巧用假設(shè)法 妙解復(fù)雜題

劉振和 劉卓安

(1.陜西省寶雞中學(xué) 2.寶雞市長(zhǎng)嶺中學(xué))

達(dá)爾文說(shuō)過(guò):“最有價(jià)值的知識(shí)是關(guān)于方法的知識(shí).”物理知識(shí)含有豐富的方法資源.在物理學(xué)習(xí)過(guò)程中,提煉、積累和運(yùn)用物理方法,對(duì)于深刻理解概念和規(guī)律,培養(yǎng)科學(xué)思維能力,激發(fā)科學(xué)探究意識(shí)有著不可替代的作用.假設(shè)法就是一種常見(jiàn)的重要方法.假設(shè)法的應(yīng)用前提是對(duì)概念和規(guī)律的深刻理解和具體問(wèn)題條件的準(zhǔn)確把握,據(jù)此對(duì)物理狀態(tài)、物理過(guò)程、物理趨勢(shì)或者一些物理量作出一定的假設(shè),然后展開(kāi)進(jìn)一步分析推理和探索論證,最終解決問(wèn)題.假設(shè)法為探索復(fù)雜問(wèn)題提供了一種可能的思路,是解決一些疑難問(wèn)題的有效途徑,可以起到常規(guī)方法無(wú)法替代的作用.

1 假設(shè)一種相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

例1如圖1所示,質(zhì)量為10kg的物體A拴在一個(gè)被水平拉伸的彈簧一端,彈簧的拉力為5N 時(shí),物體A處于靜止?fàn)顟B(tài).若小車(chē)以1m·s－2的加速度向右運(yùn)動(dòng)后,則(g取10 m·s－2)( ).

圖1

A.物體A相對(duì)小車(chē)向右運(yùn)動(dòng)

B.物體A受到的摩擦力減小

C.物體A受到的摩擦力大小不變

D.物體A受到的彈簧拉力增大

由題意知,彈簧的拉力F彈＝5N 時(shí),物體A處于靜止?fàn)顟B(tài),則由Ff1＝F彈可知物體A受到小車(chē)的靜摩擦力Ff1大小為5N,方向水平向左,而且可知物體A與小車(chē)間的最大靜摩擦力Ffm≥5N.若小車(chē)以1m·s－2的加速度向右運(yùn)動(dòng),假設(shè)物體A隨小車(chē)一起向右加速而不相對(duì)滑動(dòng),另假設(shè)物體A受到小車(chē)對(duì)其向右的靜摩擦力Ff2,對(duì)物體A由牛頓第二定律有Ff2＋F彈＝ma,則可以算出此時(shí)小車(chē)對(duì)物體A的摩擦力Ff2＝5N＞0,說(shuō)明該摩擦力大小為5N,方向向右.由于Ff2＝5N≤Fm,沒(méi)有超過(guò)最大靜摩擦力,所以A與小車(chē)間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng),此前假設(shè)A與小車(chē)不相對(duì)滑動(dòng)成立,可以確定彈簧拉力大小、方向不變,故選項(xiàng)A、B、D 錯(cuò)誤,選項(xiàng)C正確.本題答案選C.

當(dāng)幾個(gè)物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況不確定時(shí),可以假設(shè)一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分析推理,進(jìn)而判斷假設(shè)的正確性,得到物體實(shí)際的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).本題還有一個(gè)假設(shè)點(diǎn),即假設(shè)了物體受到的靜摩擦力的大小和方向,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程算出靜摩擦力的值,從而得到靜摩擦力真實(shí)的大小和方向,這也是求解靜摩擦力、微小形變彈力等不易直接分析的力的重要方法.

2 假設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)形式

例2如圖2所示,一長(zhǎng)L＝2m、質(zhì)量M＝4kg的薄木板(厚度不計(jì))靜止在粗糙的水平臺(tái)面上,其右端距平臺(tái)邊緣l＝5 m,木板的正中央放有一質(zhì)量為m＝1kg的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),已知木板與平臺(tái)、物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ1＝0.4.現(xiàn)對(duì)木板施加一水平向右的恒力F,其大小為48N,g取10m·s－2,求:

圖2

(1)F作用1.2s 時(shí),木板右端與平臺(tái)邊緣的距離;

(2)要使物塊最終不能從平臺(tái)上滑出去,物塊與平臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2應(yīng)滿足的條件.

