剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂的滑模預(yù)測(cè)振動(dòng)控制研究

林 沖，王 剛，徐麗莎，鄧 華

（中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082）

由輕質(zhì)化柔性構(gòu)件組成的機(jī)械臂需要的材料更少且具有更高的操作速度、更低的能耗等特點(diǎn)[1－2]，因此在滿足穩(wěn)定性和強(qiáng)度要求下，柔性機(jī)械臂在工程中應(yīng)用越來越廣泛。由于剛?cè)嵝詸C(jī)械臂狀態(tài)變量之間存在復(fù)雜的耦合關(guān)系，且由各階模態(tài)組成的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)不僅受控制輸入的影響，還受輸入輸出子系統(tǒng)的影響，動(dòng)態(tài)行為十分復(fù)雜[3－4]。同時(shí)柔性臂在運(yùn)動(dòng)控制的過程中會(huì)產(chǎn)生劇烈的彈性振動(dòng)，因此需要研究適用于柔性機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制策略[5－7]。Vo等[8]針對(duì)雙連桿柔性機(jī)械臂，提出了一種PID-非奇異終端滑模控制，其收斂速度快且穩(wěn)定性好，具有良好的軌跡跟蹤性能，但控制器結(jié)構(gòu)較復(fù)雜。Sun 等[9]將剛?cè)釞C(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型分解為輸入輸出子系統(tǒng)和內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，基于模糊控制實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤，但未考慮柔性臂運(yùn)動(dòng)時(shí)的末端振動(dòng)情況。Ge等[10]通過奇異攝動(dòng)控制方法，在快變子系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)基于自適應(yīng)動(dòng)態(tài)軌跡規(guī)劃的軌跡跟蹤控制器。

針對(duì)上述問題，本文設(shè)計(jì)一種滑模預(yù)測(cè)控制器實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制，通過預(yù)測(cè)模型預(yù)估系統(tǒng)未來的輸出，消除末端控制誤差，提高控制精度，同時(shí)考慮內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)對(duì)柔性臂末端振動(dòng)位移的影響，減少末端振動(dòng)。首先基于輸出重定義法得到柔性臂末端的觀測(cè)量，將內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，將預(yù)測(cè)作為跟蹤誤差及其高階導(dǎo)數(shù)組合的滑模面，并將滑模面引入預(yù)測(cè)控制的二次性能指標(biāo)，通過最小化性能指標(biāo)，得到具有顯式解析形式的滑模預(yù)測(cè)控制律，該性能指標(biāo)可以消除由于滑?？刂频那袚Q而引起的抖振現(xiàn)象，抑制柔性臂末端的振動(dòng)，從而保證整個(gè)剛?cè)嵝詸C(jī)械臂系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。最后將其通過仿真和實(shí)驗(yàn)與傳統(tǒng)滑?？刂破鬟M(jìn)行比較分析，發(fā)現(xiàn)該方法可以減少柔性臂末端的彈性振動(dòng)，具有更優(yōu)越的軌跡跟蹤性能。

1 控制模型的建立

1.1 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

本文研究的剛-柔耦合機(jī)械臂由兩個(gè)連桿組成，第一個(gè)連桿是剛性的，第二個(gè)連桿是柔性的，柔性連桿由細(xì)長(zhǎng)的柔性梁組成，與剛性旋轉(zhuǎn)輪轂連接，假設(shè)柔性連桿可以在水平面內(nèi)自由彎曲，但在垂直方向和扭轉(zhuǎn)中是剛性的，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)組成如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化示意圖

圖1中，剛性臂和柔性臂長(zhǎng)度分別為l1和l2，OXY坐標(biāo)系是基坐標(biāo)系；O1X1Y1坐標(biāo)系和O2X2Y2坐標(biāo)系是固定于剛性臂和柔性臂基座的局部坐標(biāo)系，θ1和θ2是剛性臂和柔性臂運(yùn)動(dòng)的相對(duì)角度，p′是p點(diǎn)發(fā)生變形后在基坐標(biāo)系OXY中的位置向量，根據(jù)文獻(xiàn)[11]得到剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程，考慮機(jī)械臂各關(guān)節(jié)摩擦因素后，可得動(dòng)力學(xué)模型為：

式中各矩陣參數(shù)為：

如式(1)所示，qi為柔性臂的各階模態(tài)，M為5×5廣義質(zhì)量矩陣，V為廣義阻尼矩陣，F(xiàn)是由離心力與科氏力引起的非線性項(xiàng)，T為廣義驅(qū)動(dòng)力矩，Tf為摩擦力矩，fci為庫(kù)倫摩擦力矩系數(shù)，fvi為黏性摩擦力矩系數(shù)。

