小波閾值去噪法在MEMS陀螺信號(hào)處理中的應(yīng)用

汪 菁鄒瑜光

（神州五行航天科技有限公司，大連 116085）

1 引 言

MEMS（Micro Electromechanical Systems，微機(jī)電系統(tǒng)）具有低成本、低耗能、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于集成等鮮明特點(diǎn)，適合批量生產(chǎn)，因此近年來被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。 以MEMS 技術(shù)為基礎(chǔ)的MEMS 陀螺現(xiàn)階段已成為低成本導(dǎo)航不可替代的慣性測(cè)量?jī)x器之一，但由于其精度低、誤差大的缺點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)航精度會(huì)產(chǎn)生較大影響。

改善MEMS 陀螺輸出性能主要有兩種方法：一是通過工業(yè)及工藝技術(shù)提高輸出性能，例如提高敏感結(jié)構(gòu)的真空封裝技術(shù)、溫度補(bǔ)償技術(shù)、集成化水平、微機(jī)械加工工藝技術(shù)等。 但受限于目前的工藝技術(shù)，MEMS 精度每提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，成本便隨之提高數(shù)十倍甚至數(shù)百倍，這導(dǎo)致MEMS 陀螺在高精度領(lǐng)域內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)力遠(yuǎn)不及光纖陀螺或機(jī)械陀螺。二是依靠數(shù)學(xué)手段，通過對(duì)系統(tǒng)模型建模從而對(duì)輸出進(jìn)行修正。 考慮到MEMS 陀螺一般不單獨(dú)使用，而是與其他傳感器進(jìn)行融合，共同完成導(dǎo)航任務(wù)，因此常采用卡爾曼濾波算法。 但MEMS 陀螺自身性能易受外界環(huán)境影響，且陀螺的隨機(jī)漂移具有非線性、非平穩(wěn)和慢時(shí)變的特點(diǎn)，影響其統(tǒng)計(jì)特性的準(zhǔn)確性，繼而導(dǎo)致系統(tǒng)模型建立不準(zhǔn)確，從而降低系統(tǒng)濾波精度，甚至引起濾波發(fā)散。 MEMS 陀螺的這種不穩(wěn)定輸出即是輸出信號(hào)疊加噪聲的結(jié)果，小波技術(shù)是信號(hào)去噪領(lǐng)域所使用的主要方法之一，該方法具備的時(shí)頻局域化及多分辨率特性使其適合分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，因此，近年來逐漸被應(yīng)用于MEMS 陀螺輸出信號(hào)的去噪處理。

綜合各類采用小波閾值處理MEMS 陀螺信號(hào)的方法并進(jìn)行研究對(duì)比，概括出利用小波閾值法對(duì)MEMS 陀螺信號(hào)去噪的各個(gè)步驟間的改進(jìn)方式和優(yōu)缺點(diǎn)，結(jié)合現(xiàn)階段不同使用條件下去噪處理的應(yīng)用現(xiàn)狀，以及在導(dǎo)航計(jì)算中的使用情況，說明這種處理方法在對(duì)MEMS 陀螺進(jìn)行性能測(cè)試時(shí)較為有用，而對(duì)于實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)使用時(shí)效果不明顯，為后續(xù)相關(guān)研究提供一定的參考價(jià)值。

2 小波閾值去噪法

MEMS 陀螺的噪聲可分為確定性與隨機(jī)性兩類，其中確定性噪聲存在一定的規(guī)律性，可通過校準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償，而隨機(jī)性噪聲具有隨機(jī)性，需要采用濾波進(jìn)行補(bǔ)償。

小波去噪法的本質(zhì)是削弱或去除信號(hào)的無用部分，保留或增強(qiáng)信號(hào)的有用部分。 通常信號(hào)的無用部分（即噪聲）占據(jù)高頻，相對(duì)有用信號(hào)幅值較小，而有用部分占據(jù)低頻，相對(duì)噪聲幅值較大。小波去噪法的處理機(jī)制為利用一定手段（小波變換）將信號(hào)分解到多個(gè)尺度上，通過一定的處理原則削弱或直接去除高頻部分，保留或增強(qiáng)低頻部分，最后重構(gòu)信號(hào)。 目前小波去噪主要分為以下三種：

