回歸數(shù)學本質 培育核心素養(yǎng)
——APOS理論指導下的“事件的相互獨立性”教學探索

徐 靖

(江蘇省蘇州中學 215007)

1 課例背景

概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學學科，在經(jīng)濟、金融、保險等領域應用廣泛，旨在提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理等素養(yǎng)．人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》(下稱“新教材”)對概率章節(jié)的變動較大，修訂的必修課程中增加了樣本點、有限樣本空間、樣本點和事件的關系等內容，刪去了幾何概型，將“事件的相互獨立性”變?yōu)楸匦迌热?，由于沒有條件概率的鋪墊，從研究概率的基本性質出發(fā)，提出問題“由和事件的運算性質，積事件的概率與兩個事件的概率會有怎樣的關系”，從特殊到一般，歸納出事件的獨立性，為后續(xù)的概率學習打好基礎．

新教材的編寫對學習事件的獨立性提出了更高的數(shù)學抽象要求，承擔了培養(yǎng)學生分析隨機現(xiàn)象能力的育人任務，特別重視概念教學，也更契合新課標的精神．基于此，筆者根據(jù)APOS理論，引導學生在社會線索中學習數(shù)學知識，分析數(shù)學問題的背景，從而建構數(shù)學思想．以下是從操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Scheme)四個方面對新教材必修二“事件的相互獨立性”概念教學進行的實踐探索．

2 教學設計

2.1 操作——發(fā)現(xiàn)事件的獨立性

游戲1 甲乙兩人進行“石頭、剪刀、布”的游戲(假設兩人出何手勢是等可能的)．記事件

A

=“甲出石頭”，事件

B

=“甲出布”，計算

P

(

A

),

P

(

B

),

P

(

A

+

B

)，并研究它們的關系．生：由古典概型知，且

P

(

A

+

B

)=

P

(

A

)+

P

(

B

)．

提出問題

積事件

AB

的概率是多少？哪些條件下研究積事件的概率更有意義？引導學生總結：

P

(

AB

)=0，當

A

∩

B

≠?，即

A

,

B

不是互斥事件時更有意義．游戲2 甲乙兩人進行“石頭、剪刀、布”的游戲(假設兩人出何手勢是等可能的)．記事件

A

=“甲出石頭”，事件

C

=“乙出布”，計算

P

(

A

),

P

(

C

),

P

(

AC

)，并研究它們的關系．生：此問題中

P

(

AC

)=

P

(

A

)

P

(

C

)．

提出問題

你還能舉出滿足上述關系的例子嗎？你認為哪些條件下此關系恒成立？學生很容易受到啟發(fā)，甲乙兩人出何手勢并不會互相影響，那么總會有

P

(

AC

)=

P

(

A

)

P

(

C

)．

設計意圖

APOS理論認為要從社會活動出發(fā)，使學生對抽象的概念先有感性認知，再通過實例反思提煉．教師采用學生熟悉的“石頭、剪刀、布”游戲，應用古典概型回顧和事件的運算性質，在已有知識基礎上建立任務，發(fā)現(xiàn)了互斥事件下研究積事件意義不大，再從甲乙兩人的狀態(tài)出發(fā)，得出互相不受影響的事件滿足

P

(

AC

)=

P

(

A

)

P

(

C

)，這與學生的直觀感受相吻合．并通過學生主動舉例，加強理解、豐富內涵，為后續(xù)的數(shù)學抽象奠定基礎．

2.2 過程與對象——事件的相互獨立性的內涵與外延

教師給出定義：對任意兩個事件

A

與

B

，如果

P

(

AB

)=

P

(

A

)

P

(

B

)成立，則稱事件

A

與事件

B

相互獨立，簡稱為獨立．

提出問題

談談你對獨立的理解，嘗試給出一些特例．引導學生總結：(1)兩個事件獨立是指事件

A

的發(fā)生不影響事件

B

發(fā)生的概率；(2)必然事件、不可能事件都與任意事件相互獨立．

思考1 互斥事件是否為獨立事件？

思考2 概率不為0的兩個獨立事件是互斥事件嗎？

引導學生根據(jù)獨立性定義推理得出：若

P

(

A

)>0，

P

(

B

)>0，則事件

A

,

B

相互獨立與

A

,

B

互斥不能同時成立．思考3 若

A

,

B

相互獨立，則

A

與與與是否獨立？思考4 若

A

,

B

,

C

兩兩互斥，則

P

(

A

∪

B

∪

C

)=

P

(

A

)+

P

(

B

)+

P

(

C

)，若

A

,

B

,

C

兩兩獨立，是否有

P

(

ABC

)=

P

(

A

)

P

(

B

)

P

(

C

)？

對于思考3，學生容易從直觀經(jīng)驗獲得，教師依托互斥事件的運算性質演示一般推導方法．對于思考4，學生各執(zhí)一詞，教師給出游戲3為學生思維發(fā)展鋪路搭橋．

