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    基于“兩個(gè)過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實(shí)踐與思考
    ——以“怎樣把彎路改直”為例

    2022-08-19 12:24:04王思凱
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期
    關(guān)鍵詞:等積平行線三角形

    王思凱

    (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

    葉立軍

    (杭州師范大學(xué)基礎(chǔ)教育發(fā)展中心 311121)

    1 問題的提出

    數(shù)學(xué)拓展性課程作為基礎(chǔ)性課程的延伸和補(bǔ)充,堅(jiān)持“以生為本,個(gè)性發(fā)展”原則,對(duì)于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善、學(xué)習(xí)能力的提升等具有重要意義,是新時(shí)代深化教育改革的必然需求.拓展性課程定位于對(duì)基礎(chǔ)性課程中有關(guān)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展方面的延伸與不足之處的補(bǔ)充,為學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展提供充分的支持.面對(duì)新時(shí)期教育教學(xué)變革凸顯素養(yǎng)本位的時(shí)代要求,數(shù)學(xué)拓展性課程的教學(xué)應(yīng)以學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展為旨?xì)w,促使學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的概念性理解中獲得個(gè)性化的成長.

    然而在實(shí)際教學(xué)中,數(shù)學(xué)拓展性課程的實(shí)施效果卻不佳,表現(xiàn)出課堂“以練代學(xué)”而異化為基礎(chǔ)課程教學(xué)內(nèi)容的鞏固與加深、重知識(shí)習(xí)得輕過程建構(gòu)而忽視學(xué)生的思維發(fā)展等問題,從而難以在課堂中有效落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).核心素養(yǎng)的發(fā)展以知識(shí)掌握為前提,回歸學(xué)生本體,從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生認(rèn)知過程設(shè)計(jì)教學(xué)過程是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.是以數(shù)學(xué)拓展性課程的教學(xué)應(yīng)立足學(xué)生的基礎(chǔ)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的合理性,體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展過程.本文以“怎樣把彎路改直”教學(xué)內(nèi)容為例,闡述如何基于“兩個(gè)過程”實(shí)施初中數(shù)學(xué)拓展性課程的教學(xué),以期為教師在實(shí)踐中開展拓展性課程教學(xué)提供借鑒與參考.

    2 教學(xué)內(nèi)容解析

    “怎樣把彎路改直”教學(xué)內(nèi)容選自浙江教育出版社出版的由許芬英、葉立軍、張宗余主編的數(shù)學(xué)拓展性課程系列教學(xué)用書《義務(wù)教育拓展性課程 數(shù)學(xué)新探索》七年級(jí)下冊(cè)第1章第1.4節(jié),由教師B于“學(xué)為中心”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程名師課堂教學(xué)觀摩與研討活動(dòng)中執(zhí)教.本節(jié)課以等積變形為主題,以平行線這一基本圖形為前提,通過尋找和構(gòu)造平行線以實(shí)現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化.平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一,主要表現(xiàn)為兩個(gè)功能:一是遷移角,通過“兩直線平行,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ)”進(jìn)行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換,已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中;二是遷移面積,通過“平行線等積變形”求圖形的面積,并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程,這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的.

    幾何源于圖形面積的測(cè)量,求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一.等積變形是指當(dāng)一個(gè)圖形的形狀發(fā)生了變化,而其面積始終保持不變,因而常用于計(jì)算圖形面積,尤其是求解不規(guī)則圖形的面積.本節(jié)課是在學(xué)完基礎(chǔ)性課程中的平行線及圖形的平移后開設(shè)的一節(jié)拓展課,由“兩條平行線間的距離處處相等”的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)“等底等高”“同底等高”“同高等底”三種等積變形類型是教學(xué)的關(guān)鍵.

    3 基于“兩個(gè)過程”理念的拓展課教學(xué)實(shí)踐

    為避免等積變形的教學(xué)異化為基礎(chǔ)性課程中求圖形面積的一節(jié)習(xí)題課,教師B以培養(yǎng)學(xué)生基于數(shù)學(xué)建模過程解決實(shí)際問題的思維作為本節(jié)課教學(xué)的落腳點(diǎn),按照數(shù)學(xué)建模的基本流程設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),采用生活中“怎樣把彎路改直”的實(shí)際問題引入,將之抽象為數(shù)學(xué)問題引出教學(xué)主題,在尋找并建立數(shù)學(xué)模型從而解決實(shí)際問題的過程中展開等積變形內(nèi)容的教學(xué).

