圖4 機(jī)匣測點3原始波形和頻譜圖

圖5 機(jī)匣-軸承頻響函數(shù)曲線

為了驗證最優(yōu)響應(yīng)測點選取方案識別載荷的準(zhǔn)確性，試驗中總共選取響應(yīng)測點3個～10個，載荷識別個數(shù)為3，共有=968種可能的組合，并對每種組合情況計算其對應(yīng)的頻響函數(shù)條件數(shù)。圖6給出了所有測點組合的條件數(shù)，表2為部分較小和較大條件數(shù)時的測點組合。

圖6 不同測點組合對應(yīng)的條件數(shù)

從表2可以看出：測點組合為2、6、8時最小條件數(shù)為6.4；測點組合為1、2、10時最大條件數(shù)為181.9。對比表中左右兩列測點組合，當(dāng)加入測點5、10 時，條件數(shù)較大，導(dǎo)致矩陣病態(tài)程度變大。選擇響應(yīng)點測點時應(yīng)遵循以下原則：①避開機(jī)匣邊緣處；②測點之間不能相距太近。選擇低壓壓氣機(jī)風(fēng)扇機(jī)匣和核心機(jī)匣中部時，頻響函數(shù)條件數(shù)更低，矩陣病態(tài)程度得到改善。

表2 部分測點組合條件數(shù)

對比不同載荷識別方法，選擇6組對比工況，響應(yīng)點分別選取機(jī)匣表面全部測點、對比測點組合2、5、6、8和優(yōu)化測點組合2、6、8時，得到3個軸承支點動載荷識別結(jié)果，根據(jù)式（11）計算出加重輪盤不平衡力識別值，對比實際不平衡力和識別值獲得載荷識別幅值和相位誤差。

表3給出了選取機(jī)匣表面全部測點時，采用頻響函數(shù)直接求逆法識別軸承動載荷結(jié)果；表4給出了選取機(jī)匣表面全部測點時，采用TSVD 正則化法識別軸承動載荷結(jié)果；表5給出了選取對比測點組合時，采用TSVD正則化法識別軸承動載荷結(jié)果；表6給出了選取優(yōu)化響應(yīng)點測點組合時，采用TSVD正則化法識別軸承動載荷結(jié)果。

表3 全部測點-直接求逆

表4 全部測點-TSVD法

表5 對比測點-TSVD法

表6 優(yōu)化測點-TSVD法

從表3可以發(fā)現(xiàn)，對比組合加入機(jī)匣邊緣測點5時，由于與測點6距離較近，響應(yīng)之間線性相關(guān)性變大，導(dǎo)致載荷識別誤差比優(yōu)化測點組合大，故只需選取其中一個測點即可，這進(jìn)一步說明測點選取的合理性。綜合采用基于條件數(shù)的響應(yīng)點優(yōu)化方法和TSVD 法能夠改善頻響函數(shù)矩陣的病態(tài)程度，提高軸承動載荷的識別精度。

3 結(jié)語

針對帶機(jī)匣的多支承旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸承動載荷識別問題，采用頻響函數(shù)直接求逆法識別載荷，建立TSVD 正則化和基于條件數(shù)的響應(yīng)點測點優(yōu)化相結(jié)合的方法，抑制該逆問題中矩陣的病態(tài)性。在雙轉(zhuǎn)子試驗臺上進(jìn)行載荷識別試驗，通過在輪盤上模擬不同不平衡工況，將低壓轉(zhuǎn)子所受不平衡力等效為軸承支點所受動載荷，驗證載荷識別的準(zhǔn)確性。結(jié)果表明：機(jī)匣響應(yīng)點測點選取應(yīng)避開結(jié)構(gòu)邊緣，采用測點組合優(yōu)化后的TSVD方法可以有效減弱頻響函數(shù)矩陣的病態(tài)性，使軸承動載荷識別結(jié)果更準(zhǔn)確。