(1)力F作用后,假設(shè)物塊與木板會(huì)相對(duì)滑動(dòng),它們均做勻加速運(yùn)動(dòng),但加速度不同.由牛頓第二定律,對(duì)木板有

可解得a1＝6m·s－2.

對(duì)物塊有μ1mg＝ma2,可解得a2＝4m·s－2.

由于a1＞a2,故假設(shè)成立.

設(shè)F作用t時(shí)間后,物塊恰好從木板左端滑離,則,可解得t＝1s.

在此過(guò)程中木板對(duì)地位移x1＝＝3 m,末速度v1＝a1t＝6 m·s－1.物塊對(duì)地位移x2＝＝2m,末速度v2＝a2t＝4m·s－1.

在物塊從木板上滑落后的Δt＝(1.2－1)s＝0.2s時(shí)間內(nèi),對(duì)木板由牛頓第二定律得F－μ1Mg＝,可解得＝8m·s－2.

木板發(fā)生的位移＝v1Δt＋＝1.36m.此時(shí)木板右端距平臺(tái)邊緣Δx＝l－x1－＝0.64m.

(2)物塊滑至平臺(tái)后,做勻減速直線運(yùn)動(dòng),假設(shè)物塊與平臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ20時(shí),物塊恰好不能從平臺(tái)上滑出去,對(duì)物塊由牛頓第二定律有μ20mg＝,解得＝μ20g.

要使物塊最終不能從平臺(tái)上滑出去,物塊與平臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2應(yīng)滿足的條件為μ2≥μ20＝0.2,即μ2≥0.2.

有時(shí)物體運(yùn)動(dòng)情況是難以直接判斷的,特別是復(fù)雜受力下物體運(yùn)動(dòng)情況的判斷更是一個(gè)艱難的過(guò)程,而假設(shè)物體運(yùn)動(dòng)情況可以為我們展開(kāi)研究推理提供一個(gè)方向和途徑,使我們得以在此基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的分析和計(jì)算,從而推斷我們假設(shè)的科學(xué)性,促進(jìn)問(wèn)題的解決.

3 假設(shè)力所做的功

例3如圖3所示,長(zhǎng)直輕桿兩端分別固定小球A和B,兩球質(zhì)量均為m,兩球半徑忽略不計(jì),桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng).先將桿AB豎直靠放在豎直墻上,輕輕撥動(dòng)小球B,使小球B在水平面上由靜止開(kāi)始向右滑動(dòng),當(dāng)小球A沿墻下滑距離為時(shí),下列說(shuō)法正確的是(不計(jì)一切摩擦,重力加速度為g)( ).

圖3

桿對(duì)小球的作用力往往是比較復(fù)雜的,方向可能沿桿也可能不沿桿,可能對(duì)小球做功也可能不做功,做功的正負(fù)也不易直接判斷,我們用假設(shè)法給出一種可能的情況,利用機(jī)械能守恒、動(dòng)能定理等規(guī)律進(jìn)行推理計(jì)算,得出功的大小和正負(fù),從而確定桿的彈力是否做功及功的正負(fù).

4 假設(shè)一個(gè)中介物體

例4如圖4所示,內(nèi)壁光滑、水平放置的玻璃圓環(huán)內(nèi),有一直徑略小于圓環(huán)環(huán)寬的帶正電的小球,以速率v0沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)(俯視),若在此空間突然加上方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間成正比例增加的變化磁場(chǎng),且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球帶電荷量不變,那么( ).

圖4

A.小球?qū)ΣＡA環(huán)的壓力一定不斷增大

B.小球所受的磁場(chǎng)力一定不斷增大

C.小球先沿逆時(shí)針?lè)较驕p速運(yùn)動(dòng),過(guò)一段時(shí)間后沿順時(shí)針?lè)较蚣铀龠\(yùn)動(dòng)

