一道教材習(xí)題引發(fā)的教學(xué)思考*

唐 毅 劉曉麗

(江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué) 212016)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》要求“提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界．”“提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式．”“讀-研-寫(xiě)”能夠很好地讓學(xué)生在用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)思維思考并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，可以有效地豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．

解三角形是高考中的基本考點(diǎn)之一，難度適中，常與三角恒等變換、平面幾何、向量、基本不等式等相關(guān)知識(shí)交匯與綜合，能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、建模求解能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想．而破解三角形問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找切入點(diǎn)，借助已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，激活思維，落實(shí)四基，培育素養(yǎng)．特別是高三備考階段，對(duì)于難度系數(shù)不大的模塊，如何改變“枯燥無(wú)味”的課堂環(huán)境？如何營(yíng)造積極的課堂氛圍？本文以一道教材習(xí)題的教學(xué)為例進(jìn)行闡釋．

1 習(xí)題呈現(xiàn)

圖1

(蘇教版《必修第二冊(cè)》第11章“章末測(cè)試”第14題)如圖1，在△

ABC

中，求

AD

的長(zhǎng)．

此題三角形外形簡(jiǎn)潔，內(nèi)涵豐富，思考空間大．

2 背景

高三備考中“回歸教材”必不可少．上題出現(xiàn)在單元檢測(cè)中，從學(xué)生的解答情況來(lái)看，大部分學(xué)生選擇使用正、余弦定理的常規(guī)解法；從得分率來(lái)看，本班得分率只有89.93%，對(duì)于基礎(chǔ)較好的班級(jí)來(lái)說(shuō)，這樣的基礎(chǔ)題得分并不理想．究其原因是部分學(xué)生的方法過(guò)于單一，缺少對(duì)問(wèn)題的追根溯源和對(duì)基本解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累．但此時(shí)如果教師繼續(xù)講解原題，大部分學(xué)生并不感興趣，對(duì)于此題筆者的處理是“不詳解”，但課堂上作變式訓(xùn)練，對(duì)解題視角進(jìn)行多維度的探究與思考，以激發(fā)全體學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，營(yíng)造良好的課堂氛圍．從課堂效果來(lái)看，超出了筆者的預(yù)期，課堂上學(xué)生積極思考，認(rèn)真傾聽(tīng)，追根溯源，詳細(xì)記錄．

3 變式探究

圖2

如圖2，在△

ABC

中，為

BC

中點(diǎn)，∠

CAD

=45°，∠

BAD

=30°，求

AD

的長(zhǎng)．

本題考查解三角形問(wèn)題，題目平和簡(jiǎn)潔，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、技能豐富，是一道值得深入探究的題目，與上述教材習(xí)題相似度較高．課堂實(shí)踐具體如下：

視角1——正、余弦定理

解法1

(大、小三角形結(jié)合)在△

ABC

中，由正弦定理，得即①．在△

ABD

中，由正弦定理，得即②．

將①代入②，得

圖3

解法2

(利用互補(bǔ)角)設(shè)∠

ADC

=

α

，在△

ACD

中，由正弦定理，得即①．在△

ABD

中，由正弦定理，得即

BD

sin

α

=

AB

sin 30° ②．由①②及

CD

=

BD

，得

AB

=2．在△

ABC

中，由余弦定理，得在△

ABD

中，由余弦定理，得解得或(舍去)，故

評(píng)析

由于所給的已知條件是一些邊角關(guān)系，大部分學(xué)生首選常規(guī)思路——正弦和余弦定理．解法1巧用中點(diǎn)，借助余弦定理實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸，求得

AD

的長(zhǎng)．解法2巧用“互補(bǔ)角”，“互補(bǔ)角”在教材11.1節(jié)的例6證明角平分線定理時(shí)使用過(guò)．再結(jié)合正、余弦定理，解方程求得

AD

．但

AD

的兩解需要綜合三角形邊角關(guān)系“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的原理進(jìn)行取舍，是學(xué)生的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)．利用正、余弦定理建立邊角關(guān)系，有利于培育學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