1）波變換模極大值去噪法；

2）空域相關(guān)去噪法；

3）閾值去噪法。

其中，閾值去噪法無需對(duì)含噪信號(hào)做任何估計(jì)，計(jì)算量較小，濾波效果較好，因此使用最為廣泛，以下均以閾值去噪法為研究對(duì)象。

小波閾值去噪的基本步驟如下：

1）對(duì)原始含噪信號(hào)進(jìn)行小波變換，確定分解所用小波基函數(shù)以及分解層數(shù)；

2）選取合適的閾值函數(shù)對(duì)高頻小波系數(shù)進(jìn)行處理；

3）使用小波重構(gòu)得到濾波后的信號(hào)。

從去噪步驟上可看出，閾值去噪結(jié)果與小波基函數(shù)、分解層數(shù)、閾值函數(shù)以及合適的閾值選擇均有關(guān)。 由于小波基函數(shù)較為固定，不再作討論，以下將詳細(xì)介紹不同的閾值函數(shù)、閾值的選擇以及分解層數(shù)上的對(duì)比。

2.1 閾值函數(shù)

傳統(tǒng)的閾值函數(shù)有兩種，硬閾值函數(shù)及軟閾值函數(shù)，分別如式（1）和式（2）所示。 利用硬閾值去噪后，信號(hào)邊緣性好，但在閾值處函數(shù)不連續(xù)，導(dǎo)致處理后的信號(hào)會(huì)出現(xiàn)較大的振蕩，這種現(xiàn)象也被稱為偽吉布斯（Pseudo-Gibbs）效應(yīng)。 利用軟閾值去噪后結(jié)果相對(duì)平滑，克服了硬閾值不連續(xù)的缺點(diǎn)，但小波系數(shù)整體存在一定偏差，導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)與真實(shí)信號(hào)間存在失真。 Garrote 閾值（如式（3）所示）綜合了兩者的特點(diǎn)，函數(shù)連續(xù)，重構(gòu)信號(hào)不會(huì)出現(xiàn)振蕩，且因其整體更趨向于硬閾值函數(shù)，重構(gòu)信號(hào)不失真。 但由于函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，在處理含突變的信號(hào)時(shí)去噪效果仍有不足之處。

在傳統(tǒng)的閾值函數(shù)基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者提出各類改進(jìn)型閾值函數(shù)，大致可分為以下六類。

這類閾值函數(shù)屬于軟硬閾值函數(shù)的融合型，綜合兩者的優(yōu)點(diǎn)，又一定程度上克服各自的缺點(diǎn)。 典型的幾種形式有：

1）折衷法

式中：——調(diào)節(jié)參數(shù)，0≤≤1。

折衷法通過調(diào)整參數(shù)實(shí)現(xiàn)去噪效果的調(diào)節(jié)控制，閾值函數(shù)形式簡(jiǎn)單，不增加計(jì)算量及程序復(fù)雜度。 但該函數(shù)沒有避免軟硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，重構(gòu)后依舊會(huì)出現(xiàn)振蕩與失真，其程度受影響。

2）加權(quán)法

式中：——加權(quán)因子，0≤≤1。

考慮到在處理小于閾值部分的小波系數(shù)時(shí)，以上各類函數(shù)均直接置零，使得去除了部分高頻中的有用信號(hào)，降低了重構(gòu)信號(hào)精度，因此，文獻(xiàn)［10］在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，如式（6）所示。 改進(jìn)后函數(shù)含有一個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)，通過影響加權(quán)因子調(diào)整大于閾值部分的小波系數(shù)，同時(shí)小于閾值的小波系數(shù)縮小后也可參與重構(gòu)。 根據(jù)信號(hào)具體特點(diǎn)調(diào)整參數(shù)，從而提高重構(gòu)信號(hào)精度。 文獻(xiàn)［11］提出式（7），該函數(shù)中包含兩個(gè)參數(shù)與，可根據(jù)具體的噪聲，同時(shí)調(diào)整大于閾值部分和小于閾值部分的小波系數(shù)，具有更加靈活的特點(diǎn)。 但兩個(gè)參數(shù)如何選取需要結(jié)合具體的信號(hào)進(jìn)行設(shè)置，這一定程度上增加了調(diào)試難度。

