考慮斜置彈簧阻尼的船舶軸系縱振高靜低動(dòng)隔振器的建模研究

楊志榮，李林桃，趙 含，饒柱石

（1.集美大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，福建 廈門 361021；2.廈門市海洋腐蝕與智能防護(hù)材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 廈門 361021；3.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

0 引 言

由螺旋槳非定常激勵(lì)力引起的推進(jìn)軸系縱向低頻振動(dòng)對(duì)艦艇聲隱身性能的危害性受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-3]。對(duì)于艦艇推進(jìn)軸系而言，其縱向振動(dòng)控制的研究重點(diǎn)是減小經(jīng)推力軸承基座傳遞至艇體的二次脈動(dòng)激勵(lì)力。由于縱向力傳遞路徑為螺旋槳-傳動(dòng)軸-推力軸承-推力軸承基座-艇體，因此只能在此路徑上對(duì)振源進(jìn)行隔離或者消減。實(shí)際工況中，推進(jìn)軸系的縱向靜推力一般較大，隔振器需承受較大的靜載荷，軸系躥動(dòng)位移的限制使得隔振器剛度不能過低，這就導(dǎo)致系統(tǒng)整體固有頻率比較高，面對(duì)低頻激勵(lì)無法有效隔振。高靜低動(dòng)隔振器通過并聯(lián)正、負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，可以獲得高靜剛度、低動(dòng)剛度的特性，具有良好的低頻隔振效果。Carrella 等[4]基于三彈簧并聯(lián)的準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)，比較分析了三種初始狀態(tài)下的斜置彈簧對(duì)系統(tǒng)隔振效果的影響；劉興天[5]討論了由滑動(dòng)梁與線性彈簧組成的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)帶來的新特性；徐道臨[6]等設(shè)計(jì)并分析了一種具有準(zhǔn)零剛度的磁力隔振器，該隔振器同時(shí)具有磁力剛度非線性與幾何結(jié)構(gòu)非線性；Sun等[7]利用剪刀式結(jié)構(gòu)本身的特性，使得線性的彈簧阻尼元件發(fā)揮出非線性剛度和阻尼的效果；Liu等[8]則將剪刀式結(jié)構(gòu)與杠桿結(jié)構(gòu)相結(jié)合，利用結(jié)構(gòu)自身內(nèi)在的非線性實(shí)現(xiàn)超低頻隔振；周加喜等[9]利用高靜低動(dòng)結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)出一種分段準(zhǔn)零剛度隔振器，避免了激勵(lì)幅值過大所導(dǎo)致的共振峰值傳遞率超過等效線性系統(tǒng)峰值傳遞率。

然而，上述高靜低動(dòng)隔振器均是將隔振載體當(dāng)作剛體，而在螺旋槳葉頻激勵(lì)力下，推進(jìn)軸系自身的分布剛度不可忽視，同時(shí)大部分的高靜低動(dòng)隔振器的阻尼考慮為線性阻尼，較少考慮具有非線性阻尼作用下高靜低動(dòng)隔振器的隔振特性。本文針對(duì)在推進(jìn)軸系上安裝帶連桿彈簧并聯(lián)結(jié)構(gòu)的高靜低動(dòng)隔振裝置，考慮斜置彈簧阻尼情況，利用有限元法建立推進(jìn)軸系-高靜低動(dòng)隔振器縱振隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，分析其在特定參數(shù)下隔振器的隔振效果。

1 高靜低動(dòng)隔振器力學(xué)模型

對(duì)于如圖1 所示的連桿-彈簧式的高靜低動(dòng)隔振器，其在承載物重力作用下處于靜力平衡狀態(tài)，且長(zhǎng)度為b的連桿朝向水平。此時(shí)，豎直彈簧剛度為kv，預(yù)壓縮變形量為δv；斜置彈簧剛度為kh，原長(zhǎng)為L(zhǎng)ho，數(shù)量為N組，隔振平臺(tái)至水平彈簧固定端的距離為a，且滿足a＞b，此時(shí)有

圖1 帶連桿-彈簧高靜低動(dòng)隔振器Fig.1 Rod-spring typed HSLDs vibration isolator

若此時(shí)給該隔振平臺(tái)一個(gè)豎直方向的擾動(dòng)x，則連桿做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，并與水平方向產(chǎn)生θ夾角。對(duì)于該擾動(dòng)，產(chǎn)生相應(yīng)的豎直方向回復(fù)力為

結(jié)合式（2）～（3），得

此回復(fù)力是僅考慮剛度作用時(shí)的整個(gè)系統(tǒng)的回復(fù)力。將式（4）在x=0處進(jìn)行泰勒展開，并省略高階項(xiàng)可得

