一類分?jǐn)?shù)階積分微分方程PC-mild解的存在唯一性

宋玉瑩，馬小麗

(1.蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070; 2.蘭州市第三中學(xué)， 甘肅 蘭州 730000 )

分?jǐn)?shù)階積分微分方程可以很好地描述實際現(xiàn)象，能夠達(dá)到較好的模擬效果。目前，已經(jīng)在動力學(xué)，熱傳導(dǎo)系統(tǒng)，電化學(xué)等許多領(lǐng)域得以應(yīng)用。

文獻(xiàn)[1]研究了具有非瞬時脈沖的混合型分?jǐn)?shù)階偏積分微分方程

(1)

的初邊值問題，其中k=1,2,…,m，α∈(1,2)，φ∈L2([0,π]) ，算子G是變上限積分，算子S是普通定積分。文獻(xiàn)[1]通過使用α階解算子及Krasnoselskii’s不動點定理得到了問題(1) PC-mild解的存在唯一性結(jié)果。而文獻(xiàn)[2]使用非緊性測度及凸冪凝聚算子研究了分?jǐn)?shù)階偏積分微分方程mild解的存在唯一性。文獻(xiàn)[3]運用非緊性測度探討了非線性時間分?jǐn)?shù)階非自治混合型積分微分發(fā)展方程的Cauchy問題。

文獻(xiàn)[4]研究了半線性偏泛函中立型積分微分方程

(2)

解的存在性與正則性，其中算子A是X上解析半群的無窮小生成元，N(t):X→X，F(xiàn)(t):D(A)→D(A)是X上的兩個有界線性算子族，脈沖函數(shù)r(t)是連續(xù)的。同樣，文獻(xiàn)[5-7]討論了中立型積分微分方程解的存在性，文獻(xiàn)[8-11]研究了具有時滯的時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程mild解的存在唯一性。

本文研究具有非瞬時脈沖的分?jǐn)?shù)階積分微分方程

(3)

初邊值問題。其中α∈(1,2)；x(ξ,t)是R上的狀態(tài)函數(shù)；f:[0,b]×R→R；lk:[0,b]×R→R，k=1,2,…,m；B(t)(t≥0)是閉線性算子族；N(t)(t≥0)是R上的有界線性算子族；D={(t,s)∈R2:0≤s≤t≤b}；si,ti滿足0=s0

1 預(yù)備知識

令x(ξ,t)=x(·,t)=x(t)，x(0)=φ(·)=x0，則問題(3)可以改寫為如下抽象形式

(4)

μ+τθ∶= {μ+s:λ∈C,|arg(-λ)|<θ}

定義1 設(shè)A:D(A)?X→X為閉線性算子，如果存在實數(shù)μ及強連續(xù)函數(shù)Tα:R+→L(X)，有{λα:Reλ>μ}?ρ(A)，且

性質(zhì)1[13]對任意的t∈J，存在常數(shù)M>0，有‖Tα(t)‖≤M。

引理1[14-15]設(shè)0<ρ<1，γ>1，

那么對所有常數(shù)0<ξ<1，實數(shù)s>1，有

引理2(Krasnoselskii’s不動點定理) 設(shè)D′是Banach空間X中的有界凸閉子集，若算子Φ1、Φ2:D′→X滿足：

(1) 對任意x,y∈D′，有Φ1x+Φ2y∈D′；

(2)Φ1是壓縮的，Φ2是全連續(xù)的；

那么算子Φ1+Φ2在D′中有不動點。

定義2 如果x(0)=x0，并且滿足積分方程

那么函數(shù)x(t)∈PC(J,X)稱為方程(4)的mild解。

2 主要結(jié)論

定義算子Φ：PC(J,X)→PC(J,X):

Φx(t)=Φ1x(t)+Φ2x(t),

(5)

其中

(6)

(7)

由(5)—(7)式及定義2，算子Φ的不動點等價于方程(4)的mild解。

為了證明方程(4)PC-mild解的存在唯一性，給出以下假設(shè)：

(H1) 函數(shù)f:J×X→X是連續(xù)的，且對所有的t∈J，x,y∈X，存在非負(fù)Lebesgue可積函數(shù)l′∈L1(J,R+) ，有

‖f(t,x)-f(t,y)‖≤l′(t)‖x-y‖；

(H2) 脈沖函數(shù)lk:J×X→X是連續(xù)的，且對所有的t∈J，x,y∈X，存在非負(fù)常數(shù)l*，有

‖lk(t,x)-lk(t,y)‖≤l*‖x-y‖,k=1,2,…,m；

(H3) 函數(shù)f:J×X→X是連續(xù)的，且對所有的t∈J，x∈X，r>0,存在正常數(shù)I、Lebesgue可積函數(shù)ψ∈L1(J,R+) 及連續(xù)非減函數(shù)Θ:R+→(0,+∞),當(dāng)‖x‖≤r時，有