    實(shí)際情境 如圖1所示,要把一片農(nóng)田中的折線型道路改成一條直路,使道路兩邊的農(nóng)田面積保持不變,且道路經(jīng)過端點(diǎn)

    A

    ,應(yīng)該怎樣改?請(qǐng)你畫出示意圖,并說明理由.

    圖1 圖2

    3.1 析取關(guān)鍵要素,抽象數(shù)學(xué)問題

    教師B從實(shí)際問題的條件背景出發(fā),設(shè)計(jì)問題鏈引導(dǎo)學(xué)生析取圖1中的關(guān)鍵要素“折線型道路”,將之?dāng)?shù)學(xué)化為幾何圖形“折線”,然后用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題,即在圖2中經(jīng)過點(diǎn)

    A

    畫直線

    l

    ,使得直線

    l

    兩側(cè)的面積與原來相同.

    設(shè)問1:你能從實(shí)際情境中得到哪些信息?

    設(shè)問2:圖1中的道路可以抽象為什么圖形?

    設(shè)問3:把這一條折線改為直線的前提條件是什么?

    3.2 聯(lián)系先驗(yàn)知識(shí),建立數(shù)學(xué)模型

    圖形的面積是建立本節(jié)課數(shù)學(xué)模型的知識(shí)起點(diǎn),教師B從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)(幾何圖形的面積公式)出發(fā),設(shè)計(jì)問題鏈引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的面積公式,鼓勵(lì)學(xué)生充分表達(dá)自己的想法,在數(shù)學(xué)地思考三角形和平行四邊形兩者的面積關(guān)系的過程中初步認(rèn)識(shí)等積變形.

    設(shè)問1:要解決的問題涉及什么數(shù)學(xué)知識(shí)?

    設(shè)問2:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些關(guān)于面積的知識(shí)?

    設(shè)問3:如圖3所示,為什么平行四邊形的面積公式比三角形的少了系數(shù)?

    圖3

    接著,教師B將平行四邊形的一組對(duì)邊引申為兩條平行線,設(shè)計(jì)在平行線之間畫三角形并將不同三角形進(jìn)行歸類的探究活動(dòng),讓學(xué)生親自動(dòng)手畫圖,經(jīng)歷基本類型的發(fā)現(xiàn)過程,實(shí)現(xiàn)在做中學(xué)數(shù)學(xué).同時(shí)借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示在平行線上取點(diǎn)畫三角形,實(shí)現(xiàn)知識(shí)呈現(xiàn)的動(dòng)態(tài)化與直觀化,促進(jìn)學(xué)生對(duì)等積變形類型的概念性理解.

    探究活動(dòng) 如圖4所示,在一組平行線

    m

    ,

    n

    上畫點(diǎn),并與點(diǎn)

    A

    ,

    B

    ,

    C

    中的任意兩點(diǎn)相連,使得構(gòu)成的三角形面積與△

    ABC

    的面積相等,這樣的三角形有多少個(gè)?

    圖4 圖5

    根據(jù)從幾何畫板演示的動(dòng)畫中抽象的圖形,教師B設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)學(xué)生回歸平行線之間三角形面積關(guān)系的研究,讓學(xué)生尋找圖5中面積相等的三角形,歸納得到如圖6所示的等積變形的基本模型.

    圖6 等積變形的數(shù)學(xué)模型

    3.3 解決實(shí)際問題,滲透建模思想

    圖7

    學(xué)生通過思考交流運(yùn)用“等積變形”的基本模型解決彎路改直路的問題,總結(jié)得到如圖7所示的解決方案,即連結(jié)

    AB

    ,過點(diǎn)

    C

    AB

    的平行線,交底邊于點(diǎn)

    P

    ,連結(jié)

    AP

    得到直線

    l

    即為所求,進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用性.

    圖8 數(shù)學(xué)建模的一般步驟

    在解決實(shí)際問題之后,教師B引導(dǎo)學(xué)生回顧之前的研究過程:將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,通過尋求問題涉及的知識(shí)起點(diǎn)建立模型,然后應(yīng)用模型解決實(shí)際問題,歸納得到圖8所示的數(shù)學(xué)建模的一般步驟,讓學(xué)生再次體會(huì)數(shù)學(xué)建模的重要作用,加深對(duì)建模思想的理解.

    3.4 深化模型理解,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

    應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題亦是加深學(xué)生理解模型的重要途徑之一,教師B按照“有平行線,尋找平行線;無平行線,構(gòu)造平行線”的原則設(shè)計(jì)練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生借助平行線定邊移點(diǎn)發(fā)現(xiàn)面積相等的三角形,從具體情境中析取一般化的數(shù)學(xué)解題方法,促進(jìn)學(xué)生加深對(duì)等積變形是建立在平行線基礎(chǔ)之上的理解.