這類閾值函數(shù)形式多樣，屬于多項(xiàng)式組合，較典型的如式（8） ～（10）所示。

式中：——高階因子。

根據(jù)式（8）函數(shù)形式可知，該閾值函數(shù)連續(xù)且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，重構(gòu)信號(hào)不振蕩，對(duì)于突變信號(hào)也具有一定的容忍度，但函數(shù)形式固定，針對(duì)特定信號(hào)可能并不是最優(yōu)處理。 式（9）中高階因子取值越小，閾值函數(shù)的變化曲線愈加光滑，但該函數(shù)并不連續(xù)。

文獻(xiàn)［14］提出一種分段式閾值函數(shù)，如式（10）所示，該閾值函數(shù)設(shè)置兩個(gè)閾值，式中的插值多項(xiàng)式可根據(jù)需要自行定義。 若取為三次多項(xiàng)式，考慮到函數(shù)的連續(xù)性以及可導(dǎo)性，則可?。?/p>

由于Garrote 閾值函數(shù)兼具軟硬閾值函數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)Garrote 函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)也是可選的方式之一，其中具有代表性的有：

其中，0≤≤1，≥1。

特點(diǎn)：該函數(shù)連續(xù)，且偏差也隨著增大而逐漸減小。 但函數(shù)存在兩個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)，具有一定的調(diào)節(jié)難度。

其中，0≤≤1。

特點(diǎn)：該方法也稱為改進(jìn)型均方根插值閾值函數(shù)。 該函數(shù)形式較為復(fù)雜，計(jì)算量及對(duì)應(yīng)程序復(fù)雜度均有所增加。

考慮到自然指數(shù)型函數(shù)具備高階可導(dǎo)的特點(diǎn)，許多學(xué)者將自然指數(shù)引入到閾值函數(shù)中，借以克服硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，比較典型的有以下兩種：

特點(diǎn)：式（16）中參數(shù)直接影響該閾值函數(shù)的特性，為控制系數(shù)，控制小于閾值部分的衰減程度。 式（15）與式（16）針對(duì)大于閾值部分的處理均只包含一個(gè)參數(shù)，調(diào)節(jié)難度較小，函數(shù)連續(xù)且高階可導(dǎo)。 而對(duì)于低于閾值的部分則可根據(jù)需要直接置為0，或按預(yù)設(shè)比例進(jìn)行衰減。

文獻(xiàn)［29］提出一種包含三角函數(shù)的閾值函數(shù)，如式（17）所示：

其中，＝＋cos（c ω） ＋sin（c ω），，，，，均為參數(shù)。

該函數(shù)具備靈活處理的優(yōu)勢(shì)，通過調(diào)整參數(shù)，可保證函數(shù)實(shí)現(xiàn)連續(xù)過渡，具有硬閾值函數(shù)優(yōu)勢(shì)；同時(shí)函數(shù)無固定偏差，避免了軟閾值函數(shù)的缺陷。 但該函數(shù)中包含5 個(gè)參數(shù)，如何配置各參數(shù)尚無有效方法，選擇合適的參數(shù)配置需要大量的測(cè)試及優(yōu)化工作。

上述各閾值函數(shù)均具備一個(gè)共通點(diǎn)，即函數(shù)值介于軟硬閾值函數(shù)之間，而文獻(xiàn)［30］則提出一種新的閾值函數(shù)，如式（18）所示：

