基于圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征的深度思考
——以“借助中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形”專題復(fù)習(xí)教學(xué)為例

姜志根

(江山市教育局教研室，浙江 江山 324100)

復(fù)習(xí)課作為初中數(shù)學(xué)的重要課型之一，根據(jù)不同的角度具有不同的分類，如依據(jù)學(xué)習(xí)的階段性，復(fù)習(xí)課可以分為章節(jié)復(fù)習(xí)課、單元復(fù)習(xí)課、學(xué)期復(fù)習(xí)課、學(xué)段復(fù)習(xí)課等.近年來，逐漸倡導(dǎo)開展微專題復(fù)習(xí)課研究，旨在對(duì)某個(gè)知識(shí)模塊進(jìn)行深度思考和重點(diǎn)突破，從而培養(yǎng)學(xué)生的整體意識(shí)和提出問題、分析問題、解決問題的能力.2021年9月，筆者有幸在浙江省衢州市初中數(shù)學(xué)農(nóng)村學(xué)校課堂教學(xué)評(píng)比活動(dòng)中授課，得到了評(píng)委及與會(huì)教師的廣泛好評(píng).現(xiàn)將教學(xué)過程和反思整理如下，供大家研討.

1 課題材料

師：由中點(diǎn)可引出等線段，往往可以通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，從而獲得邊或角的數(shù)量關(guān)系.現(xiàn)在請(qǐng)你按照以下要求進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施教學(xué).

1)授課主題：以“中點(diǎn)與全等三角形”為主題進(jìn)行全等三角形專題復(fù)習(xí)教學(xué)；

2)內(nèi)容建議：以浙教版提供的參考習(xí)題為基本素材進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，充分挖掘素材的功能，思考問題的設(shè)計(jì)，可結(jié)合課本例題、習(xí)題與作業(yè)題,設(shè)計(jì)問題鋪墊分解與改編拓展、延伸等；

3)授課對(duì)象：八年級(jí)學(xué)生.

圖1

參考習(xí)題如圖1，已知AC∥BD，∠AEB=90°，點(diǎn)E是線段CD的中點(diǎn).請(qǐng)?zhí)剿鰽B，AC，BD之間的關(guān)系.

2 教學(xué)背景分析

2.1 教材分析

本節(jié)課的內(nèi)容為浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)(以下統(tǒng)稱“教材”)第一章“三角形的初步知識(shí)”中全等三角形性質(zhì)和判定的單元復(fù)習(xí)課.幾何是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科，它是數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容之一.最早的幾何學(xué)當(dāng)屬平面幾何，而平面幾何中最簡(jiǎn)單的圖形就是三角形，研究?jī)蓚€(gè)三角形之間的關(guān)系就顯得尤為重要.初中階段重點(diǎn)研究?jī)蓚€(gè)平面圖形間的關(guān)系是全等和相似.全等是一種特殊的相似，是兩個(gè)三角形最簡(jiǎn)單的關(guān)系，其性質(zhì)及判定既是研究封閉圖形的開端，也是一種證明邊或角相等的重要工具，是幾何入門最關(guān)鍵的一步.通過全等三角形研究的問題和方法為后面相似、等腰三角形、四邊形、圓等平面圖形的學(xué)習(xí)提供類似的研究路徑和方法，它具有承上啟下的鋪墊作用.

本章還將借助全等三角形進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力，主要包括用綜合分析法分析條件與結(jié)論的關(guān)系，用嚴(yán)密的演繹推理書寫證明格式，以及掌握證明幾何命題的一般過程.

2.2 學(xué)情分析

八年級(jí)是學(xué)生智力和心理發(fā)展的關(guān)鍵階段，學(xué)生的邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型逐步向理論型發(fā)展.學(xué)生具備活潑好動(dòng)、好奇、好表現(xiàn)這一特點(diǎn)，具備一定的邏輯思維能力，但思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和全面性還不足.

2.3 教學(xué)目標(biāo)

1)能根據(jù)判斷三角形全等的條件，掌握兩種借助中點(diǎn)添加輔助線的方法；

2)通過生活中測(cè)量距離的諸多數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、推理等思維活動(dòng)，對(duì)線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移構(gòu)造全等三角形，積累探究線段之間數(shù)量關(guān)系的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的遷移，感悟數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等.

2.4 教學(xué)方法與教學(xué)手段

本課以一個(gè)問題為載體，通過設(shè)計(jì)具有一定梯度的問題，逐步啟發(fā)學(xué)生形成“觀察圖形→借助中點(diǎn)添加輔助線構(gòu)造全等三角形→解決線段之間的數(shù)量關(guān)系”的研究路徑，在多個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)滲透轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，利用“希沃授課助手”等現(xiàn)代信息教育教學(xué)手段，幫助學(xué)生更好地合作交流.

