基于負(fù)電阻電磁分流阻尼的結(jié)構(gòu)振動控制

李 戈，毛崎波，王 永

（1.南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063；2.國網(wǎng)上海市電力公司 特高壓換流站分公司，上海 201413）

將電磁分流阻尼(electromagnetic shunt damper，EMSD)用于結(jié)構(gòu)振動控制是一種新發(fā)展起來的被動控制方法，具有控制力和阻尼力較大、信號響應(yīng)為寬頻、傳遞力具有非接觸性等優(yōu)點。EMSD 的原理是利用線圈與永磁體的相對運動所產(chǎn)生的電磁阻尼力[1]阻礙系統(tǒng)的振動，并通過外接的分流電路消耗或者收集由系統(tǒng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化而來的電能。

根據(jù)機(jī)電類比，當(dāng)把LRC 2 階串并聯(lián)電路作為EMSD 的分流電路時，可以將EMSD 視作一個參數(shù)可以方便調(diào)節(jié)的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器[2]。而對于參數(shù)可調(diào)的EMSD 來說，重要的是得到分流電路的最優(yōu)設(shè)計值，其次是使得分流電路參數(shù)達(dá)到或者接近對應(yīng)的最優(yōu)值。但是對于一個附加EMSD的單自由度系統(tǒng)而言，線圈的直流電阻往往要大于分流電路最優(yōu)電阻值，因此可以在分流電路中接入負(fù)電阻模擬電路中和線圈直流電阻，從而使得分流電路等效電阻接近于最優(yōu)電阻，進(jìn)而提高振動控制效果。Yan等[3]提出在一種電磁調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的分流電路中接入負(fù)電感負(fù)電阻電路，并將其用于懸臂梁的多模態(tài)控制；Zhang等[4]在EMSD 的L-R型分流電路中接入負(fù)電阻電路，并將其用于懸臂板的多模態(tài)振動控制(結(jié)構(gòu)的固有頻率較低，在100 Hz以內(nèi))；鄭文廣等[5]提出在分流電路接入負(fù)電阻來調(diào)節(jié)接入EMSD后的結(jié)構(gòu)固有頻率，并取得了極好的控制效果。以上幾位學(xué)者的研究均表明將負(fù)電阻電路用于結(jié)構(gòu)振動控制有著非常好的效果，但其均應(yīng)用L-R 型分流電路，L-R型分流電路具有感抗會隨頻率增加的缺點，而不能用于控制高頻振動，而且，即便能用于控制結(jié)構(gòu)的多模態(tài)振動，也只是在結(jié)構(gòu)固有頻率較小的情況下。但是考慮到在LRC串聯(lián)的2階振蕩電路中感抗與容抗相位相差180°的特點，將L-R 電路改為LRC 電路可以消除分流電路中的高頻感抗，進(jìn)而能更有效地控制結(jié)構(gòu)振動。同樣，采用LRC分流的EMSD的參數(shù)優(yōu)化也是至關(guān)重要的。Zhou等[7]先后使用了定點理論、H2優(yōu)化、最大衰減系數(shù)優(yōu)化(極點配置法)等3種方法，得到了附加EMSD 的單自由度系統(tǒng)在做簡諧、隨機(jī)、瞬態(tài)等3 種振動時，接入負(fù)電阻后的LRC串聯(lián)分流電路的最優(yōu)參數(shù)解析解。Inoue等[8]在假設(shè)線圈電感值為給定值條件下，利用定點理論推導(dǎo)出將分流電路為LRC 串聯(lián)電路的EMSD 用于無阻尼單自由度系統(tǒng)的振動控制時，分流電路的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。然而對于定點理論來說，若主系統(tǒng)存在阻尼系數(shù)時，不同阻尼比所對應(yīng)的頻響函數(shù)曲線并不會交于兩個定點，此時定點理論會面臨失效[9]。且文獻(xiàn)[7]中機(jī)電耦合系數(shù)被限制為2 以內(nèi)，根據(jù)定點理論所推導(dǎo)出的結(jié)論才能成立，這是其不足之處。對于與文獻(xiàn)[8]同樣的模型，Tang等[10]利用H2優(yōu)化推導(dǎo)出了最優(yōu)調(diào)諧比、阻尼比的解析表達(dá)式，從其結(jié)論來看,主系統(tǒng)無阻尼時，采用LRC串聯(lián)分流的EMSD的機(jī)電耦合系數(shù)被限制為2 以內(nèi)，更進(jìn)一步地，Ikegame等[2]利用H2優(yōu)化理論得到了有阻尼時主系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)諧比、阻尼比的解析表達(dá)式，但是通過計算其結(jié)論可知：主系統(tǒng)有阻尼時，采用LRC 串聯(lián)分流的EMSD 的機(jī)電耦合系數(shù)將會小于0～2 中的某個數(shù)，比如當(dāng)主系統(tǒng)的阻尼比為0.05 時，機(jī)電耦合系數(shù)被限制為1.709 9 之內(nèi)，而且當(dāng)主系統(tǒng)阻尼比越大，機(jī)電耦合系數(shù)被限制得更加嚴(yán)重。而且，如果實際的機(jī)電耦合系數(shù)接近于這些上限值，會使得調(diào)諧比趨近于0，從而導(dǎo)致最優(yōu)電容變得非常大，因此采用H2優(yōu)化和定點理論的方案可行性不足。從這些優(yōu)化EMSD 分流電路的參數(shù)的文獻(xiàn)來看，使得衰減系數(shù)最大化的極點配置法的結(jié)論，對機(jī)電耦合系數(shù)的大小沒有任何限制，且其計算過程也相對簡單，因此其適用性是最好的。