視角2——坐標(biāo)化

解法3

(利用特殊角)以

AB

所在直線為

x

軸，點(diǎn)

A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系(圖4)，則

圖4 圖5

解法4

(利用對(duì)稱性)以

AD

所在直線為

x

軸，點(diǎn)

A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系 (圖5)，則

C

(1,1)．由Rt△

CDE

≌Rt△

BDF

得又由得故

評(píng)析

建立平面直角坐標(biāo)系，將“形”的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的運(yùn)算．解法3巧用特殊角，借助∠

BAD

=30°得

AD

=2

y

，再由中點(diǎn)得2

y

=

y

，輕松求解．解法4巧用三角形全等，易得

y

=-

y

，由向量共線求得點(diǎn)但若有學(xué)生以線段

AC

所在直線為

x

軸，建立平面直角坐標(biāo)系，情況將變得復(fù)雜，求解困難．在此可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注如何選擇建系位置．用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，這里坐標(biāo)化的滲透有助于后續(xù)學(xué)習(xí)解析幾何，強(qiáng)化四基四能的同時(shí)，有助于培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

視角3——等面積

解法5

(利用算兩次)由點(diǎn)

D

是

BC

中點(diǎn)，可得

S

△=

S

△，即即

評(píng)析

由于中點(diǎn)的出現(xiàn)，兩個(gè)小三角形面積相等，利用斜三角形面積公式得

AB

=2，再結(jié)合大三角形面積，算兩次，可以求得

AD

的長(zhǎng)．這里有助于學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的發(fā)展．

視角4——平面向量

解法6

(向量數(shù)形結(jié)合)已知及與夾角為75°，只需要求得

AB

長(zhǎng)度(見(jiàn)解法2或解法5等)．

評(píng)析

向量集“數(shù)”與“形”于一身，是溝通幾何、三角、代數(shù)的天然橋梁．蘇教版教材中余弦定理的獲得也是基于平面向量的背景，這里可以將三角形中的邊角關(guān)系還原到向量背景中探究，簡(jiǎn)化運(yùn)算．將三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面向量，能培育學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展．

視角5——平面幾何

解法7

(利用倍長(zhǎng)中線)如圖6，延長(zhǎng)

AD

到

T

，使得

DT

=

AD

，連結(jié)

BT

，則△

ACD

≌△

TBD

．在△

ABT

中，由正弦定理得

解法8

(利用斜化直)如圖7，作

CE

⊥

AD

于

E

，

BF

⊥

AD

于

F

，則Rt△

CDE

≌Rt△

BDF

．在Rt△

ACE

中，

CE

=

AE

=1，在△

ABF

中，

圖6 圖7

評(píng)析

處理平面幾何問(wèn)題時(shí)經(jīng)常要引入輔助線，這對(duì)學(xué)生邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)要求較高．倍長(zhǎng)中線以及構(gòu)造直角三角形，都是學(xué)生初中研究的重點(diǎn)內(nèi)容．解法7倍長(zhǎng)中線再結(jié)合正弦定理一步到位求得

AD

長(zhǎng)．解法8通過(guò)平面幾何知識(shí)構(gòu)造直角三角形，借助三角形全等求得

AD

長(zhǎng)；也可以分別過(guò)

B

和

D

作

AC

的垂線(或者分別過(guò)

C

和

D

作

AB

的垂線)，“斜化直”構(gòu)造直角三角形．關(guān)注幾何圖形，可以避開(kāi)復(fù)雜運(yùn)算，有助于培育學(xué)生的邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)．

圖8

一節(jié)課愉快且充實(shí)地度過(guò)，學(xué)生再次詳細(xì)地經(jīng)歷了解三角形問(wèn)題的常見(jiàn)突破視角(圖8)的思考過(guò)程．下課時(shí)部分學(xué)生觸類而通，興奮地告訴筆者，對(duì)于教材的第14題他還有很多解法，如利用互補(bǔ)角、坐標(biāo)化、平面幾何等等，課堂效率明顯提高．