D.磁場(chǎng)力對(duì)小球一直不做功

本題需要判斷感生電場(chǎng)(渦旋電場(chǎng))方向,可以假設(shè)在空間存在一個(gè)垂直于磁場(chǎng)的閉合回路,當(dāng)磁場(chǎng)增強(qiáng)時(shí),閉合回路中的向上的磁通量增加,根據(jù)楞次定律,感應(yīng)電流的磁場(chǎng)方向向下,用安培定則可以判斷感應(yīng)電流的方向從上往下看是順時(shí)針?lè)较?這個(gè)方向也就是感生電場(chǎng)的方向.順時(shí)針?lè)较虻臏u旋電場(chǎng)對(duì)小球的電場(chǎng)力先對(duì)小球做負(fù)功使其速度減為零,后對(duì)小球做正功,使其沿順時(shí)針?lè)较蜃黾铀龠\(yùn)動(dòng),故選項(xiàng)C 正確;磁場(chǎng)力始終與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直,因此始終對(duì)小球不做功,故選項(xiàng)D 正確;小球在水平面內(nèi)沿半徑方向受兩個(gè)力作用:玻璃圓環(huán)的彈力FN和磁場(chǎng)的洛倫茲力F,合力充當(dāng)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,其中F＝qvB,磁場(chǎng)在增強(qiáng),小球速度先減小后增大,所以洛倫茲力不一定總在增大,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;向心力F向＝,其大小隨速度先減小后增大,因此擠壓力FN不是始終增大,故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤.本題答案選C、D.

有些物理過(guò)程分析起來(lái)思維跨度較大,可以假設(shè)一個(gè)中介物體,借此進(jìn)行研究,這樣可以大大減小思維梯度.對(duì)感生電場(chǎng)方向的判斷,從方法上講可以用楞次定律直接判斷,但是由于空間往往沒(méi)有閉合回路,沒(méi)有感應(yīng)電流,直接用楞次定律判斷感生電場(chǎng)的方向思維跨度較大,不易掌握.所以假設(shè)一個(gè)閉合回路,可以比較容易地使用楞次定律判斷其中的感應(yīng)電流方向,這個(gè)方向也就是感生電場(chǎng)的方向.

5 假設(shè)一個(gè)變化過(guò)程

例5如圖5所示,D是一只理想二極管,電流只能從a流向b,而不能從b流向a.平行板電容器的A、B兩極板間有一電荷,在P點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài).以E表示兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度,U表示兩極板間的電壓,Ep表示電荷在P點(diǎn)的電勢(shì)能.若保持極板B不動(dòng),將極板A稍向上平移,則下列說(shuō)法正確的是( ).

圖5

A.E變小 B.Ep不變

C.U變大 D.電荷將向上加速

保持極板B不動(dòng),將極板A稍向上平移時(shí)電容器的電容會(huì)減小.若假設(shè)電容器帶電荷量不變,電容器經(jīng)歷一個(gè)等電量動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,由Q＝UC可知兩板間電壓增大,這時(shí)的電容器相當(dāng)于一個(gè)電源,其兩端電壓大于題中電池電動(dòng)勢(shì),所以電路中二極管反接,處于斷路狀態(tài).說(shuō)明電容器的放電電路是斷開(kāi)的,電容器電荷量不變的假設(shè)是正確的,故選項(xiàng)C正確.由說(shuō)明電容器電荷量不變的情況下,場(chǎng)強(qiáng)與板間距離無(wú)關(guān),不發(fā)生變化,故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤;電荷受到的電場(chǎng)力、重力均不變,電荷仍受力平衡,不運(yùn)動(dòng),選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.P點(diǎn)的電勢(shì)φP＝UPB＝EdPB恒定不變,說(shuō)明電荷在P點(diǎn)的電勢(shì)能Ep＝qφP保持不變,選項(xiàng)B 正確.本題答案選B、C.

本題也可以先假設(shè)電容器兩板電壓不變,經(jīng)歷一個(gè)等電壓變化過(guò)程.若保持極板B不動(dòng),將極板A稍向上平移,電容器的電容減小,由Q＝UC可知電容器帶電荷量減小,電容器要放電.由于二極管的存在,電容器放電時(shí)電流要從右向左通過(guò)二極管,二極管是反接的,即電容器放電電路被切斷,不會(huì)放電,其電荷量保持不變.假設(shè)及推理明確電容器電荷量不變后的動(dòng)態(tài)分析與前述分析過(guò)程一樣,可使問(wèn)題得以解答.

本題由于存在二極管,電容器的動(dòng)態(tài)變化到底是保持電荷量不變還是保持電壓不變,需要作分析判斷,可以假設(shè)其經(jīng)歷一個(gè)電荷量不變或電壓不變的過(guò)程,利用平行板電容器電容變化規(guī)律、二極管特點(diǎn)和電路規(guī)律,綜合分析判斷,確定實(shí)際到底是怎樣的過(guò)程.

