“線(xiàn)性代數(shù)”教學(xué)改革的思考與實(shí)踐

車(chē)國(guó)鳳，張麗麗

（廣東工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

一、教學(xué)改革背景

2020年12月，國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)在主持國(guó)家科技領(lǐng)導(dǎo)小組會(huì)議上提出：“推動(dòng)科技創(chuàng)新要引導(dǎo)各方面把更多注意力放在加強(qiáng)基礎(chǔ)研究、應(yīng)用基礎(chǔ)研究上來(lái)……著力加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科發(fā)展的支持，夯實(shí)創(chuàng)新的基礎(chǔ)。”2021年7月，李克強(qiáng)總理再次強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)基礎(chǔ)研究，特別要重視數(shù)學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)是一切學(xué)科的基礎(chǔ)。因此，數(shù)學(xué)學(xué)科越來(lái)越受到重視?！熬€(xiàn)性代數(shù)”作為大學(xué)數(shù)學(xué)中的一門(mén)重要基礎(chǔ)課，是中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的延續(xù)，其重要性不言而喻。與中學(xué)數(shù)學(xué)不同的是，其抽象性更強(qiáng)，邏輯性也更強(qiáng)?！熬€(xiàn)性代數(shù)”課程為土木、機(jī)械及自動(dòng)化等幾乎所有工科專(zhuān)業(yè)的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

由于“線(xiàn)性代數(shù)”課程主要面向非數(shù)學(xué)類(lèi)學(xué)生開(kāi)設(shè)，且公式、定理等理論推導(dǎo)較多，所以學(xué)生學(xué)起來(lái)感覺(jué)比較吃力和枯燥。特別是近幾年，“線(xiàn)性代數(shù)”課程改革使得課時(shí)縮減，為了完成教學(xué)任務(wù)，一部分教師只能采取“滿(mǎn)堂灌”的教學(xué)方式，大大減少了教師與學(xué)生之間的互動(dòng)，同時(shí)教學(xué)過(guò)程相對(duì)比較緊張。另外，隨著科學(xué)技術(shù)及網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，個(gè)別學(xué)生在課堂上走神的情形不僅是傳統(tǒng)課堂上的打瞌睡和聊天等，而更多的是低頭玩手機(jī)。盡管教師時(shí)常會(huì)走下講臺(tái)提醒學(xué)生，但這并不能從根本上解決問(wèn)題。

二、教學(xué)改革措施

（一）使用混合式教學(xué)模式

混合式教學(xué)模式主要是指線(xiàn)上線(xiàn)下相結(jié)合的教學(xué)模式。近些年，隨著科學(xué)技術(shù)和信息網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，很多網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源可供借鑒，如中國(guó)大學(xué)慕課和SPOC等學(xué)習(xí)資源，而且大量的學(xué)習(xí)軟件可供選擇，如QQ、微信、騰訊會(huì)議及雨課堂等軟件。在“線(xiàn)性代數(shù)”教學(xué)中適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合一些網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源和學(xué)習(xí)軟件，可以很好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。由于“線(xiàn)性代數(shù)”內(nèi)容較多，且很多內(nèi)容較抽象，學(xué)時(shí)較少，為使學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)很好地掌握教學(xué)內(nèi)容，可以對(duì)線(xiàn)上線(xiàn)下學(xué)習(xí)內(nèi)容做適當(dāng)分類(lèi)。需要指出的是，學(xué)習(xí)內(nèi)容的分類(lèi)非常重要，要在熟悉課程內(nèi)容的基礎(chǔ)上，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)，并在教學(xué)過(guò)程中根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況隨時(shí)做適當(dāng)調(diào)整。經(jīng)過(guò)初步的研討，在概念的引入、基本性質(zhì)的介紹及簡(jiǎn)單的計(jì)算等方面可以采取線(xiàn)上教學(xué)，如簡(jiǎn)單的行列式計(jì)算、向量的概念介紹及其運(yùn)算、特征值與特征向量的定義和性質(zhì)、二次型的定義等內(nèi)容；對(duì)于一些比較難理解的知識(shí)點(diǎn)，采用線(xiàn)下教學(xué)，如特殊行列式的計(jì)算、矩陣的乘法、矩陣的相似對(duì)角化等內(nèi)容。以雨課堂教學(xué)工具為例，雨課堂學(xué)習(xí)對(duì)網(wǎng)絡(luò)速度要求較高，同時(shí)需要學(xué)生在手機(jī)上安裝微信，教師在電腦上安裝雨課堂軟件。在上課之前，教師任意打開(kāi)一個(gè)PPT文檔，就會(huì)自動(dòng)顯示出雨課堂，在雨課堂慕課視頻區(qū)域?qū)ふ液线m的、時(shí)長(zhǎng)適中的“線(xiàn)性代數(shù)”精品課程提前發(fā)送給學(xué)生預(yù)習(xí)，讓學(xué)生提前了解下節(jié)課將要學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)內(nèi)容，而且可以使學(xué)生隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)，不會(huì)厭煩，達(dá)到間接督促學(xué)生預(yù)習(xí)的效果。除此之外，雨課堂還有很多其他功能值得教師運(yùn)用，例如，在課前，教師可以利用簽到功能快速地了解學(xué)生的出勤情況；在學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師可以在雨課堂提前輸入一些題目，課堂上邀請(qǐng)學(xué)生作答，之后在雨課堂直接查看班級(jí)每個(gè)學(xué)生的作答情況，相比于傳統(tǒng)課堂提問(wèn)個(gè)別學(xué)生的方式，這種線(xiàn)上的模式既省時(shí)間又可以提高教學(xué)效果；同時(shí)，學(xué)生可以隨時(shí)發(fā)彈幕表達(dá)自己的疑問(wèn)，教師可以根據(jù)學(xué)生的問(wèn)題大致掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，進(jìn)而適當(dāng)調(diào)整；在課程結(jié)束后，教師可以根據(jù)雨課堂中的數(shù)據(jù)，詳細(xì)地了解班級(jí)學(xué)生總體的學(xué)習(xí)情況及每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。