游戲3 甲乙兩人進行“石頭、剪刀、布”的游戲(假設兩人出何手勢是等可能的)．記事件

A

=“甲出石頭”，事件

B

=“乙出布”，事件

C

=“甲贏”，根據(jù)此結果試回答思考4．學生豁然開朗，得出

P

(

A

)=

P

(

B

)=

P

(

C

)=而

P

(

ABC

)因此兩兩獨立并不是相互獨立．

設計意圖

過程與對象是APOS理論中概念建構的重要環(huán)節(jié)，旨在通過實例讓學生主動探索完成概念的理性抽象，由于沒有條件概率的鋪墊，教師根據(jù)生活中的游戲問題打開學生認知，使其從直觀感受出發(fā)獲得獨立性的定義，運用四個環(huán)環(huán)相扣的階梯式思考，揭示了獨立性的內涵外延，一個游戲貫穿始終，抽絲剝繭，讓學生在活動中升華概念，體悟本質．

2.3 圖式——形成思維導圖

典例

現(xiàn)有一個摸球游戲，箱子中有6個相同的小球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，

A

=“第一次取出的球是1號球”，

B

=“第二次取出的球是2號球”，

C

=“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，

D

=“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則四個事件中相互獨立的有哪些？

圖1

教師引導學生列表分析如下(圖1)：根據(jù)獨立性的定義，學生總結得出事件

A

與事件

B

，事件

A

與事件

D

，事件

B

與事件

D

相互獨立，但

A

,

B

,

D

均相互不獨立．教師總結：實際問題中，兩個事件相互獨立，大多是依據(jù)經(jīng)驗(譬如“石頭、剪刀、布”的游戲)，但在較復雜的問題中，主觀判斷容易出錯，需使用公式檢驗事件的獨立性.更進一步，兩個事件獨立是指事件

A

的發(fā)生不影響事件

B

發(fā)生的概率，而不是說事件

A

的發(fā)生不影響事件

B

的發(fā)生，這就是經(jīng)驗主義導致的錯誤．

通過典例，學生對獨立性有了新的認識，教師邀請學生發(fā)言討論，并繪制如圖2所示的思維導圖．

圖2

設計意圖

APOS理論中的概型階段是指概念的運用階段，通過一定的實例研究使學生進一步理解概念的本源，最終形成綜合的心理圖式．教師選用了2021年新高考全國Ⅰ卷單選第8題，改變了原題問法，旨在糾正學生對獨立性理解的經(jīng)驗主義錯誤，指出對于復雜問題必須通過公式給出判斷，而主觀認知往往會出錯．使用列表法解題使學生一目了然，并對抽象的概念有了形象的認知，在熟悉的游戲和經(jīng)典的獨立性例題中體會數(shù)學來源于生活又能應用于生活．學生形成了自己的思維導圖，達到了心理圖式的效果．

3 課例分析與教學反思

3.1 課例分析

整堂課總體比較流暢.一方面對于證明，因受時間限制，主要由教師引導示范，在舉例環(huán)節(jié)也因停留較短導致學生回答較為局限，但都在原有設定下．另一方面，本節(jié)內容由運算性質出發(fā)，討論了互斥事件與獨立事件的關系，用一個游戲貫穿始終，簡明扼要地回答了兩兩獨立并非相互獨立這些較為反經(jīng)驗的問題．應用列表的方式解決典例，將抽象問題形象化，使學生對獨立性的理解達到了新高度，體會“兩個事件獨立是指事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，而不是說事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生”此中深意．學生在課堂中主動思考、獨立探索，事必躬親解決問題，最終柳暗花明形成了各自的思維導圖．

3.2 教學反思

新課標提出高中數(shù)學教學應以發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設教學情境，啟發(fā)思考，引導學生把握數(shù)學本質，因此概念教學至關重要，傳統(tǒng)的“定義+例題”的授課方式已無法滿足新課標的要求，APOS理論是成功的概念教學實踐，在這次嘗試中教師也總結了一些心得體會與同行分享．

(1)從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，創(chuàng)設有趣的情景教學

概率問題是離學生很近的數(shù)學問題，生活中處處有概率，這為情景教學提供了有利條件．本文選用的“石頭、剪刀、布”的游戲，雖在前兩個設定中較為普通，但在游戲3中言簡意賅、立竿見影，使趣味性和知識性融合得恰到好處．

(2)使用問題串，為思維搭建腳手架

問題串是促進數(shù)學概念內涵、外延的重要手段，一個好的問題串，能有效推動學生思維發(fā)展．新教材在概率章節(jié)的內容與大學銜接緊密，是較為完整的、系統(tǒng)的概率論介紹，只有讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，在教師引導下內化、壓縮，在頭腦中進行描述、反思，最終通過數(shù)學符號語言理性抽象，才能幫助學生更好體悟概念本質，使其成為知識的主動探索者和構建人．

(3)探索與展望

概念教學不能只是平鋪直敘，它應該是來源于社會的、生活的，是數(shù)學學科對一般事實的總結和歸納，帶領學生經(jīng)歷概念的發(fā)生與發(fā)展有助于其更好地理解數(shù)學抽象的意義，促進核心素養(yǎng)的發(fā)展，激起數(shù)學學習的興趣，這也是我們每一位教師不斷奮斗的美好愿景．