物體相對運動問題解答的“殺手锏”:速度—時間圖像
——兼談近年高考真題中的典例

梁偉民

(內(nèi)蒙古錫林浩特市第六中學)

在高中物理力學部分學習中,大家經(jīng)常遇到物體相對運動問題.相對運動問題在中學物理教學中的特殊地位決定了它既是教學中的重點、難點,又是高考考查的熱點.本文結合模型典例給出問題解決的方法.下面對常見模型給予歸類,供大家參考.

1 追擊、避免碰撞類模型

例1 一汽車在直線公路段上以54km·h－1的速度勻速行駛,突然發(fā)現(xiàn)在其正前方14 m 處有一輛自行車以5m·s－1的速度同向勻速行駛.經(jīng)過0.4s的反應時間后,司機開始剎車.

(1)為了避免相撞,汽車的加速度大小至少為多少?

(2)若汽車剎車時的加速度為4 m·s－2,在汽車開始剎車的同時自行車開始以一定的加速度做勻加速運動,則自行車的加速度至少為多大才能保證兩車不相撞?

(1)設0.4s反應時間后,再經(jīng)Δt時間汽車減速到自行車速度,此時兩車剛好接觸,該過程即為避免相撞的汽車加速度最小值,v-t圖像如圖1所示.

圖1

由v-t圖像得兩車位移大小關系,汽車加速度大小計算式如下:

由式①②聯(lián)立解得amin＝5m·s－2.

(2)設0.4s反應時間后,再經(jīng)Δt′時間汽車減速到與自行車加速后的速度相等,汽車速度vt＝v0＋at＝15m·s－1－4 m·s－2·Δt′,此時兩車剛好相遇,該過程即為避免二者相撞的臨界情況,二者v-t圖像如圖2所示.

圖2

由v-t圖像得兩車位移大小關系,自行車加速度大小計算式為

本題解答關鍵是畫出兩車運動的v-t圖像,利用圖像與坐標軸圍成圖形面積的物理意義,抓住解決此類問題的兩個關系(位移、時間關系)和一個條件(速度相等),列算式求解.本題也可用直線運動公式求解,有多種解法,但均不如v-t圖像法簡潔、清晰且方便計算.

2 板塊模型

例2如圖3所示,光滑水平面上有一質(zhì)量為m的長木板,木板上有一質(zhì)量為m的滑塊,滑塊的初位置到木板右端的距離為L,整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài).某時刻滑塊獲得一水平向右的初速度v0,滑塊到達木板右端時剛好與木板共速,此時再用錘子向左敲擊一下滑塊,使滑塊瞬間以v0的速率反向,滑塊最終與木板共速.重力加速度為g.求:

圖3

(1)滑塊與木板間的動摩擦因數(shù);

(2)滑塊最終與木板相對靜止處到木板右端的距離.

(1)對滑塊向右運動到與木板共速過程,由牛頓第二定律得滑塊加速度大小a＝μg,由動量守恒定律得,二者v-t圖像如圖4所示.由v-t圖像得位移大小關系為v0＝L,整理得

圖4

圖5

3 子彈打物塊模型

例3如圖6所示,子彈水平射入放在光滑水平地面上靜止的物塊,子彈未穿透物塊,子彈和物塊間作用力恒為F,此過程物塊的動能增加了6J,那么此過程產(chǎn)生的內(nèi)能可能為( ).

圖6

A.16J B.2J C.6J D.4J

子彈射入物塊過程,對二者運動性質(zhì)定性分析,畫出二者大致的v-t圖像如圖7所示.由v-t圖像分析得△OBC、△OAB的面積分別等于物塊位移和二者相對位移的大小,對物塊、子彈和物塊組成的系統(tǒng)分別由動能定理、能量守恒列方程得Fx△OBC＝6J,＞Fx△OBC,可得Q熱＝＞6J,故選A.

圖7

本題借助作用過程畫出的v-t圖像,定性對比出圖像中相關面積大小,再利用動能定理、能量守恒定律列式分析得出選項,既降低了題目難度,又加快了解題速度.

4 傳送帶模型

例4如圖8所示,一皮帶輸送機的皮帶以v＝10m·s－1的速率逆時針勻速轉(zhuǎn)動,其輸送距離AB＝29m,與水平方向夾角為θ＝37°.在傳送帶上端A無初速度地放一個質(zhì)量m＝0.5kg的黑色煤塊,它與皮帶間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5.煤塊在傳送帶上經(jīng)過會留下黑色劃痕.已知sin37°＝0.6,cos37°＝0.8,g取10m·s－2.

圖8

(1)煤塊從A到B的時間t;

(2)煤塊從A到B過程中在傳送帶上留下的劃痕長度s.

(1)對煤塊下滑到與皮帶共速前后過程,分別由牛頓第二定律 得a1＝10 m·s－2,a2＝2m·s－2.設共速時間為t0,由運動學公式得共速時間t0＝1s,煤塊最終速率vt＝10m·s－1＋a2Δt,此過程v-t圖像如圖9所示.由v-t圖像得煤塊位移大小與輸送距離相等,有×(v＋v＋a2Δt)Δt＝lAB,解得Δt＝2s,故煤塊從A到B的時間t＝t0＋Δt＝3s.

圖9

(2)在煤塊v-t圖像上,畫出該時段的皮帶v-t圖像如圖10所示.由圖像分析得三角形面積①為第1s內(nèi)發(fā)生的相對位移大小(即相對地面皮帶比煤塊多發(fā)生的位移,也是皮帶上的劃痕長度),則有

圖10

三角形面積②為Δt時間內(nèi)發(fā)生的相對位移大小(即相對地面煤塊比皮帶多發(fā)生的位移),有

劃痕Δx2與Δx1重疊,故劃痕總長s＝5m.