（二）將數(shù)學(xué)史融入課堂

由于“線(xiàn)性代數(shù)”比較側(cè)重于理論研究，內(nèi)容相對(duì)枯燥，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性不高。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以將與線(xiàn)性代數(shù)內(nèi)容相關(guān)的名人軼事穿插課堂中。例如，引入早期運(yùn)用矩陣概念數(shù)學(xué)家高斯的故事。高斯是一位非常著名的數(shù)學(xué)家，他在很小的時(shí)候就展現(xiàn)了極高的數(shù)學(xué)才華。在高斯發(fā)明自然數(shù)列求和公式之前，我們只能通過(guò)一個(gè)個(gè)數(shù)相加得出結(jié)果，運(yùn)算量比較大，但是高斯在研究這個(gè)數(shù)列時(shí)，想出了一個(gè)快捷且準(zhǔn)確的方法，這便是后來(lái)的自然數(shù)相加求和公式，這個(gè)公式為更一般的等差數(shù)列求和奠定了基礎(chǔ)，而且高斯想出此方法時(shí)僅有9歲。更為驚奇的是，在他只有3歲的時(shí)候，就可以看出他父親賬目中的錯(cuò)誤并將其修改。高斯在1795年進(jìn)入格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)，當(dāng)時(shí)對(duì)是否選擇數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)也很不確定，鑒于他在數(shù)學(xué)上已經(jīng)取得了一些成績(jī)，最后還是選擇了數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)。事實(shí)證明，他的選擇是非常正確的。他在大學(xué)前兩年就在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了很大的成就。特別是，他發(fā)明了二次互反律并解決了困擾數(shù)學(xué)家兩千多年的難題：只用圓規(guī)和直尺畫(huà)出正十七邊形。在1798年，高斯直接轉(zhuǎn)入黑爾姆施泰特大學(xué)，憑借他在數(shù)學(xué)上又取得的一個(gè)巨大突破：證明了代數(shù)基本定理，第二年直接博士畢業(yè)。高斯從上大學(xué)到博士畢業(yè)只用了四年的時(shí)間，足以看出他在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上是多么出色。高斯從1807年開(kāi)始就一直在格丁根大學(xué)工作，直到1855年去世。在高斯的一生中，他不僅在數(shù)學(xué)上取得了極高的成就，還在物理、天文等領(lǐng)域有很高的造詣。通過(guò)實(shí)踐可知，在課堂上融入一些數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)歷史等故事，可以極大地提升學(xué)生學(xué)習(xí)“線(xiàn)性代數(shù)”的興趣，同時(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高也起到了很好的效果。

