盆架型壓電平面電機(jī)響應(yīng)面法動力學(xué)特性優(yōu)化

王哲逸，李 冀，李晨捷，龍玉繁，賀紅林

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

壓電電機(jī)是一種直接驅(qū)動的新型微特電機(jī)。與傳統(tǒng)直流電磁電機(jī)不同，壓電電機(jī)利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)進(jìn)行驅(qū)動。通過在壓電材料表面施加電激勵信號使其產(chǎn)生微觀振動，進(jìn)而激勵定子體產(chǎn)生微觀共振，再將其轉(zhuǎn)化為動子的宏觀運動[1－4]。平面壓電電機(jī)在工作時有響應(yīng)快、定位精度高、運動平穩(wěn)、無輸入自鎖等一系列優(yōu)點，因此平面壓電電機(jī)廣泛運用于生物醫(yī)療、芯片制造等有高精度定位需求行業(yè)[5－6]。Polit等[7]提出了1種具有納米級分辨率的壓電驅(qū)動平臺，該驅(qū)動平臺x、y向驅(qū)動行程可達(dá)15 μm，行進(jìn)間位移分辨率可達(dá)1 μm；Zhang 等設(shè)計出一種新型精密二維定位平臺[8]，平臺將兩向驅(qū)動耦合形成50 mm×50 mm的驅(qū)動行程，定位精度小于0.28 μm；賀紅林課題組提出“田字型”、“雙十字形”和“口齒式”電機(jī)結(jié)構(gòu)[9－11]。總結(jié)前人研究成果，本文提出了1 種以定子縱、彎兩種振動模態(tài)作為驅(qū)動模態(tài)的盆架型平面壓電電機(jī)。電機(jī)利用壓電材料的d31效應(yīng)激勵定子固有模態(tài)，通過定動子間的摩擦耦合，將定子的微觀振動傳遞至動子[12]。

壓電電機(jī)定子設(shè)計要求特殊，在設(shè)計過程中常出現(xiàn)為滿足某一個性能參數(shù)要求而導(dǎo)致另一個性能參數(shù)產(chǎn)生劇烈變化的情況，極大地增大了電機(jī)設(shè)計難度[13]。以往為滿足此類電機(jī)定子設(shè)計要求，常采用“手動試湊”的方法[14－15]。此類設(shè)計方法使得定子設(shè)計過程繁瑣，結(jié)果也不理想。針對上述問題，時運來[16]提出了1種基于響應(yīng)面法的優(yōu)化設(shè)計方法，運用響應(yīng)面法獲得優(yōu)化參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)的顯式關(guān)系式，結(jié)合優(yōu)化算法對其進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，因其依靠經(jīng)驗進(jìn)行優(yōu)化參數(shù)選取從而降低了優(yōu)化精度。楊模尖等[17]利用有限元分析獲得了V型定子的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對兩相模態(tài)頻率一致性的影響，通過試選的方式找到較合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)尺寸，因函數(shù)關(guān)系構(gòu)建問題，該方法操作相對復(fù)雜[18]。Deibel 等[19]采用了遺傳算法和單純形法相結(jié)合的算法來優(yōu)化換能器參數(shù)；Hong等[20]等運用Kriging Meta 模型，輔助以進(jìn)化算法，對結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。

本文提出了1 種基于ANSYS 有限元軟件和MATLAB分析軟件，結(jié)合響應(yīng)面法和多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法(NSGA-Ⅱ)的優(yōu)化設(shè)計方法，以盆架型壓電電機(jī)定子為研究對象對其性能進(jìn)行驗證。

1 電機(jī)定子設(shè)計

1.1 定子的結(jié)構(gòu)拓?fù)?/h3>

在滿足電機(jī)直線驅(qū)動的基礎(chǔ)上，定子設(shè)計還需大致滿足3個條件[21]：

（1）存在合適的模態(tài)頻率，使定子工作模態(tài)處于合適的超聲頻域。模態(tài)頻率低則易產(chǎn)生噪聲，模態(tài)頻率高則電機(jī)能量損耗增加。