4 幾點(diǎn)思考

教學(xué)實(shí)踐中，筆者經(jīng)歷了“青澀—成熟—骨干”的成長(zhǎng)過(guò)程，也遇見(jiàn)過(guò)“迷?！?，迷茫于面對(duì)高考的重壓，學(xué)生總想著“節(jié)約”時(shí)間多做題，“節(jié)約”甚至到了課堂，主要體現(xiàn)在：老師講評(píng)作業(yè)(或練習(xí))，學(xué)生不想“浪費(fèi)”時(shí)間聽(tīng)，特別是自己做對(duì)的題目．面對(duì)這樣一種“課堂現(xiàn)象”，筆者反復(fù)思考，如何改變學(xué)生“不聽(tīng)講”的狀態(tài)？如何讓學(xué)生主動(dòng)思考？通過(guò)數(shù)學(xué)課堂學(xué)生到底獲得了什么？如何讓學(xué)生自然生成解法？

(1)多傾聽(tīng)，再激活

解題不僅僅要“解答正確”，還要追求思路清晰、推理嚴(yán)謹(jǐn)、表達(dá)流暢、過(guò)程簡(jiǎn)捷．適當(dāng)優(yōu)化課堂教學(xué)活動(dòng)，從不同角度審視題目，多視角、多層面地思考與探究，激活舊知，開(kāi)拓思路，掌握規(guī)律，積累解題經(jīng)驗(yàn)，完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程．解題切入口也要適合學(xué)情，順應(yīng)學(xué)生的思維自然地開(kāi)展，讓學(xué)生感受到自己的思考是有效的，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心．從學(xué)生的已有知識(shí)積累和解題經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從“淺層次”著手，層層遞進(jìn)，不斷“喚醒”學(xué)生，不斷地把數(shù)學(xué)知識(shí)與技能轉(zhuǎn)化為分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

(2)常反思，勤總結(jié)

高三學(xué)生對(duì)解三角形題目往往不屑于深究，但從整體來(lái)看，并沒(méi)有達(dá)到應(yīng)有的學(xué)習(xí)結(jié)果．試想，如果本節(jié)課筆者仍在原題上切入互補(bǔ)角、坐標(biāo)化、平面幾何、向量等解三角形的常用方法，大部分學(xué)生會(huì)覺(jué)得自己已經(jīng)做對(duì)了，不需要再繼續(xù)研究了，可能一節(jié)課下來(lái)學(xué)生的知識(shí)增長(zhǎng)幾乎為零．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部縱橫交錯(cuò)，即使問(wèn)題成功解決也需要反思回顧，加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題的深層研究，為數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)交流創(chuàng)造機(jī)會(huì)．

(3)重過(guò)程，育素養(yǎng)

本文的例題解答方法較多，但不同方法之間所用的思維、運(yùn)算、表述、時(shí)間、書(shū)寫(xiě)等成本大不相同．對(duì)比不同的解決方案，能優(yōu)化解題思路、提高解題效率，同時(shí)發(fā)展核心素養(yǎng)．當(dāng)然，核心素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的，它貫穿于每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之中，教師的每一次教學(xué)活動(dòng)都應(yīng)該為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)．我們要學(xué)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)，研讀教材，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部規(guī)律、聯(lián)系，明晰訓(xùn)練方向，研究學(xué)生得失，提升學(xué)生能力；調(diào)整課堂教學(xué)策略，優(yōu)化課堂教學(xué)環(huán)節(jié).

數(shù)學(xué)教學(xué)“讀-研-寫(xiě)”在行動(dòng)，具體地說(shuō)就是：引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)思考，學(xué)會(huì)傾聽(tīng)和閱讀老師或同伴的想法及過(guò)程，并以此為契機(jī)深入研究，將數(shù)學(xué)理解、解題回顧和方法反思等用自己的語(yǔ)言形成文字表達(dá)，及時(shí)總結(jié)研究成果．后期學(xué)生通過(guò)閱讀自己的寫(xiě)作內(nèi)容，能很快地進(jìn)行思維上的銜接和聯(lián)系，有助于延續(xù)性學(xué)習(xí)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)．本文提及的問(wèn)題不難，但仍需我們從中反思，希望能為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一點(diǎn)借鑒．