    圖9

    教師B呈現(xiàn)含有平行線的幾何圖形(圖9),讓學(xué)生在五邊形

    ABCDE

    中根據(jù)條件

    AB

    EC

    尋找與△

    ABC

    面積相等的三角形,檢驗(yàn)學(xué)生直接應(yīng)用模型的能力.然后通過變式增加條件,發(fā)展學(xué)生有序思考數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣.同時(shí)借助思考回顧知識(shí)應(yīng)用過程,歸納得到“定邊移點(diǎn)”運(yùn)用模型的經(jīng)驗(yàn),達(dá)到“做一題、會(huì)一類、通一片”的效果.

    圖10

    在此基礎(chǔ)上,教師B呈現(xiàn)沒有已知平行線存在的圖形(圖10),讓學(xué)生在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,尋找格點(diǎn)

    P

    ,使得△

    BCP

    的面積等于△

    ABC

    的面積,啟發(fā)學(xué)生借助網(wǎng)格點(diǎn)構(gòu)造平行線,達(dá)到靈活應(yīng)用知識(shí)的目的,感悟轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.

    變式

    若在圖9中添加條件

    BC

    AD

    ,

    BD

    AE

    ,與△

    ABC

    面積相等的三角形有幾個(gè)?

    思考

    我們可以從尋找面積相等的三角形的過程中總結(jié)出一條什么樣的經(jīng)驗(yàn)?

    4 總結(jié)與思考

    數(shù)學(xué)拓展性課程的教學(xué)要指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育,其教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)也必須要基于數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程和學(xué)生的思維認(rèn)知特點(diǎn).本節(jié)課中教師B從問題涉及的知識(shí)起點(diǎn)出發(fā)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,通過等積變形的教學(xué)揭示一類知識(shí)學(xué)習(xí)的思維過程.

    4.1 注重經(jīng)歷數(shù)學(xué)對(duì)象獲得、研究及應(yīng)用的完整過程,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地學(xué)習(xí)

    拓展性課程從分析與綜合、比較與分類、抽象和概括這三個(gè)思維培育維度出發(fā),讓學(xué)生深度思考知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展以及與其他事物的聯(lián)系.教師先通過三角形到平行四邊形的圖形面積變化引發(fā)思考,再借助在平行線中畫三角形的方式探究歸納等積變形的三種類型,讓學(xué)生在歸納概括事物本質(zhì)中獲得并深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解,經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程,通過再創(chuàng)造的方式提煉基本模型.另外,基于幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和學(xué)會(huì)思考的考慮,教師把學(xué)生基于數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題這一數(shù)學(xué)思維的形成作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn),并未安排過多的例習(xí)題讓學(xué)生反復(fù)操練從而熟悉應(yīng)用模型,而是注重學(xué)生完整建模過程的經(jīng)歷和感悟,強(qiáng)調(diào)在理解基礎(chǔ)上的應(yīng)用,進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

    4.2 強(qiáng)調(diào)以認(rèn)知邏輯為起點(diǎn)設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)活動(dòng),促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)地學(xué)習(xí)

    學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者在其原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的知識(shí)意義生成和建構(gòu)理解.?dāng)?shù)學(xué)拓展課的教學(xué)需踐行“學(xué)為中心”理念,強(qiáng)調(diào)在順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知心理需求的基礎(chǔ)上增強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)體驗(yàn)與理解.教師以圖形的面積作為本節(jié)拓展課內(nèi)容的知識(shí)起點(diǎn),從學(xué)生熟知的圖形面積公式入手創(chuàng)設(shè)問題情境,引發(fā)學(xué)生探索等底等高圖形的面積關(guān)系,從而開始等積變形模型的探究過程.七年級(jí)的學(xué)生在生活中已經(jīng)獲得對(duì)“兩條平行線之間的距離處處相等”的直觀感受,教師并未安排這一定理的推導(dǎo)、幾何語言的書寫等活動(dòng),而是通過呈現(xiàn)定理的具體內(nèi)容并結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的生活經(jīng)驗(yàn),保證初步應(yīng)用即可.另外,教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,從直接尋找平行線過渡到構(gòu)造平行線,遵循先易后難的順序安排課堂鞏固環(huán)節(jié),促進(jìn)學(xué)生在變式應(yīng)用的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).總之,數(shù)學(xué)拓展性課程給予學(xué)生更大的學(xué)習(xí)自主權(quán)和學(xué)習(xí)空間,需要教師在理解學(xué)生的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué).

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