其中，0 ≤≤1，＝（ω＋sign（ω）·）－4，＝ω＋sign（ω）·。

該閾值函數(shù)與上述各函數(shù)不同，在大于閾值的部分超過了硬閾值函數(shù)，強(qiáng)化了大于閾值部分的信號(hào)特點(diǎn)。 這種方法構(gòu)造的閾值函數(shù)可在去噪的同時(shí)對(duì)信號(hào)的尖峰、尖谷進(jìn)行提取，具有一定的針對(duì)性。

從上述閾值函數(shù)類型及特點(diǎn)可看出，對(duì)于傳統(tǒng)閾值函數(shù)的改進(jìn)主要考慮以下幾點(diǎn)：

1）閾值函數(shù)盡可能連續(xù)且具有可導(dǎo)性，這從數(shù)學(xué)層面上保證了處理后的信號(hào)可以克服硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，避免重構(gòu)信號(hào)出現(xiàn)振蕩；

2）部分改造后的閾值函數(shù)考慮到無偏估計(jì)，可保證重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)間不存在失真現(xiàn)象；

3）對(duì)于小于閾值部分的處理一般可直接置于0，或按一定比例進(jìn)行衰減。 具體設(shè)置應(yīng)結(jié)合去噪信號(hào)特點(diǎn)而定，若高頻信號(hào)中有用信號(hào)較多，則應(yīng)考慮采取衰減的形式進(jìn)行處理，反之則更適合直接置0；

4）調(diào)節(jié)參數(shù)個(gè)數(shù)的設(shè)置并沒有一定的規(guī)律可循，往往是提出某一形式的閾值函數(shù)后，針對(duì)特定信號(hào)進(jìn)行反復(fù)的去噪效果嘗試。 調(diào)節(jié)參數(shù)的個(gè)數(shù)越多，則調(diào)試越復(fù)雜，計(jì)算量越大，但去噪效果差異可能并不十分明顯。

2.2 閾值選取

常規(guī)的閾值選取準(zhǔn)則主要有固定閾值（sqtwolog）、啟發(fā)式閾值（heursure）、Stein 無偏似然估計(jì)閾值（rigrsure）以及極大極小準(zhǔn)則閾值（minimax）4種。 文獻(xiàn)［4］中以MEMS 陀螺信號(hào)驗(yàn)證得到，固定閾值具有更好的去噪效果，且該方法也是最為普遍的方法，因此以下采用固定閾值為代表進(jìn)行對(duì)比論述。 固定閾值的選取通?？煞譃橐韵? 種：

1）全局閾值

式中：——噪聲方差，＝0674 5；——首層小波分解系數(shù)絕對(duì)值的中間值；——信號(hào)的長(zhǎng)度。

全局閾值為最常見的閾值選取方式，這種方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但存在過度扼殺小波系數(shù)的問題。

2）自適應(yīng)閾值

信號(hào)與噪聲的幅值在不同分解尺度上占比不同，分解尺度越大，信號(hào)幅值越大，噪聲幅值越小。因此自適應(yīng)閾值法在不同分解尺度上采用不同的閾值，分解尺度越大，相應(yīng)的閾值越小，具體如式（20）所示：

式中：——當(dāng)前分解尺度。

3）局部閾值法（I）

式中：σ——原始含噪信號(hào)的噪聲方差值；σ——各層的噪聲方差值；——當(dāng)前分解尺度。

該局部閾值既考慮原始信號(hào)噪聲方差，也考慮局部某層的噪聲方差。 當(dāng)某層的噪聲方差值增大時(shí)，相應(yīng)的局部閾值也會(huì)增大，反之減小。 當(dāng)分解尺度增大，小波閾值會(huì)隨之減小，這也符合不同分解層下噪聲分布有所區(qū)別的客觀事實(shí)。

4）局部閾值法（II）

式中：C——調(diào)節(jié)常數(shù)。

這種局部閾值法可通過調(diào)節(jié)C 從而得到最佳的輸出信噪比。

以上四種固定閾值選取方法，計(jì)算量最小的為全局閾值法，但不同的分解尺度下使用同一個(gè)固定閾值，去噪效果不是最優(yōu)的。 其余幾種均考慮了不同分解尺度下的閾值調(diào)整，計(jì)算量增加，但去噪效果將得到一定程度的改善。