（2）壓電陶瓷片盡量配置在定子最大應(yīng)變處，以保證獲得最大的驅(qū)動足振幅。

（3）應(yīng)盡量降低驅(qū)動桿的彎曲剛度，進(jìn)而使驅(qū)動桿上的驅(qū)動足獲得更大振幅。綜合上述條件，設(shè)計出如圖1所示的盆架型平面壓電電機(jī)定子。定子由4 根方形桿與十字結(jié)構(gòu)體相連構(gòu)成，在十字結(jié)構(gòu)體中心處設(shè)置通孔用于固定和裝配。為減小驅(qū)動的彎曲剛度，在驅(qū)動桿與十字結(jié)構(gòu)體連接處作挖槽處理并在驅(qū)動桿中心開孔。在4根方形桿頂部設(shè)有球形驅(qū)動足用于傳遞運動。將壓電陶瓷片對稱貼于每根方形桿兩側(cè)，其中置于兩端驅(qū)動足處的16片壓電陶瓷片用于激勵定子產(chǎn)生1 階面內(nèi)彎曲振動模態(tài)，置于十字結(jié)構(gòu)體的16 片壓電陶瓷片用于激勵定子產(chǎn)生2階反對稱縱向伸縮振動模態(tài)。

圖1 盆架形壓電電機(jī)定子模型

1.2 定子驅(qū)動機(jī)理

本文采用壓電陶瓷的LE模式并基于d31效應(yīng)激勵定子1階對稱彎振模態(tài)和2階反對稱縱振模態(tài)，通過二者運動耦合驅(qū)動動子滑塊。電機(jī)盆架型定子一個運動周期T內(nèi)驅(qū)動足運動過程如圖2所示。

圖2 驅(qū)動足運動過程

在0～T/4時段，1、2號方桿的1階縱振使它們由初始桿長伸長成最大長度，使1、2 號方桿頂部的驅(qū)動足與動子滑塊相接觸，而1、2 號方桿的彎曲模態(tài)振動使兩桿由最大左彎狀態(tài)恢復(fù)成直桿狀態(tài)，使得1、2 號方桿頂部的驅(qū)動足分別由A1、B1運行至A2、B2并推動動子滑塊沿x方向移動一個步矩λ；同時，3、4號方桿的2階縱振使它們由初始長度收縮至最小桿長，使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足與動子滑塊脫離接觸，3、4號方桿的1階彎曲模態(tài)振動則使3、4號方桿由最大前彎狀恢復(fù)成直桿狀，使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足由F1、G1行進(jìn)到F2、G2。

在T/4～T/2時段，1、2號方桿的2階縱振使它們由最大桿長恢復(fù)至初始桿長，兩桿頂部的驅(qū)動足仍保持與動子滑塊接觸，而1、2號方桿的1階彎曲模態(tài)振動使兩桿由直桿狀彎成最大右彎狀，從而使1、2號方桿頂部的驅(qū)動足分別由A2、B2運行至A3、B3并推動動子滑塊沿x方向移動一個步矩λ；同時，3、4號方桿的2階縱振使它們由初始最小桿長恢復(fù)到初始桿長，使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足仍不與動子滑塊接觸，而3、4號方桿的1階彎曲模態(tài)振動則使3、4號方桿由直桿狀彎曲成最大后彎狀，從而使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足由F2、G2行進(jìn)到F3、G3。

在T/2～3T/4 時段，2 階縱振使1、2 號方桿由初始狀態(tài)收縮成最小桿長，進(jìn)而使方桿頂部的驅(qū)動足與動子滑塊脫離。而1、2 號方桿的1 階彎曲模態(tài)振動則使它們由最大右彎狀恢復(fù)成直桿狀，從而使1、2號方桿頂部的驅(qū)動足分別由A3、B3運行至A4、B4；同時，3、4號方桿的2階縱振使它們由初始桿長伸長成最大桿長，致使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足與動子滑塊相接觸，而3、4號方桿的1階彎曲模態(tài)振動則使3、4號方桿由最大后彎狀恢復(fù)成直桿狀，從而使前、后桿頂部的驅(qū)動足由F3、G3行進(jìn)到F4、G4，并推動動子滑塊沿y方向移動一個步距λ。

在3T/4～T時段，1、2 號方桿的2 階縱振使其由最小桿長恢復(fù)為初始長度，使驅(qū)動足仍不與動子滑塊接觸，1、2號方桿的1階彎曲模態(tài)振動則使它們由直桿狀彎曲成最大左彎狀，從而使1、2 號方桿頂部的驅(qū)動足由A4、B4運行至A1、B1；同時，3、4號方桿的2階縱振使它們由最大桿長恢復(fù)到初始桿長，使3、4號方桿頂部的驅(qū)動足仍與動子滑塊保持接觸，3、4號方桿的1 階彎曲模態(tài)振動則使3、4 號方桿由直桿狀彎曲成最大彎曲狀，從而使3、4 號方桿頂部的驅(qū)動足由F4、G4行進(jìn)到F1、G1，推動動子滑塊朝y方向前進(jìn)一個步距λ。定子每完成一個工作周期，1、2號方桿和3、4號方桿頂部的驅(qū)動足各完成一次橢圓軌跡運動，4根方桿的驅(qū)動足交替推動動子滑塊沿x方向和y方向分別移動兩個步距。重復(fù)上述運動周期時，動子滑塊將不停地被定子體頂部的驅(qū)動足推動朝x方向和y方向移動。