3 教學(xué)過程

3.1 原題呈現(xiàn)，喚醒數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

筆者從課本中選擇了3道習(xí)題作為起始題：

1)課本第29頁(yè)“做一做”：如圖2，把兩根鋼條AA′，BB′的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的卡鉗，說明卡鉗的工作原理.

圖2 圖3 圖4

2)課本第31頁(yè)作業(yè)題第5題：如圖3，為了測(cè)出池塘A，B的距離，小紅在地面上選擇了點(diǎn)O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且點(diǎn)A，O，C和點(diǎn)B，O，D分別都在一條直線上.小紅認(rèn)為只要量出點(diǎn)D，C的距離，就能知道點(diǎn)A，B的距離.你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由.

3)課本第33頁(yè)作業(yè)題第3題：閱讀下面一段文字：

泰勒斯(Thales，約公元前625—前547年)是古希臘哲學(xué)家，相傳“兩個(gè)角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”就是由泰勒斯首先提出的.泰勒斯利用這個(gè)判定三角形全等的依據(jù)求出了岸上一點(diǎn)到海中一艘船的距離.

如圖4，A是觀察點(diǎn)，船P在A的正前方.過點(diǎn)A作AP的垂線l，在垂線l上截取任意長(zhǎng)AB，O是AB的中點(diǎn).觀測(cè)者從點(diǎn)B沿垂直于AB的BK方向走，直到點(diǎn)K、船P和點(diǎn)O在一條直線上，那么BK的距離即為船離岸的距離.請(qǐng)給出證明.

讓學(xué)生分析這3道題的圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有哪些共同特征.

問題1你認(rèn)為這3個(gè)圖形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有哪些共同特征呢？

師生活動(dòng)通過“原題呈現(xiàn)”的3個(gè)問題，讓學(xué)生回顧全等三角形的判定方法，結(jié)合條件尋找解決問題所采用的全等三角形的兩個(gè)判定方法，即邊角邊(SAS)、角邊角(ASA)；繼而教師引導(dǎo)學(xué)生深入觀察圖形并思考圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)的共同特征，提煉概括出點(diǎn)O分別是兩條不重疊線段的中點(diǎn).

教學(xué)分析“一題”，即“母題”，其選取是“一課”的關(guān)鍵所在,而起始題與母題有區(qū)別.根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，教師不可無視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，故在起始題的設(shè)計(jì)上，應(yīng)注意具備一定的基礎(chǔ)性，將已有的知識(shí)作為學(xué)生新知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在課程設(shè)計(jì)思路中明確指出:在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的教學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中經(jīng)歷第一次數(shù)學(xué)抽象，即抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而經(jīng)歷第二次抽象，分析圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征，分析條件和結(jié)論，找到解決問題的過程.此過程讓學(xué)生關(guān)注到上述3道習(xí)題中的圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征，積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)教學(xué)奠定基礎(chǔ).同時(shí)，呈現(xiàn)這些圖形的目的是將不可測(cè)的距離轉(zhuǎn)化為可測(cè)的線段長(zhǎng)度，滲透“轉(zhuǎn)化”思想，引出課題.

3.2 問題探究，提煉共性通法

問題2如圖5，已知AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).聯(lián)結(jié)AE，你能借助上面3個(gè)問題所積累的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，在該圖中構(gòu)造出與△ABE全等的三角形嗎？若能，請(qǐng)說說你是如何構(gòu)造的.

圖5 圖6 圖7

教學(xué)分析利用起始題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生構(gòu)造全等三角形提供思路：點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若構(gòu)造一個(gè)三角形與△ABE全等，則點(diǎn)E必是另一條線段的中點(diǎn)，故延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F，使得EF=AE，如圖6可利用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等.由于后面需證點(diǎn)F,C,D在同一條直線上，故引導(dǎo)學(xué)生思考更優(yōu)化的方法，即延長(zhǎng)AE與DC交于點(diǎn)F(如圖7)，借助平行線得角相等，可利用“ASA”或“AAS”判定兩個(gè)三角形全等.

借助中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形的方法展示和分享，師生共同歸納添加輔助線的作法.

追問1DF,AB,CD有什么關(guān)系？

教學(xué)分析通過構(gòu)造三角形全等，將線段AB轉(zhuǎn)化為線段CF，即DF=CF+CD=AB+CD，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

追問2DF與AD一定相等嗎？

追問3聯(lián)結(jié)DE，需添加什么條件，使DF=AD？此時(shí)，AD,AB,CD有什么關(guān)系？

教學(xué)分析證明兩條線段相等，可構(gòu)造兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.教師引導(dǎo)學(xué)生分析已有條件AE=EF，DE=DE(公共邊)，啟迪學(xué)生在已有兩邊對(duì)應(yīng)相等的情況下添加條件，使△ADE≌△FDE，從而自然地想到使兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等，即∠AED=∠FED或DE⊥AF.再次構(gòu)造三角形全等，將線段AD轉(zhuǎn)化為線段DF，即AD=DF=CF+CD=AB+CD.師生整理歸納解題方法，再次領(lǐng)悟問題2所蘊(yùn)涵的轉(zhuǎn)化思想.