一般來說，閾值函數(shù)均是對(duì)高頻分量進(jìn)行處理，而考慮到MEMS 陀螺常見的噪聲系數(shù)中角度隨機(jī)游走和零偏不穩(wěn)定性都是長(zhǎng)期的低頻現(xiàn)象，因此文獻(xiàn)［32］中采用了一種改進(jìn)的算法，先選擇分解水平，并對(duì)選定層的低頻分量和每一層的高頻分量同時(shí)進(jìn)行閾值處理。

常規(guī)的閾值選擇方法均是針對(duì)信號(hào)的后處理，即提前計(jì)算出信號(hào)的整體噪聲方差，或如局部閾值法（I）中計(jì)算每層分解的信號(hào)噪聲方差。 文獻(xiàn)［33］考慮到MEMS 陀螺在實(shí)際應(yīng)用中短時(shí)間內(nèi)噪聲會(huì)隨機(jī)變化，因此采取實(shí)時(shí)計(jì)算采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)方差的方法，并利用所得方差對(duì)數(shù)據(jù)噪聲進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)，求取頻域下的最大幅度值，并分層利用最大幅度值消除噪聲。 該方法實(shí)時(shí)性好，但需要存儲(chǔ)設(shè)定時(shí)間內(nèi)的所有采樣數(shù)據(jù)值，因此增加了存儲(chǔ)器的負(fù)擔(dān)，同時(shí)實(shí)時(shí)計(jì)算方差值也增加了計(jì)算量，對(duì)處理器要求提高，實(shí)際中應(yīng)綜合考慮多方因素決定是否需要采用這種方法。

2.3 分解層數(shù)

除了閾值函數(shù)以及閾值的選取，小波的分解層數(shù)對(duì)去噪也有一定的影響。 文獻(xiàn)［7］中通過對(duì)某一MEMS 進(jìn)行小波去噪測(cè)試，驗(yàn)證了針對(duì)特定誤差項(xiàng)，某一適宜的分解層數(shù)有明顯的去噪效果。 而多數(shù)文獻(xiàn)在對(duì)被測(cè)MEMS 選取合適的小波進(jìn)行去噪時(shí)，也是通過不同類型的小波函數(shù)、分解層數(shù)進(jìn)行嘗試去噪對(duì)比后，選取某一特定的類型與分解層數(shù)。 但綜合去噪效果來看，分解層數(shù)的影響較弱，一般并不作為研究重點(diǎn)。

3 應(yīng)用現(xiàn)狀

對(duì)MEMS 陀螺輸出信號(hào)進(jìn)行去噪處理后，通常采用信噪比和均方根誤差進(jìn)行比較評(píng)價(jià)。 近年來，對(duì)于小波閾值的改進(jìn)重點(diǎn)通常著眼于閾值函數(shù)的構(gòu)造形式上。 一般來說，閾值函數(shù)保證連續(xù)性、可導(dǎo)性以及必要的無偏性，均可獲得一定程度的去噪效果，而針對(duì)某一特定的陀螺輸出信號(hào)選用某一適宜的閾值函數(shù)，驗(yàn)證去噪后的信噪比以及均方根誤差即可證明去噪方法有效。 但由于陀螺性能各異，各類閾值函數(shù)之間的去噪效果往往差別并不明顯，而對(duì)于含參數(shù)的閾值函數(shù)更需要大量的測(cè)試才能選出適合的形式，因此很難挑選出適用于所有MEMS 陀螺的最優(yōu)小波閾值函數(shù)。 考慮到閾值選取以及分層選擇也對(duì)去噪效果有所影響，綜合來看小波閾值去噪法普適性欠佳。 此外，小波閾值去噪針對(duì)白噪聲抑制簡(jiǎn)單有效，對(duì)有色噪聲的抑制效果并不理想，而MEMS 陀螺信號(hào)中往往還包含有色噪聲，因此不能單純采用小波閾值法來處理MEMS 陀螺信號(hào)。 為克服上述不足，目前常采用多種方法融合以提升去噪效果。 但由于融合方法相比單純的小波去噪算法計(jì)算量大，執(zhí)行起來無論是對(duì)存儲(chǔ)空間還是處理器效率均提出較高要求，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，對(duì)實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理產(chǎn)生不利影響。