1.2 系統(tǒng)輸出重定義

在剛-柔機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制的過程中，不僅要使柔性臂末端位置能夠精確跟蹤期望的運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)要抑制柔性臂在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的彈性變形，當(dāng)以柔性臂末端位置作為系統(tǒng)的輸出時(shí)，此時(shí)是非最小相位系統(tǒng)。輸出重定義法是克服非最小相位系統(tǒng)常用的有效方法，本文采用輸出重定義法重新得到柔性臂末端的觀測(cè)量[12]。由于上述推導(dǎo)的剛-柔機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程是五階非線性強(qiáng)耦合微分方程，因此需要將方程式(1)變換為：

如式(2)所示，左右兩邊分別乘以M-1，設(shè)M-1=得到關(guān)于轉(zhuǎn)角θ和模態(tài)坐標(biāo)q的輸出方程如下：

通過輸出重定義法將剛?cè)釞C(jī)械臂末端位置表示為：

根據(jù)上述系統(tǒng)輸出重定義結(jié)果，對(duì)式(4)進(jìn)行二次微分，得到系統(tǒng)輸出結(jié)果：

由于剛-柔機(jī)械臂系統(tǒng)的維數(shù)是5，輸入輸出子系統(tǒng)維數(shù)為2，所以不可觀測(cè)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)維數(shù)是3，通過內(nèi)部子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，盡可能地降低柔性模態(tài)對(duì)末端位置的影響，因此不僅要考慮系統(tǒng)輸入輸出子系統(tǒng)，而且需要考慮內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，構(gòu)造系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：

故有：

2 滑模預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)

對(duì)于剛?cè)釞C(jī)械臂輸入輸出子系統(tǒng)，結(jié)合滑?？刂频膹?qiáng)魯棒性和預(yù)測(cè)控制的優(yōu)良尋優(yōu)性能設(shè)計(jì)滑模預(yù)測(cè)控制器，通過預(yù)測(cè)模型預(yù)估系統(tǒng)未來的輸出，消除末端控制誤差，提高控制精度，保證末端位置快速漸近地到達(dá)給定的期望軌跡[13－14]。內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)不僅受控制輸入的影響，還受輸入輸出子系統(tǒng)的影響，動(dòng)態(tài)行為十分復(fù)雜，難以直接對(duì)其進(jìn)行分析，因此將內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，降低輸入輸出子系統(tǒng)對(duì)其產(chǎn)生的影響，滑模預(yù)測(cè)控制器控制原理如圖2所示。

圖2 滑模預(yù)測(cè)控制原理圖

根據(jù)滑模預(yù)測(cè)控制的參數(shù)確定原理，將剛性臂和柔性臂的期望運(yùn)動(dòng)角度和實(shí)際運(yùn)動(dòng)角度的誤差ei和誤差的導(dǎo)數(shù)值作為滑模預(yù)測(cè)控制的輸入，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩和內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)q作為輸出，取值如下：

首先對(duì)輸入/輸出子系統(tǒng)進(jìn)行滑模預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)，取滑模函數(shù)：

如式(7)所示：e=yb-y，yb為期望運(yùn)動(dòng)軌跡。對(duì)滑模函數(shù)求微分得到：

預(yù)測(cè)經(jīng)過時(shí)間T時(shí)的滑模面為：

預(yù)測(cè)控制目標(biāo)為y(t+T)→yd(t+T)，因此，設(shè)計(jì)滑模預(yù)測(cè)控制目標(biāo)函數(shù)為：

要實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制需滿足如下條件：

因此，最優(yōu)控制條件可轉(zhuǎn)化為s(t+T)=0，由式(8)和式(9)可得：

得到系統(tǒng)輸入/輸出的滑?？刂破鳛椋?/p>

根據(jù)Lyapunov函數(shù)原理：

對(duì)V進(jìn)行微分，將式(4)和式(8)代入，得：

將式(13)代入式(15)中，化簡(jiǎn)得：

因此，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)，證明了上述設(shè)計(jì)的控制律表達(dá)式(14)可在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面，保證系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)性。

2.2 內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

基于系統(tǒng)輸出重定義法[15－16]，得到剛?cè)釞C(jī)械臂的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)方程，使用泰勒級(jí)數(shù)在x=0 處展開方程式(2)中的質(zhì)量矩陣M，得到：