3.3 互逆思維，追求觸類旁通

問題3如圖8，已知AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB+CD=AD.求證：AE⊥DE.

教學(xué)分析把結(jié)論與其中一個(gè)條件互換，讓學(xué)生自己嘗試?yán)锰砑虞o助線的方法，構(gòu)造全等三角形(SSS)，繼續(xù)滲透“轉(zhuǎn)化”思想.教師巡視學(xué)生解題過程的書寫，發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生采用“倍長(zhǎng)，聯(lián)結(jié)”的方法，卻未證明三點(diǎn)共線.

通過以上一個(gè)個(gè)問題串的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生能夠借助中點(diǎn)，掌握兩種添加輔助線的方法，構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段之間的轉(zhuǎn)化，從而解決3條線段之間的數(shù)量關(guān)系等問題.

圖8 圖9

3.4 拓展延伸，促進(jìn)思維生長(zhǎng)

問題4如圖9，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，試比較AB+AC與2AD的大小.

教學(xué)分析本節(jié)課從解決線段之間的等量關(guān)系拓展延伸到不等關(guān)系.該題源于浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)作業(yè)本上的一道習(xí)題.在講解時(shí)，很多學(xué)生一知半解.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以真正“知其然，且知其所以然，知何由以知其所以然”.

3.5 課堂小結(jié)，建構(gòu)方法序列

1)歸納總結(jié)，自我提升：學(xué)到了什么數(shù)學(xué)知識(shí)，體驗(yàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法，想進(jìn)一步研究的問題是…….教師總結(jié)本節(jié)課研究問題的基本路徑，展示思維導(dǎo)圖，使學(xué)生知識(shí)框架的建構(gòu)更具有整體性、連貫性和系統(tǒng)性，引導(dǎo)學(xué)生從整體宏觀的角度去思考問題，讓學(xué)生再次感悟數(shù)學(xué)思想方法等.

2)作業(yè)布置(略).

4 教學(xué)反思

4.1 喚醒解題經(jīng)驗(yàn)，讓思維發(fā)散

本節(jié)課先呈現(xiàn)課本上有關(guān)全等三角形的3個(gè)同類問題，喚醒學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).通過學(xué)生觀察、比較、分析、抽象歸納出圖形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征，尋找解決一類問題的共性通法，達(dá)成一葉知秋、層林盡染之效果.在問題設(shè)置環(huán)節(jié)，逐步遞進(jìn)，給予學(xué)生更多的時(shí)間思考“為何添加輔助線，為何要構(gòu)造三角形全等，如何借助中點(diǎn)添加輔助線，探索線段間的數(shù)量關(guān)系等”，形成一題多解、一題深思的學(xué)習(xí)狀態(tài)，有助于學(xué)生開闊思維視角，形成發(fā)散性思維，促進(jìn)學(xué)生的深度思考和智慧生成，提高對(duì)問題研究的深度和廣度，實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

4.2 思辨說題過程，讓思維可見

數(shù)學(xué)是思維的體操，如何讓學(xué)生的隱性思維顯性化，為此筆者對(duì)問題2～4均采用讓學(xué)生“說題”的方法，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體意識(shí)，展示了學(xué)生解決問題的思考過程、采用的思維方式、問題解決的策略及依據(jù)，使思維可見.經(jīng)過多位學(xué)生的不同“說題”和師生的梳理歸納，讓學(xué)生自我建構(gòu)起解決問題的一般路徑和方法.這種形式既有助于教師改變傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課講授模式，還可以培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力、邏輯思維能力、捕獲處理信息的能力及綜合運(yùn)用能力，樹立學(xué)生的批判性思維和解決問題的實(shí)踐能力，從而全面系統(tǒng)地復(fù)習(xí)全等三角形的性質(zhì)和判定，進(jìn)而落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).

4.3 拓寬研究視角，讓思維生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)知識(shí)并非孤立存在的，知識(shí)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系.問題4從解決線段之間的等量關(guān)系，拓寬延伸到不等關(guān)系，是學(xué)生前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)新知識(shí)的思維自然生長(zhǎng).本環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生能感知到方法的通用性和普適性，即遇見中點(diǎn)問題可以通過構(gòu)造全等三角形來證明線段間的和(差)相等或不等關(guān)系等，方法有“倍長(zhǎng)中線法”或“作平行線法”，這樣學(xué)生對(duì)本題的認(rèn)識(shí)就更全面、更系統(tǒng)，更能有效提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效果.