因此，可得近似后的高靜低動(dòng)隔振器的一階剛度和三階剛度分別為

2 推進(jìn)軸系-高靜低動(dòng)隔振器動(dòng)力學(xué)建模

2.1 考慮隔振器為軸向粘性阻尼時(shí)的縱振動(dòng)力學(xué)建模

推進(jìn)軸系主要由螺旋槳、艉軸、中間軸、推力軸、艉軸承、中間軸承和推力軸承等組成。這里將螺旋槳及其附連水質(zhì)量簡(jiǎn)化為集中質(zhì)量mp，推進(jìn)軸等效為一根直徑為d的彈性等截面均質(zhì)軸，且只考慮縱向激勵(lì)，忽略彎矩對(duì)縱向振動(dòng)的影響。在推進(jìn)軸系的推力軸承端配置連桿-彈簧高靜低動(dòng)隔振器，推力由螺旋槳經(jīng)推力軸傳遞至該隔振器，再導(dǎo)入到推力軸承上，其系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型如圖2 所示，其中軸的橫截面面積、彈性模量、長(zhǎng)度、以及密度分別用A、E、L和ρ來表示。

圖2 推進(jìn)軸系-高靜低動(dòng)隔振器力學(xué)模型Fig.2 Schematic diagram of the propulsion shafting-HSLDs

高靜低動(dòng)隔振器的回復(fù)力取如式（5）中的前四階泰勒展開式，k1和k3分別表示式（6）～（7）中隔振器的一階剛度和三階剛度。此外，在圖1隔振器的豎直方向上并聯(lián)阻尼系數(shù)為cv的線性阻尼器，則圖2中軸系推力軸承端的縱向阻尼系數(shù)為

針對(duì)該推進(jìn)軸系-高靜低動(dòng)隔振器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，利用有限元法進(jìn)行分析。將推進(jìn)軸系模型劃分為圖2中的n個(gè)單元，即n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程可以寫為

2.2 考慮隔振器斜置彈簧阻尼的縱振動(dòng)力學(xué)建模

一般情況下，高靜低動(dòng)隔振器僅考慮豎直方向上線性阻尼的影響，而在水平方向上配置線性阻尼器時(shí)，特殊的幾何布置結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致豎直方向上的非線性阻尼效果。為了研究此類阻尼的可控性，在圖1 所示的原始高靜低動(dòng)隔振器模型基礎(chǔ)上，分別給斜置彈簧和豎直彈簧并聯(lián)一個(gè)線性阻尼器，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。故本節(jié)分析配置如圖3所示的帶斜置阻尼的高靜低動(dòng)剛度隔振器的軸系縱向力學(xué)傳遞特性變化，其中，cv為豎直方向阻尼，ch為斜置阻尼，因此，圖2中的c不再是常數(shù)，而是關(guān)于cv、ch以及軸系縱向位移的變量。

圖3 配置阻尼的連桿-彈簧高靜低動(dòng)隔振器Fig.3 Rod-spring typed HSLDs vibration isolator with dampers

考慮斜置的阻尼器為粘性阻尼，在豎直方向產(chǎn)生大小為x的位移時(shí)，則水平方向上的阻尼力模型可以寫為

2.3 算例分析

根據(jù)上述建立起的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，仿真分析本文提出的非線性隔振器在推進(jìn)軸系上的隔振效果。由于本文選擇的有限元法需要進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)，分別計(jì)算推進(jìn)軸系在等效線性隔振系統(tǒng)下（k1=kv，k3=0，ζh=0，ζv=0.01，kv=108N/m），單元數(shù)量選擇5、10 和40 時(shí)的力傳遞率曲線，其它的結(jié)構(gòu)參數(shù)參考某船軸系進(jìn)行簡(jiǎn)化選取，如表1 所示。不同單元數(shù)量下的力傳遞率曲線如圖4 所示，由圖可知，10 至60 單元計(jì)算模型的第一、二階縱向共振峰基本重合。因此為了保證計(jì)算的精度以及避免不必要的計(jì)算負(fù)擔(dān)，本文的推進(jìn)軸系計(jì)算模型選擇10單元的有限元模型。此外，為了驗(yàn)證本文利用諧波平衡法所得近似解析解的準(zhǔn)確性，將龍格庫塔法求解式（19）得到的數(shù)值解作為精確解與之進(jìn)行對(duì)比，此時(shí)，同時(shí)考慮非線性剛度和非線性阻尼的效果，參數(shù)選擇N=2，ζh=0.01，ζv=0.05，kv=109N/m，其它參數(shù)按表1 進(jìn)行選取，計(jì)算結(jié)果如圖5 所示。由圖可知，近似解析解與數(shù)值解在低頻處存在著誤差，但整體上基本吻合。

表1 推進(jìn)軸系系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of propulsion shafting

圖4 不同單元數(shù)等效線性隔振系統(tǒng)有限元模型的力傳遞率曲線Fig.4 Force transmissibility curves of finite element models of equivalent linear vibration isolation system with different number of elements

圖5 非線性隔振系統(tǒng)力傳遞率曲線的近似解析解與數(shù)值解Fig.5 Approximate analytical solution and numerical solution of force transmissibility curves of nonlinear vibration isolation system