本題解答的關鍵是分析出物塊加速到與皮帶共速后的運動性質(zhì),作出物塊下滑全程v-t圖像,憑借圖像與坐標軸圍成圖形面積的物理意義,列式求解第(1)問.第(2)問求解劃痕長度易錯在認為是兩段相對位移之和,而忽略物體實際發(fā)生相對運動情形,該問對學生分析能力要求較高.

5 高考真題典例

例5(2015年全國卷)下暴雨時,有時會發(fā)生山體滑坡或泥石流等地質(zhì)災害.某地有一傾角為θ＝37°(sin37°＝的山坡C,上面有一質(zhì)量為m的石板B,其上下表面與斜坡平行;B上有一碎石堆A(含有大量泥土),A和B均處于靜止狀態(tài),如圖11所示.假設某次暴雨中,A浸透雨水后總質(zhì)量也為m(可視為質(zhì)量不變的滑塊),在極短時間內(nèi),A、B間的動摩擦因數(shù)μ1減小為3/8,B、C間的動摩擦因數(shù)μ2減小為0.5,A、B開始運動,此時刻為計時起點;在第2秒末,B的上表面突然變?yōu)楣饣?μ2保持不變.已知A開始運動時,A離B下邊緣的距離l＝27m,C足夠長,設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度大小g取10m·s－2,求:

圖11

(1)在0～2s時間內(nèi)A和B加速度的大小;

(2)A在B上總的運動時間.

(1)在0～2s時間內(nèi),分別對A、B由牛頓第二定律得

由式①②解得aA＝3m·s－2,aB＝1m·s－2.

(2)B的上表面變?yōu)楣饣?分別對A、B由牛頓第二定律得＝gsinθ＝6 m·s－2＝gsinθ－2μ2gcosθ＝－2m·s－2.對A、B發(fā)生相對滑動過程分析知3秒末,B靜止,此后A的加速度大小不變,仍相對B繼續(xù)下滑,設相對下滑時間為Δt.畫出A在B上發(fā)生相對滑動過程中二者的v-t圖像如圖12所示.

圖12

由二者v-t圖像與橫軸圍成圖形面積分析得相對位移大小為

解得Δt＝1s,故t總＝4s.

本題為多物體多過程的相對運動問題,若運用牛頓第二定律、運動學公式聯(lián)立求解及分析判斷,不但書寫復雜且計算易錯,而采用定性分析、半定量分析及v-t圖像結合作答,解題速度和準確率就會大大提升.

例6(2020年全國Ⅱ卷)如圖13所示,一豎直圓管質(zhì)量為M,下端距水平地面的高度為H,頂端塞有一質(zhì)量為m的小球.圓管由靜止自由下落,與地面發(fā)生多次彈性碰撞,且每次碰撞時間均極短;在運動過程中,管始終保持豎直.已知M＝4m,球和管之間的滑動摩擦力大小為4mg,g為重力加速度的大小,不計空氣阻力.

圖13

(1)求管第一次與地面碰撞后的瞬間,管和球各自的加速度大小;

(2)管第一次落地彈起后,在上升過程中球沒有從管中滑出,求管上升的最大高度;

(3)管第二次落地彈起的上升過程中,球仍沒有從管中滑出,求圓管長度應滿足的條件.

(1)管第一次落地彈起的瞬間,設管的加速度大小為a1,方向向下;球的加速度大小為a2,方向向上,對二者由牛頓運動定律有Mg＋4mg＝Ma1,4mg－mg＝ma2,聯(lián)立上式得a1＝2g,a2＝3g.

(2)管第一次落地彈起到二者共速過程,二者加速度即為(1)問結果,對二者由運動學公式得v共＝,方向向上;經(jīng)歷時間t1＝

對二者共速到管上升到最大高度過程分析得a共＝g,方向向下.設向上為正方向,二者運動過程v-t圖像如圖14所示.由管的v-t圖像與橫軸圍成圖形面積得上升最大高度H1＝.

圖14

(3)由問題(2)畫出的v-t圖像分析得二者相對位移大小x1＝H.同理,對管第二次落地彈起到二者共速過程畫出v-t圖像,由相似知識得相對位移大小x2＝.設圓管長度為L,管第二次落地彈起后的上升過程中,球不會滑出管外的條件是x1＋x2≤L,聯(lián)立以上各式得L≥

本題第(2)問、第(3)問均采用了定性與半定量計算結合畫出二者v-t圖像,根據(jù)v-t圖像的物理意義及相似知識得出圓管第一次落地彈起后上升的最大高度及兩次二者相對位移大小,再根據(jù)題意列式得出結果.利用v-t圖像解題,既降低了解題難度,又避免了多體多過程復雜書寫過程,快速得出結果.

通過以上例子不難看出,利用速度—時間圖像法解答物體相對運動問題,關鍵是畫出圖像.首先根據(jù)問題中涉及的物理過程作出定性分析、半定量運算、隱含條件挖掘及分析判斷等,作出相應圖像,然后應用圖像解題.利用速度—時間圖像解題,不僅直觀、形象及動態(tài)變化清晰,還可以恰當?shù)卣宫F(xiàn)用語言難以表達的內(nèi)涵,從而優(yōu)化解題過程,降低解題難度,避免復雜的書寫過程和運算,但解題過程仍離不開有關物理知識的靈活應用,這既是數(shù)形結合,也是數(shù)理結合,具有一定的綜合性和技巧性.學生在平時學習中要有意識地利用速度—時間圖像法來處理相關問題,這對培養(yǎng)自身理解能力、推理能力、應用數(shù)學能力等,提高自身的學科素養(yǎng),啟迪思維,觸發(fā)靈感都是十分有益的.

(完)