6 假設(shè)最終穩(wěn)定狀態(tài)

例6如圖6所示,蹄形磁鐵和矩形線圈均可繞豎直軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng).從上向下看,當(dāng)蹄形磁鐵在外力作用下逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),則( ).

圖6

A.線圈將逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)速與磁鐵相同

B.線圈將逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)速比磁鐵小

C.線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)將產(chǎn)生感應(yīng)電流

D.線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)感應(yīng)電流的方向始終是abcda

當(dāng)蹄形磁鐵在外力作用下逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),線圈中由于存在電磁感應(yīng)產(chǎn)生感應(yīng)電流,感應(yīng)電流的安培力作用是阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng),所以線圈也隨之逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后,假設(shè)線圈轉(zhuǎn)速與磁鐵相同,則線圈中磁通量就不再變化,線圈中就沒(méi)有感應(yīng)電流,就沒(méi)有安培力充當(dāng)動(dòng)力克服線圈所受阻力,從而支持它持續(xù)運(yùn)動(dòng),該假設(shè)錯(cuò)誤;假設(shè)線圈比磁鐵轉(zhuǎn)動(dòng)得快,則違背了能量守恒定律;假設(shè)線圈達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)速比磁鐵轉(zhuǎn)速小,則線圈與磁鐵之間始終有相對(duì)運(yùn)動(dòng),線圈中磁通量會(huì)發(fā)生變化(有的時(shí)段增大,有的時(shí)段減小),有感應(yīng)電流,方向有時(shí)為abcda,有時(shí)為adcba,但所受安培力總是阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng),提供動(dòng)力使線圈持續(xù)運(yùn)動(dòng),所以該假設(shè)是正確的.故選項(xiàng)A、D 錯(cuò)誤.答案為B、C.

許多復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的最終穩(wěn)定狀態(tài)用一般方法分析是困難的,假設(shè)法可以跳出常規(guī)思維模式,擺脫常規(guī)的分析思路束縛,假設(shè)出一些結(jié)論,然后依據(jù)相關(guān)物理規(guī)律進(jìn)行必要的分析推理,從而可以快速、簡(jiǎn)捷地確定運(yùn)動(dòng)的最終穩(wěn)定狀態(tài).

同學(xué)們,深入挖掘物理知識(shí)中的方法資源,巧妙使用假設(shè)法等物理方法,可以使物理學(xué)習(xí)更高效,使物理問(wèn)題的解決更靈活、更快捷.

鏈接練習(xí)

1.如圖7所示,傾角為θ的斜面上放置一滑塊M,在滑塊M上放置一個(gè)質(zhì)量為m的物塊,滑塊M和物塊m相對(duì)靜止,一起沿斜面勻速下滑,下列說(shuō)法正確的是( ).

圖7

A.圖甲中物塊m受到摩擦力

B.圖乙中物塊m受到摩擦力

C.圖甲中物塊m受到水平向左的摩擦力

D.圖乙中物塊m受到與斜面平行向上的摩擦力

2.如圖8所示,A、B兩物體疊放在水平地面上,A物體質(zhì)量m＝20 kg,B物體質(zhì)量M＝30kg.處于水平位置的輕彈簧一端固定于墻壁,另一端與A物體相連,輕彈簧處于自然狀態(tài),其勁度系數(shù)為250N·m－1,A與B之間、B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝0.5.現(xiàn)用一水平推力F作用于物體B上使B緩慢地向墻壁移動(dòng),當(dāng)移動(dòng)0.2m 時(shí),水平推力F的大小為(已知A、B之間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,g取10m·s－2)( ).

圖8

A.350N B.300N C.250N D.200N

3.如 圖9 所 示,甲、乙兩車(chē)在比賽車(chē)道上比賽,某一時(shí)刻,乙車(chē)在甲車(chē)前方L1＝11 m處,乙車(chē)速度v乙＝60 m·s－1,甲車(chē)速度v甲＝50 m·s－1,此時(shí)乙車(chē)離終點(diǎn)線尚有L2＝600m.若甲車(chē)加速運(yùn)動(dòng),加速度a＝2m·s－2,乙車(chē)速度不變,不計(jì)車(chē)長(zhǎng).則

圖9

(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙兩賽車(chē)間距離最大,最大距離是多少?

(2)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)甲車(chē)能否追上乙車(chē)?

鏈接練習(xí)參考答案

1.B、D.2.B.3.(1)5s,36m;(2)不能.

(完)