因此本文選擇文獻(xiàn)[2]中推導(dǎo)出的極點配置法的結(jié)論確定EMSD 的LRC 分流電路的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)，并接入負(fù)電阻電路，用于對懸臂梁進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動控制，然后通過計算頻響函數(shù)，判斷接入負(fù)電阻后的控制效果是否能得到提升。

需要注意的是，因為實驗難度較大，且目前并沒有國內(nèi)外學(xué)者針對采用負(fù)電阻LRC 分流的EMSD進(jìn)行過實驗，因此本文僅涉及理論模型和數(shù)值計算。

1 LRC 串聯(lián)分流的電磁分流阻尼用于懸臂梁的振動控制

圖1所示即為EMSD控制懸臂梁結(jié)構(gòu)振動的示意圖，其中坐標(biāo)系原點在固定端處，傳感器的測量點和激振器的激勵點位于同一位置，即xs=x0，設(shè)電磁線圈的放置點為xi，則電磁線圈對懸臂梁施加的作用力可以等效為線圈的中心點位置xi處的集中力；其中Rsh為分流電路電阻，Rsh可以為負(fù)電阻即Rsh=Rn。

圖1 LRC串聯(lián)的電磁分流阻尼用于懸臂梁振動控制的示意圖

圖2所示為加入負(fù)電阻后分流電路的等效電路圖，其中eM=為感應(yīng)電動勢，電阻R0為線圈直流電阻，Rsh為分流電路外接等效電阻Rsh=R1-RSRb/Ra，若Rsh為負(fù)電阻，可以令Rsh=Rn,Rn為負(fù)電阻。

圖2 由電磁線圈、電容和負(fù)電阻分流器組成的電路示意圖

假設(shè)懸臂梁的彎曲振動的模態(tài)函數(shù)為ψi(x)(數(shù)學(xué)表達(dá)式見參考文獻(xiàn)[11])，則懸臂梁的第i階模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)阻尼、模態(tài)剛度矩陣如式(1)、式(2)、式(3)所示[11]：

假設(shè)電流為i(t)，激振力的大小為f(t)，則第i階的模態(tài)力為如式(11)所示[11]：

設(shè)懸臂梁的第i階模態(tài)坐標(biāo)為Wi，則點x處的位移為式(5)為將EMSD 用于懸臂梁振動控制時的機(jī)電耦合方程，其中R為等效電阻：

根據(jù)模態(tài)疊加法，可以將上述方程改寫如式(6)所示：

假設(shè)以激振力f(t)為輸入量，測量點速度Vx0為輸出量，則狀態(tài)空間模型如式(7)、式(8)所示：

2 數(shù)值計算

將采用LRC 分流的EMSD 用于控制懸臂梁的振動，所涉及到的懸臂梁的參數(shù)以及電磁線圈參數(shù)如表1所示。

表1 懸臂梁以及線圈參數(shù)

懸臂梁的多個固有頻率ωn1至ωnN對應(yīng)的分流電路最優(yōu)電容為CS1至CnN。根據(jù)文獻(xiàn)[2]，選用極點配置優(yōu)化法時，對于控制懸臂梁的第i階模態(tài)振動，分流電路的最優(yōu)調(diào)諧比為由此得到控制懸臂梁第i階模態(tài)振動的分流電路最優(yōu)電容為最優(yōu)電阻阻值為Ropti=結(jié)構(gòu)的前4階的固有頻率以及最優(yōu)電容的數(shù)值如表2所示。

結(jié)合第1節(jié)所推導(dǎo)出的狀態(tài)空間模型和表1、表2的數(shù)據(jù)，算得在不同負(fù)電阻下采用LRC串聯(lián)的電磁分流阻尼控制的懸臂梁第1階模態(tài)振動速度頻響函數(shù)如圖3所示。

表2 結(jié)構(gòu)固有頻率以及最優(yōu)電容的數(shù)值

圖3 將采用LRC串聯(lián)的電磁分流阻尼用于懸臂梁的振動控制(控制第1階模態(tài)振動)

