再談降維思考升維解題
——以2022年浙江省數(shù)學(xué)高考第19題為例

余建明, 曹鳳山

(1.淳安中學(xué),浙江 淳安 321004;2.余杭區(qū)教育發(fā)展中心，浙江 杭州 321004)

文獻(xiàn)[1]以2017年和2020年浙江卷第19題為例，回歸原點(diǎn)，基于翻折策略主動(dòng)降維把立體圖形平面化.2022年是浙江省高考自主命題收官之年，數(shù)學(xué)試卷總體遵循“穩(wěn)中求進(jìn)”的原則，具有較高的區(qū)分度和難度，其中第19題重點(diǎn)考查線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直三者之間的轉(zhuǎn)化，立意新穎.筆者以此題為例再談降維思考升維解題，明修棧道暗度陳倉(cāng).

1 原題展示

例1如圖1，已知四邊形ABCD和CDEF都是直角梯形，DC∥AB∥EF，∠BAD=∠CDE=60°，EF=1，DC=3，AB=5，二面角F-CD-B的平面角為60°，M，N分別是AE，BC的中點(diǎn).

1)證明：FN⊥AD；

2)求直線(xiàn)BM與平面ADE所成角的正弦值.

(2022年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第19題)

圖1 圖2

2 解法探究

1)證明把側(cè)面直角梯形DCFE往下翻折，得到圖2.因?yàn)椤螦=∠CDE=60°,所以點(diǎn)A,D,E共線(xiàn)，又

∠B=∠DCF=∠EFC=90°,

圖3

從而

DC∥AB∥EF.

由EF=1，DC=3，AB=5,得DC是梯形ABFE的中位線(xiàn)，故FC=BC.

因?yàn)椤螰CB是二面角F-CD-B的平面角且∠FCB=60°，所以△FCB是等邊三角形，從而

FN⊥BC.

又DC⊥平面FBC，從而DC⊥FN，于是FN⊥平面ABCD,故FN⊥AD.

3 解后反思

3.1 棧道法則再回顧

如圖4，在四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線(xiàn)分別與AC，AB交于點(diǎn)M,N.如圖5，把四邊形沿AC翻折成三棱錐D-ABC.

基本事實(shí)圖6中AC⊥平面DMN,平面ABC⊥平面DMN,平面ACD⊥平面DMN.

圖4 圖5 圖6

棧道法則[1]我們把折線(xiàn)AC的垂線(xiàn)定義為棧道，圖4和圖6中的DM,MN就是棧道.棧道上的任意點(diǎn)在另一個(gè)平面(另一條棧道與折線(xiàn)所在的平面)的投影(定義為“倉(cāng)”)必在另一條棧道上，即點(diǎn)D在平面ABC上的投影必在MN(棧道)上，點(diǎn)N在平面DAC上的投影必在DM(棧道)上.

3.2 為什么要翻

立體幾何研究的是空間中的位置和數(shù)量關(guān)系，這需要學(xué)生有一定的空間想象能力和邏輯思維能力.雖然學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了立體幾何初步，但高中階段對(duì)直觀想象和邏輯推理提出了更高的要求.幾何圖形首先讓空間圖形中的點(diǎn)、線(xiàn)、面從隱性到顯性完整展示出來(lái)，回歸原點(diǎn)，降維立體圖形平面化“成就”了圖形可視，棧道法則找垂足“成就”了度量可測(cè).

本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)F在底面投影的位置，從形的結(jié)構(gòu)看側(cè)面FCB相對(duì)簡(jiǎn)單，但是構(gòu)成三角形的元素不明確，側(cè)面DCFE雖是直角梯形但是所有的元素都是確定的，把更多的線(xiàn)線(xiàn)垂直放在一起，自然而然想到把兩個(gè)直角梯形降維翻折成同一個(gè)平面.由DC⊥FC，DC⊥BC，根據(jù)棧道法則的定義知，DC是折線(xiàn)，F(xiàn)C和BC是棧道，F(xiàn)在平面ABCD上的投影必在棧道BC上，又△FCB是等邊三角形，可知投影就是BC的中點(diǎn)N.

3.3 還能怎么翻

圖7

評(píng)注利用DC⊥BC，DC⊥CF,可得CD⊥平面BCF，由面面垂直性質(zhì)定理(棧道法則)知無(wú)論平面DCFE怎么旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F在底面的投影必在直線(xiàn)BC(棧道)上.

4 變式升華

1)證明：FN⊥AD；

2)求二面角F-CD-B的平面角的大小.

1)證明：FN⊥AD；

2)求二面角F-CD-B的平面角的大小.

變式3如圖8，在多面體EF-ABCD中，底面ABCD是矩形，四邊形DCEF是等腰梯形，EF∥CD，AB=2BC=2EF=2EC=8，△BCE是等邊三角形.

1)求二面角E-CB-D的平面角的余弦值；

2)求多面體EF-ABCD的體積.

圖8 圖9

回歸原點(diǎn)根據(jù)降維策略先把等邊三角形EBC往右翻，如圖9，由棧道法則知點(diǎn)E在底面的投影在BC的中垂線(xiàn)PQ上，再把等腰梯形DCEF往后翻，知點(diǎn)E在底面的投影在MN上，結(jié)合兩條棧道直線(xiàn)PQ與MN的交點(diǎn)O就是點(diǎn)E在底面的投影.

解1)如圖10，分別取AD,BC的中點(diǎn)Q，P，在邊CD，AB上取點(diǎn)M，N，使得CM=BN=2，PQ與MN交于點(diǎn)O.因?yàn)锽C⊥PQ，BC⊥EP，所以

BC⊥平面EFQP，

從而

BC⊥EO.

又DC⊥EM，DC⊥MN，從而

DC⊥平面EMN，

于是

DC⊥EO,

故

EO⊥平面ABCD.

又∠EPO是二面角E-CB-D的平面角，從而

圖10 圖11

2)取AB，CD的中點(diǎn)X，W，聯(lián)結(jié)FW，F(xiàn)X，WX，則多面體EF-ABCD被分割成一個(gè)錐體和一個(gè)柱體(如圖11).設(shè)多面體EF-ABCD的高為h，則

VEF-ABCD=VF-AXWD+VFXW-EBC

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理只能確定點(diǎn)在面的投影在兩個(gè)平面的交線(xiàn)上，要確定點(diǎn)的位置還需一個(gè)面面垂直.若用降維思考升維解題策略，則只需翻折兩個(gè)側(cè)面，修兩次棧道找交點(diǎn)即可.

年年歲歲花相似，歲歲年年人不同，鐵打的營(yíng)盤(pán)流水的兵，2017年和2022年浙江卷第19題以及2021年和2022年多地的模擬題情境都在變，面面垂直從臺(tái)前走向幕后，但不變的是主動(dòng)翻折“降維”思考，不變的是修“棧道”找“垂足”，不變的是在“想”的基礎(chǔ)上有效“算”.