定理1 如果條件(H1)—(H2)成立，且0≤τ<1(τ=max{l*,Ml*})，則方程(4)有唯一的PC-mild解x*。

證明對任意的x,y∈PC(J,X)，由(6)式

‖Φ1x(t)-Φ1y(t)‖=τ‖x-y‖PC,

其中t∈[0,t1]∪(tk,sk]∪(sk,tk+1](k=1,2,…,m)。進(jìn)一步，有

通過數(shù)學(xué)歸納法有

(8)

假設(shè)對任意自然數(shù)k有

由數(shù)學(xué)歸納法可得，對任意自然數(shù)n及ζ=vb，

根據(jù)引理1，

(9)

其中0<η<1,λ>1。很明顯可以看出(9)式對t∈(sk,tk+1](k=1,2,…,m)也是適用的，即由(8)—(9)式有

由Banach壓縮映射原理，得到由(5)式定義的算子Φ有唯一的不動點x*∈PC(J,X)。

注：在定理1的證明中，通過運用Banach壓縮映射原理得到算子Φ是冪壓縮的，僅需要對算子Φ1提出相應(yīng)的條件，而不需要額外的條件保證算子Φ2壓縮系數(shù)0

定理2 若由A生成的解算子Tα(t)(t∈J)是緊的，函數(shù)lk(k=1,2,…,m)是有界的。如果條件(H2)—(H3)成立，且

κ(IΔ+L)<1,

(10)

證明為方便起見，證明分以下3步。

第一步：證明存在正常數(shù)r，有Φ(Br)?Br，其中Br={x∈PC(J,X):‖x‖≤r,r>0}。若不然，則對任意常數(shù)r>0，存在tr∈J，xr∈Br，使得‖Φxr(tr)‖>r。

(i) 對tr∈[0,t1]，根據(jù)條件(H3)可以得到

(11)

(ii) 對tr∈(tk,sk](k=1,2,…,m)，由條件(H2)得

‖Φxr(tr)‖≤‖lk(tr,xr(tr))‖≤l*‖xr(tr)‖+‖lk(tr,θ)‖≤Lr+M*,

(12)

(iii) 對tr∈(sk,tk+1](k=1,2,…,m)，由條件(H2)—(H3)有

M(Lr+M*+Θ(r)‖ψ(s)‖L1((sk,tk+1],R+))。

(13)

則由(11)—(13)式得

r≤κ(‖x0‖+Θ(r)Δ+Lr+M*),

上式兩端同除以r，且令r→+∞，有κ(IΔ+L)≥1。這與(10)式矛盾，故Φ(Br)?Br。

第二步：證明Φ1:Br→Br是壓縮映射。

(i) 對t∈[0,t1]，x,y∈Br，則‖Φ1x(t)-Φ1y(t)‖=0。

(ii) 對t∈(tk,sk],k=1,2,…,m，x,y∈Br,根據(jù)條件(H2)可以得到

‖Φ1x(t)-Φ1y(t)‖≤l*‖x(t)-y(t)‖≤L‖x-y‖PC。

(iii) 對t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m，x,y∈Br,由條件(H2)有

‖Φ1x(t)-Φ1y(t)‖≤κl*‖x(t)-y(t)‖≤κL‖x-y‖PC。

綜上所述，對任意的t∈J，x,y∈Br，有‖Φ1x(t)-Φ1y(t)‖≤‖Φ1x-Φ1y‖PC≤κL‖x-y‖PC，再根據(jù)(10)式得到Φ1:Br→Br是壓縮映射。

第三步：證明Φ2:Br→Br是全連續(xù)的。

首先證明{Φ2x(t):x∈Br}在X中是相對緊的。

故{Φ2x(t):x∈Br}在X中是相對緊的。與t∈[0,t1]的證明過程相似，可以證明當(dāng)t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時，Φ2(Br)(t)?X也是相對緊的。

其次證明Φ2(Br)是等度連續(xù)的。

(ii) 對t∈(sk,tk+1](k=1,2,…,m)，與第一種情況類似，故Φ2(Br)是等度連續(xù)的。

最后通過Arzela-Ascoli定理，可以得到Φ2:Br→Br是全連續(xù)的。因此根據(jù)引理2，算子Φ在Br上有不動點x*∈PC(J,X)。也就是說，得到了方程(4)PC-mild解的存在唯一性結(jié)果。

證畢。