（三）采用數(shù)形結(jié)合的方法

“線(xiàn)性代數(shù)”內(nèi)容比較抽象，需要很強(qiáng)的理解能力才可以深刻理解其中的一些內(nèi)容，對(duì)非數(shù)學(xué)類(lèi)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)比較大的挑戰(zhàn)。為了讓學(xué)生更深入地理解“線(xiàn)性代數(shù)”中的相關(guān)內(nèi)容，教師采用各種各樣的方法，例如，采用實(shí)例法，將“線(xiàn)性代數(shù)”中的概念與已知的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，如在講解行列式概念的時(shí)候，先從二元一次線(xiàn)性方程組解的表達(dá)式講起，由其解的形式進(jìn)而給出二階行列式的概念。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合的方法在“線(xiàn)性代數(shù)”的學(xué)習(xí)中起到了很好的作用。通過(guò)圖表的形式把“線(xiàn)性代數(shù)”相關(guān)內(nèi)容表示出來(lái)，既可以讓學(xué)生很清晰地理解其內(nèi)容，又可以加深學(xué)生的印象。下面通過(guò)列舉一些例子，說(shuō)明在“線(xiàn)性代數(shù)”學(xué)習(xí)中使用圖表的重要性。

1.在介紹行階梯型矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣及標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者關(guān)系時(shí)，可以用圖1表示。從圖1中可以很清晰地看出，行階梯型矩陣包含行最簡(jiǎn)形矩陣，行最簡(jiǎn)形矩陣包含標(biāo)準(zhǔn)型矩陣。記住圖1就可以很準(zhǔn)確記住上述三種矩陣之間的關(guān)系。

圖1 不同類(lèi)型矩陣之間的包含關(guān)系

2.在介紹任意矩陣、行階梯型矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣及標(biāo)準(zhǔn)形矩陣之間轉(zhuǎn)化關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)圖2表示。由圖2可知，給定任何一個(gè)矩陣，都可以通過(guò)有限次初等行變換將其化為行階梯型矩陣，再經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣，最后可以經(jīng)過(guò)有限次初等列變換，化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，即任何矩陣可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，并且上述變換都是可逆的。

圖2 不同類(lèi)型矩陣之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

3.在描述矩陣、向量組及線(xiàn)性方程組的解之間關(guān)系時(shí)，可以采用圖3表示。矩陣、線(xiàn)性方程組及向量組是不同章節(jié)的內(nèi)容，學(xué)生學(xué)完之后不太容易厘清它們之間的關(guān)系，但通過(guò)圖3，可以很清晰地看到：（1）矩陣和線(xiàn)性方程組之間的關(guān)系可以通過(guò)線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣連接；（2）矩陣和有限向量組的關(guān)系可以通過(guò)矩陣的行向量組或列向量組連接；（3）線(xiàn)性方程組與有限向量組之間的關(guān)系可以通過(guò)方程組的系數(shù)矩陣與常數(shù)向量之間的關(guān)系連接；（4）有限向量組與無(wú)限向量組之間的關(guān)系可以通過(guò)極大無(wú)關(guān)組連接。學(xué)生在了解矩陣、線(xiàn)性方程組及向量組關(guān)系時(shí)，只需要記住此圖形即可，既可以準(zhǔn)確記住其主要知識(shí)點(diǎn)，又不容易混淆其內(nèi)容。

圖3 矩陣、線(xiàn)性方程組與向量組之間的關(guān)系

三、總結(jié)與建議

傳統(tǒng)的“線(xiàn)性代數(shù)”教學(xué)模式主要側(cè)重于教師在課堂上傳授教學(xué)內(nèi)容，與學(xué)生溝通和交流比較少，很多時(shí)候教師不能準(zhǔn)確有效地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。本文主要描述了筆者在教學(xué)過(guò)程中，為了提高教學(xué)效果所進(jìn)行的一些改革舉措，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：結(jié)合當(dāng)下網(wǎng)絡(luò)資源，在“線(xiàn)性代數(shù)”教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情，把教學(xué)內(nèi)容分類(lèi)，然后將線(xiàn)上教學(xué)和線(xiàn)下教學(xué)相結(jié)合，以雨課堂和慕課為例，說(shuō)明這種混合式教學(xué)模式效果良好；由于“線(xiàn)性代數(shù)”內(nèi)容比較枯燥，筆者盡量將與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)故事穿插課程教學(xué)中，極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；由于“線(xiàn)性代數(shù)”中很多內(nèi)容比較抽象，且課時(shí)相對(duì)較少而內(nèi)容相對(duì)較多，為了讓學(xué)生更好地理解和記憶相關(guān)內(nèi)容，在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)圖形和表格的形式進(jìn)行總結(jié)與概括。