使用小波閾值去噪對(duì)MEMS 陀螺信號(hào)處理通?？煞譃殪o態(tài)及動(dòng)態(tài)測(cè)試。 其中，靜態(tài)測(cè)試指在陀螺靜止情況下采集輸出，通過去噪排除部分噪聲干擾，更加直觀的分析陀螺性能，為后續(xù)陀螺使用或系統(tǒng)建模提供一定的理論基礎(chǔ)。 動(dòng)態(tài)測(cè)試指陀螺在某一運(yùn)動(dòng)情況下采集輸出，這種運(yùn)動(dòng)情況已知或有規(guī)律可循，去噪后可反映陀螺的動(dòng)態(tài)性能特點(diǎn)。 以上均是為分析MEMS 陀螺自身性能而進(jìn)行的處理，在參與實(shí)時(shí)的導(dǎo)航計(jì)算中使用小波閾值去噪對(duì)陀螺信號(hào)進(jìn)行處理的并不多見，部分學(xué)者對(duì)此也進(jìn)行過相關(guān)嘗試。 例如文獻(xiàn)［40］經(jīng)過對(duì)比不同類型的傳統(tǒng)小波函數(shù)及閾值函數(shù)，得出小波閾值函數(shù)更適用于工作在高動(dòng)態(tài)環(huán)境下的慣性系統(tǒng)的結(jié)論。 但該文獻(xiàn)中僅通過手搖MEMS 進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)采集并去噪，缺乏實(shí)際高動(dòng)態(tài)環(huán)境中的試驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)［41］將小波去噪處理后的低精度MEMS 信號(hào)利用卡爾曼算法再次濾波，陀螺的方差得到顯著的改善。 文獻(xiàn)［42］提出一種基于小波變換原理的自反饋模型，不僅可補(bǔ)償陀螺的溫漂，同時(shí)還可抑制其他過程噪聲。 以上各方法雖涉及實(shí)際使用情況，但常需要提前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，存儲(chǔ)量與計(jì)算量負(fù)擔(dān)明顯增加。 對(duì)于導(dǎo)航計(jì)算來說，實(shí)時(shí)性至關(guān)重要，計(jì)算成本以及存儲(chǔ)成本均需要綜合考慮。 而對(duì)于使用卡爾曼濾波算法的組合導(dǎo)航來說，濾波效果足以滿足使用，若再添加小波去噪，對(duì)于整體效果并沒有實(shí)質(zhì)性的改善，計(jì)算量卻顯著增加，對(duì)處理器短期處理能力要求提高，降低了整體的效費(fèi)比。綜合以上各類原因，現(xiàn)階段組合導(dǎo)航中幾乎沒有同時(shí)使用兩種方法的案例。

4 結(jié)束語

主要總結(jié)了近年來小波閾值去噪法在對(duì)于MEMS 陀螺去噪方向的發(fā)展，依次對(duì)小波閾值去噪法中不同的閾值函數(shù)形式、閾值選取方式以及分解層數(shù)進(jìn)行了對(duì)比，得到如下結(jié)論。

1）改進(jìn)后的閾值函數(shù)形式各異，總體上具有連續(xù)性、可導(dǎo)性以及無偏性的特點(diǎn)，但普適性不好。針對(duì)具體的MEMS 陀螺需要通過反復(fù)測(cè)試尋求合適的閾值函數(shù)、閾值選取以及分解層數(shù)；

2）使用小波閾值處理MEMS 陀螺信號(hào)多使用于靜態(tài)或動(dòng)態(tài)測(cè)試，借以幫助分析陀螺性能，建立準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型；實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)使用較少，對(duì)于導(dǎo)航計(jì)算來說，計(jì)算成本較大，而改善效果不明顯，因此使用價(jià)值不大。