分別計(jì)算推進(jìn)軸系在等效線性隔振系統(tǒng)下和推進(jìn)軸系帶高靜低動(dòng)隔振器隔振系統(tǒng)下的力傳遞率。系統(tǒng)中存在三種阻尼：推進(jìn)軸系材料粘性阻尼比ζ、高靜低動(dòng)隔振器軸向阻尼比ζv和高靜低動(dòng)隔振器橫向阻尼比ζh。首先對(duì)于線性系統(tǒng)，分析ζ與ζv對(duì)系統(tǒng)的影響，圖6～7為當(dāng)kv=1×109N/m，不同ζ與ζv取值時(shí)，線性隔振系統(tǒng)的力傳遞率及軸系在推力軸承端的結(jié)點(diǎn)位移幅值。圖8～9為當(dāng)kv=1×108N/m，不同ζ與ζv取值時(shí)，線性隔振系統(tǒng)的力傳遞率及推力軸承端結(jié)點(diǎn)位移幅值。

圖6 不同ζ與ζv取值時(shí)線性隔振系統(tǒng)的力傳遞率（kv=1×109 N/m）Fig.6 Force transmissibility curves of linear system with different ζ and ζv(kv=1×109 N/m)

圖7 不同ζ與ζv取值時(shí)推力軸承端的位移幅值（kv=1×109 N/m）Fig.7 Displacement curves of linear system with different ζ and ζv(kv=1×109 N/m)

圖8 不同ζ與ζv取值時(shí)線性隔振系統(tǒng)的力傳遞率（kv=1×108 N/m）Fig.8 Force transmissibility curves of linear system with different ζ and ζv(kv=1×108 N/m)

由下圖可知，隨著材料阻尼比ζ的增加，幅頻響應(yīng)的各階共振峰均會(huì)下降，同樣隨著高靜低動(dòng)軸向阻尼ζv的增加，幅頻響應(yīng)的各階共振峰也均會(huì)下降，即高靜低動(dòng)軸向阻尼ζv對(duì)共振響應(yīng)幅值的抑制更為強(qiáng)烈。對(duì)于力傳遞率而言，增加ζ和ζv都會(huì)使得共振峰值下降，其中，增加ζ，對(duì)于非共振區(qū)域沒有影響，而增加ζv會(huì)增加非共振區(qū)域的力傳遞率。此外，當(dāng)ζv下降時(shí)，也使得ζv和ζ對(duì)共振峰抑制的強(qiáng)烈程度發(fā)生改變。進(jìn)一步分析安裝高靜低動(dòng)隔振器的船舶推進(jìn)軸系系統(tǒng)受阻尼的影響，其中kv=1×108N/m，其他參數(shù)取值由表1給出。由圖10可知，考慮斜置彈簧阻尼的高靜低動(dòng)隔振器非線性隔振系統(tǒng)在低頻段的力傳遞率均下降，低頻隔振效果更好，但是高靜低動(dòng)隔振器的軸向阻尼比ζv越大，在高頻段隔振系統(tǒng)的隔振效果越差。對(duì)于線性系統(tǒng)，增加ζv會(huì)增加非共振區(qū)域的力傳遞率。由圖11可以發(fā)現(xiàn)，高靜低動(dòng)隔振器低頻的響應(yīng)位移均增大，對(duì)于第一個(gè)共振峰，增加高靜低動(dòng)軸向阻尼比ζv可以有效地降低響應(yīng)峰值，而改變高靜低動(dòng)隔振器橫向阻尼比ζh，則無明顯效果。除此之外，增加ζh可以使得系統(tǒng)的低頻響應(yīng)降低。

圖9 不同ζ與ζv取值時(shí)推力軸承端的位移幅值（kv=1×108 N/m）Fig.9 Displacement curves of linear system with different ζ and ζv(kv=1×108 N/m)

圖10 不同ζ與ζv取值時(shí)非線性隔振系統(tǒng)的力傳遞率Fig.10 Force transmissibility curves of linear system with different ζ and ζv

圖11 不同ζ與ζv取值時(shí)推力軸承端的位移幅值Fig.11 Displacement curves of linear system with different ζ and ζv

3 結(jié) 論

本文針對(duì)推進(jìn)軸系上安裝的帶連桿-彈簧并聯(lián)結(jié)構(gòu)的高靜低動(dòng)隔振裝置，考慮斜置彈簧阻尼情況，利用有限元法建立了推進(jìn)軸系-高靜低動(dòng)隔振器縱振隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，分析其在特定參數(shù)下隔振器的隔振效果，通過分析可以得出以下結(jié)論：

（1）建立的考慮推進(jìn)軸系自身分布剛度和斜置彈簧阻尼作用下的推進(jìn)軸系-高靜低動(dòng)隔振器系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型更為精確；

（2）對(duì)于等效線性隔振系統(tǒng)，增加ζ和ζv都會(huì)使共振峰值下降，其中，增加ζ，對(duì)于非共振區(qū)域沒有影響，而增加ζv會(huì)增加非共振區(qū)域的力傳遞率；

（3）考慮斜置彈簧阻尼的高靜低動(dòng)隔振器隔振系統(tǒng)的低頻隔振效果更好，此外，隨著高靜低動(dòng)隔振器的軸向阻尼ζv變大，在高頻段隔振效果變差。