其中：

H0是一個(gè)常數(shù)矩陣，fh(x)代表x中具有高階項(xiàng)的矩陣，將式(17)代入方程式(6)，得到：

F1和F2是常數(shù)矩陣，表達(dá)式如下：

化簡(jiǎn)后得到：

式中：Ω代表區(qū)域空間，K1和K2代表系統(tǒng)參數(shù)，在設(shè)計(jì)控制器的過程中，將系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)為嚴(yán)格使矩陣F1和F2的所有特征值都在左半復(fù)平面上，通過極點(diǎn)配置法取：

ε0=diag([4.416.12]),ε1=diag([1.239.20])，K1=17.5，K2=10.5，則可以確保動(dòng)力學(xué)方程式(20)在平衡點(diǎn)x=0 處是漸近穩(wěn)定的，減少了輸入輸出子系統(tǒng)對(duì)內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的影響。

2.3 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了分析本文中設(shè)計(jì)的剛?cè)釞C(jī)械臂輸入輸出子系統(tǒng)和內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的滑模預(yù)測(cè)控制器(Sliding Mode Predictive Controller，SMPC)的控制效果，對(duì)系統(tǒng)控制模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，并與傳統(tǒng)的滑?？刂破?Sliding Mode Controller，SMC)比較。剛?cè)釞C(jī)械臂的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，給定階躍信號(hào)：yd=[0.25 0.25]T，滑模預(yù)測(cè)控制時(shí)間為T=0.1 s，采樣時(shí)間為10-3s。仿真結(jié)果如圖3至圖5所示。

表1 剛?cè)嵝詸C(jī)械臂的系統(tǒng)參數(shù)

圖3 階躍響應(yīng)結(jié)果

圖5 誤差變化

進(jìn)一步搭建剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖6所示，在柔性機(jī)械臂的不同位置粘貼電阻應(yīng)變片，將電阻應(yīng)變儀的測(cè)試端口與應(yīng)變片連接，根據(jù)應(yīng)變片電阻變化值與變形量的關(guān)系計(jì)算得到柔性臂的振動(dòng)位移。采用固高運(yùn)動(dòng)控制卡實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制，計(jì)算機(jī)通過與運(yùn)動(dòng)控制器的通訊得到伺服電機(jī)光電編碼器的信號(hào)，進(jìn)而反饋伺服電機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，得到實(shí)時(shí)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

如圖3(a)所示，本文設(shè)計(jì)的控制器具有良好的動(dòng)態(tài)跟蹤性能，無超調(diào)量且無穩(wěn)態(tài)誤差，但滑模預(yù)測(cè)控制器的響應(yīng)速度優(yōu)于傳統(tǒng)滑模控制器，且和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合。

如圖3(b)所示，采用滑模預(yù)測(cè)控制器可以減少柔性臂末端的振動(dòng)位移，使系統(tǒng)更快速達(dá)到穩(wěn)定，通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量所得的柔性臂末端的振動(dòng)位移證明了其有效性。

如圖4所示，采用傳統(tǒng)滑?？刂破鲿r(shí)得到的兩關(guān)節(jié)輸入力矩存在一定的抖振現(xiàn)象，且輸入力矩波動(dòng)范圍較大，采用滑模預(yù)測(cè)控制器則可以避免這種現(xiàn)象，兩關(guān)節(jié)輸入力矩可以快速到達(dá)穩(wěn)定且使抖振減??；

圖4 控制器輸入力矩變化

如圖5所示，設(shè)計(jì)的滑模預(yù)測(cè)控制器跟蹤誤差小于傳統(tǒng)滑模控制器，誤差收斂速度逐漸趨于平緩，跟蹤效果良好。

3 結(jié)語

針對(duì)剛?cè)釞C(jī)械臂系統(tǒng)軌跡跟蹤和末端振動(dòng)控制的問題，設(shè)計(jì)了一種基于滑模預(yù)測(cè)控制的有效控制方案。為了解決非最小相位系統(tǒng)的問題，采用輸出重定義法得到柔性臂末端的觀測(cè)量，并將內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，通過分析零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，設(shè)計(jì)了重新定義的系統(tǒng)輸出參數(shù)；將預(yù)測(cè)作為跟蹤誤差及其高階導(dǎo)數(shù)組合的滑模面，得到滑模預(yù)測(cè)控制律，同時(shí)抑制柔性臂在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的彈性變形，保證整個(gè)剛?cè)嵝詸C(jī)械臂系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。根據(jù)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，與傳統(tǒng)的滑?？刂破鞅容^，本文中提出的滑模預(yù)測(cè)控制方法可以抑制柔性臂的末端振動(dòng)，收斂速度更快，跟蹤誤差更小，并且可以有效避免關(guān)節(jié)輸入力矩的抖振現(xiàn)象，最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)證明了該方法的優(yōu)越性。