2 定子結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

本文基于ANSYS 有限元分析軟件構(gòu)造了電機(jī)定子的有限元參數(shù)化模型，采用全局差分法對定子尺寸參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，運用ANSYS參數(shù)化設(shè)計語言(ANSYS Parametric Design Language，ANSYS APDL)編寫了基于模態(tài)置信度準(zhǔn)則(MAC)的內(nèi)部循環(huán)程序，旨在對每次計算所得模態(tài)進(jìn)行置信度識別。將內(nèi)部循環(huán)所得結(jié)果導(dǎo)出至MATLAB軟件中，基于克里金法構(gòu)建定子優(yōu)化參數(shù)和優(yōu)化目標(biāo)的響應(yīng)面函數(shù)，利用多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法NSGA-Ⅱ?qū)λ庙憫?yīng)面擬合顯式函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析并給出全局最優(yōu)解。具體優(yōu)化設(shè)計流程如圖3所示。

圖3 定子結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程圖

2.1 模態(tài)置信準(zhǔn)則

模態(tài)置信準(zhǔn)則(MAC)是實現(xiàn)參數(shù)化優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)，模態(tài)識別準(zhǔn)確與否對優(yōu)化設(shè)計起決定性作用。在設(shè)計中發(fā)現(xiàn)，所需工作模態(tài)往往分散在定子眾多模態(tài)中，且工作模態(tài)階次和順序隨著結(jié)構(gòu)尺寸改變也相應(yīng)地發(fā)生改變[22]。擬通過參數(shù)化設(shè)計和ANSYS APDL 編程對模態(tài)振型進(jìn)行相關(guān)性識別，篩選出符合條件的工作模態(tài)，相應(yīng)的振型相關(guān)系數(shù)定義為：

2.2 結(jié)構(gòu)尺寸靈敏度分析

根據(jù)初始運動機(jī)理和振動學(xué)特性要求所設(shè)計的電機(jī)定子結(jié)構(gòu)已經(jīng)具備了某種穩(wěn)定的振動特性，但未經(jīng)優(yōu)化的定子結(jié)構(gòu)無法充分體現(xiàn)自身的振動特性。因此，還需在原有結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上對定子結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行尋優(yōu)。盆架型電機(jī)的定子結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 定子結(jié)構(gòu)圖

由圖4可知，定子結(jié)構(gòu)尺寸眾多，逐個分析各尺寸會降低優(yōu)化效率，故有必要運用全局差分法篩選出對定子工作性能影響較大的尺寸進(jìn)行分析。設(shè)定子設(shè)計變量為di(i=1,2,…，n)，得定子有限元模型特征方程：

式中：φi=φi(d1,d2,…,dn)為定子第i階模態(tài)的振型；ωi=ωi(d1,d2,…,dn)為第i階模態(tài)的振動頻率；K=K(d1,d2,…,dn)為定子剛度陣；M=M(d1,d2,…,dn)為質(zhì)量矩陣。當(dāng)di產(chǎn)生了微變量Δd，必然有：

解得各尺寸的頻率靈敏度為：

即：

根據(jù)式(5)求得優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)針對定子尺寸的靈敏度，如圖5所示。L1、R、K對頻率一致性影響較小，L、H、L2對面內(nèi)彎振影響大，L、H、K4、L2對反對稱縱振影響大，L、H對頻率一致性影響較大。

圖5 定子部分特征尺寸敏感度圖

2.3 建立定子優(yōu)化模型

從尺寸靈敏度分析可知，盆架形定子眾多的尺寸中K1、K4、H、L、L2等對目標(biāo)工作模態(tài)的影響較大，故選定這些尺寸為優(yōu)化變量，構(gòu)建以工作模態(tài)頻率一致性及振幅最大化為優(yōu)化目標(biāo)，并以模態(tài)置信度等為約束的定子結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，即：