由圖3可知，逐步增加負(fù)電阻后，控制效果也隨之逐步提升，但需要注意的是，并不是負(fù)電阻越大，控制效果越好，這是因為將EMSD用于結(jié)構(gòu)振動控制時，其相當(dāng)于一個虛擬的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，當(dāng)負(fù)電阻增大并使得等效電阻接近于0時分流電路阻尼比會趨于0，從而控制效果也會下降；控制第1 階模態(tài)振動所對應(yīng)的分流電路參數(shù)也會對第2階模態(tài)振動有影響，因此電磁分流阻尼具有多模態(tài)控制效果。

但這種控制效果在結(jié)構(gòu)固有頻率較高時會消失，比如對懸臂梁第3 階模態(tài)振動幾乎沒有控制效果，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是：對于控制懸臂梁第1階模態(tài)振動的分流電路的電路原件，若不改變其數(shù)值大小，直接將其用于控制第2階模態(tài)振動，此時分流電路的振蕩頻率為結(jié)構(gòu)的第2 階固有頻率，此時線圈上的感抗遠(yuǎn)大于電容上的容抗，分流電路產(chǎn)生失諧，導(dǎo)致電流急劇降低及線圈發(fā)出的控制力大大降低。這也第2 階模態(tài)的控制效果沒有第1 階模態(tài)好的原因。由于第3階及更高階模態(tài)的固有頻率遠(yuǎn)大于第1 階模態(tài)的固有頻率，若結(jié)構(gòu)以這種高階模態(tài)的固有頻率振動，則線圈的感抗愈加增大，容抗愈加趨近于零，從而產(chǎn)生了更加嚴(yán)重的失諧，這也是其對第3階及更高階的模態(tài)幾乎沒有控制效果的原因。

需要注意的是，圖3中的第2階模態(tài)振動的頻響函數(shù)在負(fù)電阻取-9.5 Ω 至0時的幅值要小于不加入負(fù)電阻時的幅值，這說明了負(fù)電阻能在一定程度上提升EMSD的多模態(tài)控制效果。

圖4所示為控制第1 階模態(tài)振動時的相頻響應(yīng)曲線。

圖4 相頻響應(yīng)曲線(控制懸臂梁第1階模態(tài))

由圖4可知，相頻響應(yīng)曲線在每個固有頻率處均出現(xiàn)一個180°的相位滯后，而且在每個虛的零點通過一個180°的相位超前得到補(bǔ)償。相位總是在90°至-90°之間振蕩，這是由于傳遞函數(shù)的零點和極點相間排列所導(dǎo)致的。

分別將分流電路電容取CS2、CS3、CS4，并將它們代入式(7)、式(8)，計算出在分流電路接入不同負(fù)電阻條件下采用極點配置法優(yōu)化懸臂梁第2 階、第3階、第4階模態(tài)振動時的頻響函數(shù)，如圖5所示。

由圖5可知，在分流電路中接入負(fù)電阻能很好地提高電磁分流阻尼的控制效果；且只需要更改電容數(shù)值，LRC 串聯(lián)分流電路就能控制結(jié)構(gòu)的任一模態(tài)振動，也包括固有頻率較高的模態(tài)。這是L-R 型負(fù)電阻分流電路所不及的。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，在圖5的(a)至(c)圖中，最優(yōu)電阻阻值逐次增大，因此最優(yōu)負(fù)電阻的阻值大小隨著模態(tài)階數(shù)遞增而減小。圖5(a)至圖5(c)中，對于各階模態(tài)的調(diào)控對鄰階模態(tài)沒有產(chǎn)生控制效果，這是因為單獨控制第2階至4階模態(tài)中的任一階振動，意味著分流電路的參數(shù)與被控制的那一階模態(tài)對應(yīng)，且分流電路處于諧振狀態(tài)，若結(jié)構(gòu)以相鄰模態(tài)的固有頻率振動，由于相鄰模態(tài)固有頻率的數(shù)值相差足夠大（見表2），分流電路會產(chǎn)生嚴(yán)重的失諧，導(dǎo)致等效阻抗急劇增大，使得電流和控制力都會急劇降低。這是相鄰模態(tài)所受到的影響很小的原因，同時也是結(jié)構(gòu)固有頻率較高時EMSD 不再具有多模態(tài)控制效果的原因。

圖5 采用LRC串聯(lián)分流的電磁分流阻尼分別控制懸臂梁的第2階至第4階模態(tài)振動

3 結(jié)語

本文建立了將采用LRC 串連分流的電磁分流阻尼用于懸臂梁結(jié)構(gòu)振動控制的狀態(tài)空間模型，數(shù)值計算結(jié)果表明了以下結(jié)論：

(1)負(fù)電阻通過降低分流電路電阻，增大電流和控制力，能有效地控制結(jié)構(gòu)振動。

(2)當(dāng)結(jié)構(gòu)固有頻率較低時，電磁分流阻尼具有多模態(tài)控制效果，且負(fù)電阻能在一定程度上提升這種多模態(tài)控制效果。

(3)LRC分流電路相比于L-R分流電路，只需要更改分流電路參數(shù)就能控制結(jié)構(gòu)的其他模態(tài)振動，這是其優(yōu)勢所在。