式中：f11為1 階左彎振模態(tài)頻率，f12為1 階右彎振模態(tài)頻率，f2為2 階反對稱縱振模態(tài)頻率；ζs為定子振幅，ximin、ximax為結(jié)構(gòu)尺寸xi的下限和上限。

3 響應(yīng)面模型的構(gòu)建

響應(yīng)面技術(shù)具有很強的操作性，將它與有限元分析結(jié)合起來可以對復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化分析[23]。在通過ANSYS內(nèi)部循環(huán)得到一系列可行解之后，建立響應(yīng)面模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，求得全局最優(yōu)解。響應(yīng)面的基本思路為：首先，選擇近似隱式響應(yīng)函數(shù)的多項式形式，然后再通過一系列設(shè)計點來確定近似函數(shù)中的各個待定系數(shù)。故在確定擬合函數(shù)時，需選取合理的設(shè)計點和迭代方法，以確保近似響應(yīng)函數(shù)能收斂于真實的隱式響應(yīng)函數(shù)[24]。

在單一變量情況下，響應(yīng)面函數(shù)形式如式(7)所示：

其中：y為擬合函數(shù)輸出量，β0為系數(shù)，βi為各變量系數(shù)，xi為輸入變量，ε為觀測誤差。分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)變量為單個變量且最大項數(shù)為一次時擬合結(jié)果太粗略，將兩個變量的乘積合并，得到：

將式(8)改寫成：

再將其改寫成矩陣形式：

式中：

可得最小方差為：

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)式(11)中最小方差趨于最小時，擬合曲面與實際隱函數(shù)趨于一致。當(dāng)L對β的偏導(dǎo)數(shù)為零時，最小方差取極小值。

可得：

即可推導(dǎo)出所擬合的響應(yīng)面為：

利用ANSYS動力學(xué)計算求得的數(shù)據(jù)，運用中心復(fù)合設(shè)計法CCD生成采樣計算點，基于克里金法結(jié)合式(10)至式(14)建立定子結(jié)構(gòu)參數(shù)L、K4關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面模型，擬合精度為98.12 %，如圖6所示。

圖6 定子響應(yīng)面模型

F為目標(biāo)函數(shù)，響應(yīng)面展開式為：

4 定子的NSGA-Ⅱ優(yōu)化

本文中定子采用多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法(NSGA-Ⅱ)進(jìn)行優(yōu)化，該方法是1 種非支配快速多目標(biāo)優(yōu)化算法，而且是基于Pareto 最優(yōu)解的多目標(biāo)優(yōu)化算法[25－26]。NSGA-Ⅱ算法中新引入了精英策略，成為一種快速非支配的排序算法，這一改進(jìn)擴(kuò)大了采樣空間，使得非支配排序計算復(fù)雜度大幅降低。

文中將驅(qū)動足x、y、z向振幅最大化和模態(tài)頻率一致性作為算法的目標(biāo)函數(shù)，以3 階工作模態(tài)頻率差值總和≤300 HZ為約束，構(gòu)造如表1所示的搜索空間。自初代種群起，對所有個體進(jìn)行擁擠度排序，將每次迭代生成的子代種群與其父代種群重新組合，通過共同競爭來產(chǎn)生下一代種群。這樣有利于保存父代中現(xiàn)存的優(yōu)良個體，使之在進(jìn)化過程中不被丟棄，提高了算法結(jié)果的準(zhǔn)確度。同時引入擁擠度計算和擁擠度比較算子。將擁擠度作為種群中個體之間的比較準(zhǔn)則，在迭代過程中對種群中所有個體以擁擠度為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層存放。這樣能迅速提高種群精英度水平，使得準(zhǔn)Pareto 域中的種群個體能均勻擴(kuò)展到整個Pareto 域，避免算法過快進(jìn)入局部最優(yōu)而停止優(yōu)化，保證了種群多樣性。本文優(yōu)化算法的實現(xiàn)流程如圖7所示，優(yōu)化中的相關(guān)參數(shù)設(shè)置情況如表1所示。

表1 優(yōu)化變量取值范圍

在基于多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法的優(yōu)化過程中，擁擠度的判定是確保種群多樣性的決定性因素。擁擠度計算步驟為：

（1）不在兩端的點擁擠度主要與其相鄰兩個點有關(guān)，遂將每個點的擁擠度id設(shè)為0；

（2）根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)對種群進(jìn)行非支配排序，使邊界上的兩個點擁擠度達(dá)到無限大，即od=ld=∞；

（3）對種群中其余個體進(jìn)行擁擠度計算，并對同層個體進(jìn)行排列分層[20－21]。式(16)為擁擠度計算公式。

式中：id為對應(yīng)點的擁擠度，fi+1j和fi-1j為目標(biāo)函數(shù)j對應(yīng)的i+1點和i-1點的函數(shù)值。

5 優(yōu)化過程與結(jié)果

5.1 迭代優(yōu)化過程

為保證樣本點數(shù)量和優(yōu)化可信度，運用中心復(fù)合設(shè)計法CCD進(jìn)行計算，得到161組設(shè)計點，在算法中生成8 000 個初始化種群個體并進(jìn)行優(yōu)化運算。迭代終止條件設(shè)為收斂穩(wěn)定性趨于0%或種群中精英數(shù)達(dá)到70%，對優(yōu)化模型中的各優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行約束并取極值，迭代步數(shù)設(shè)為100步，算法參數(shù)設(shè)置如表2所示，算法迭代過程如圖8所示。

圖8 目標(biāo)函數(shù)迭代過程

表2 NSGA-Ⅱ算法參數(shù)設(shè)置

5.2 優(yōu)化結(jié)果

如圖8所示，算法在迭代到第58 步時達(dá)到迭代終止條件，優(yōu)化結(jié)束并輸出結(jié)果。根據(jù)輸出結(jié)果重建定子模型并進(jìn)行模態(tài)計算，所得結(jié)果滿足MAC≥0.9 和模態(tài)頻率一致性等設(shè)計要求。隨后建立優(yōu)化后的定子機(jī)電耦合動力學(xué)分析模型，利用ANSYS對定子的頻響特性進(jìn)行求解，觀測步長設(shè)為0.5 Hz。結(jié)果表明，相比于之前“手動試湊”所得結(jié)果[27]，優(yōu)化后的定子結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率一致性明顯提高且無明顯干擾模態(tài)，特別是x、z向振幅幾乎相等，這說明該電機(jī)能較好地保證x、z向輸出特性的平衡，諧響應(yīng)對比分析如圖9所示。定子尺寸優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

圖9 諧響應(yīng)對比圖

表3 定子優(yōu)化結(jié)果

同樣基于ANSYS 對優(yōu)化后的定子進(jìn)行定頻激勵動力學(xué)分析。對陶瓷片施加頻率為44 350 Hz、幅值為250 V、相位差為π/2的激勵電信號。定子振幅達(dá)微米級且達(dá)到穩(wěn)態(tài)時驅(qū)動足沿x、y、z的振動幅值分別為6.3 μm、5.48 μm、6.16 μm。從圖10(b)中可以看出，驅(qū)動足在xOz平面內(nèi)的運動軌跡扁平，收斂速度快，表明優(yōu)化后的定子具有更優(yōu)的驅(qū)動性能。

圖10 瞬態(tài)分析對比圖

相鄰彎振頻率差/Hz相鄰彎縱振頻率差/Hz瞬態(tài)分析下x向穩(wěn)態(tài)振幅/μm瞬態(tài)分析下y向穩(wěn)態(tài)振幅/μm瞬態(tài)分析下z向穩(wěn)態(tài)振幅/μm 193.6 143.6 2.0 1.5 3.3 40.5 114.2 6.4 5.5 6.1

6 結(jié)語

提出一種基于ANSYS 和MATLAB，結(jié)合有限元響應(yīng)面法和多目標(biāo)遺傳算法解決壓電電機(jī)定子動力學(xué)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的方法。以盆架型平面電機(jī)定子為研究對象，解決了多結(jié)構(gòu)尺寸、多優(yōu)化目標(biāo)定子優(yōu)化困難的問題。研究表明：

（1）優(yōu)化后的電機(jī)定子擁有更優(yōu)的模態(tài)頻率一致性。三相工作模態(tài)間工作頻率間隔從優(yōu)化前的193.6 Hz、143.6 Hz降低至40.5 Hz、114.2 Hz。

（2）優(yōu)化后的電機(jī)定子擁有更大的激勵振幅。工作模態(tài)x、y、z向有效振幅從優(yōu)化前的2.0 μm、1.5 μm、3.3 μm增加至6.4 μm、5.5 μm、6.1 μm。

本文提出的優(yōu)化方法可為今后的壓電電機(jī)動力學(xué)優(yōu)化提供思路，但本文僅涉及定子的靜力學(xué)優(yōu)化，只在理論和仿真階段對本方法所得結(jié)果進(jìn)行驗證，后續(xù)的研究中將進(jìn)一步復(fù)現(xiàn)設(shè)計理論。