斯蒂爾杰斯矩量問題產(chǎn)生探源

李 威 曲安京

(1.西北大學(xué)科學(xué)史高等研究院，西安 710127； 2.西安財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，西安 710100)

矩量問題理論起源于連分?jǐn)?shù)，它對概率論、算子理論和矩陣論等理論的交叉融合有重要作用。斯蒂爾杰斯矩量問題是矩量問題的開始，對其產(chǎn)生的歷史過程進行研究，有助于我們理解矩量問題理論整體發(fā)展脈絡(luò)，促使我們用全局化視野考量矩量問題在數(shù)學(xué)統(tǒng)一化發(fā)展過程中的作用。目前已有文獻對矩量問題的某些片段做出一些研究?？巳R茵(Morris Kline，1908—1992)在《古今數(shù)學(xué)思想》中指出：為了表示一個解析函數(shù)序列的極限，斯蒂爾杰斯(Thomas Jan Stieltjes，1856—1894)引入了斯蒂爾杰斯積分，這是積分概念的第一次擴充[1]；筆者對里斯(Friedrich Riesz，1880—1956)在不同函數(shù)集中的矩量問題進行研究，找出了連續(xù)函數(shù)集和勒貝格平方可積函數(shù)集之間的區(qū)別和聯(lián)系，這是矩量問題在分析學(xué)中的一個應(yīng)用[2]；著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家迪厄多內(nèi)(Jean Dieudonné，1906—1992)和皮埃奇(Albrecht Pietsch)對里斯處理矩量問題的方法給予了細致的論述，指出矩量問題與哈恩-巴拿赫定理之間的聯(lián)系[3，4]?？私苌?Tinne Hoff Kjeldsen)通過介紹矩量問題的發(fā)展歷程，對矩量問題與連分?jǐn)?shù)的分析理論之間的關(guān)系進行介紹，重點剖析了矩量問題脫離連分?jǐn)?shù)理論的原因[5]。

近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史的研究，可以從以前大家熟悉的關(guān)注歷史上的數(shù)學(xué)成就“是什么”和“如何做”的視角，擴張到“為什么數(shù)學(xué)”的研究范式中來[6]。值得注意的是，基于“為什么數(shù)學(xué)”的研究方法，國內(nèi)的近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究工作者，已經(jīng)從原始文獻著手，提出并解決了一些具體的“真問題”[7—12]。

本文從數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部規(guī)律及思想傳承出發(fā)，發(fā)現(xiàn)一些問題，如：連分?jǐn)?shù)與斯蒂爾杰斯積分及矩量問題之間的思想傳承是什么；連分?jǐn)?shù)理論是如何脫離矩量問題的；斯蒂爾杰斯積分的概念是基于什么樣的背景提出的，它的出現(xiàn)對矩量問題的產(chǎn)生有何推動作用。鑒于此，本文從原始文獻和研究文獻出發(fā)，詳細探尋了斯蒂爾杰斯矩量問題的內(nèi)部發(fā)展規(guī)律，并試圖回答上述問題，以期得到一些有意義的結(jié)果。

1 斯蒂爾杰斯連分?jǐn)?shù)理論

矩量問題的起源可以追溯到連分?jǐn)?shù)收斂的一些問題，斯蒂爾杰斯運用前人的研究結(jié)果，探討連分?jǐn)?shù)與發(fā)散級數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)正實數(shù)集上的矩量問題與黎曼積分的不適用性，這促使了斯蒂爾杰斯對黎曼積分的首次推廣。斯蒂爾杰斯對連分?jǐn)?shù)和發(fā)散級數(shù)之間關(guān)系的證明，是推動其構(gòu)建斯蒂爾杰斯積分和矩量問題的動因。

1.1 斯蒂爾杰斯對連分?jǐn)?shù)理論探究的動因

要了解斯蒂爾杰斯的矩量問題，首先要探討他的連分?jǐn)?shù)理論，該問題與發(fā)散級數(shù)有關(guān)。1821年，柯西(Augustin Louis Cauchy，1789—1857)認(rèn)為發(fā)散級數(shù)的和是無法表述的，當(dāng)時的數(shù)學(xué)家對發(fā)散級數(shù)的研究格外小心[13]。但是，在物理學(xué)，特別是天體力學(xué)中，發(fā)散級數(shù)的應(yīng)用卻非常廣泛，這一奇怪現(xiàn)象促使一些數(shù)學(xué)家對發(fā)散級數(shù)產(chǎn)生了濃厚興趣，斯蒂爾杰斯便是其中之一。

斯蒂爾杰斯的科學(xué)研究生涯始于荷蘭萊頓天文臺，他非常熟悉發(fā)散級數(shù)在天體力學(xué)中的應(yīng)用，為此他還對發(fā)散級數(shù)的用法做了總結(jié)，并于1886年以篇名《關(guān)于一些半收斂級數(shù)的研究》發(fā)表[14]。對發(fā)散級數(shù)的研究，使他了解到發(fā)散級數(shù)可以轉(zhuǎn)換為連分?jǐn)?shù)，這是他對連分?jǐn)?shù)理論產(chǎn)生興趣的原因。對此，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler，1707—1783)在早前也給予說明，他指出：

發(fā)散級數(shù)可以轉(zhuǎn)換為連分?jǐn)?shù)，反之亦然。([15]，頁74)

可以看出，斯蒂爾杰斯將研究內(nèi)容從發(fā)散級數(shù)延拓到連分?jǐn)?shù)理論是數(shù)學(xué)發(fā)展的自然導(dǎo)向。與此同時，數(shù)學(xué)家拉蓋爾(Edmond Nicolas Laguerre，1834—1886)證明：

在極限條件下，連分?jǐn)?shù)問題與積分問題可以相互轉(zhuǎn)化。[16]

沿著這一思路，斯蒂爾杰斯從由積分生成的無窮級數(shù)開始，利用矩量問題，將其與連分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來。從這一過程可知，對發(fā)散級數(shù)的研究，是斯蒂爾杰斯研究連分?jǐn)?shù)理論和矩量問題的一個誘因。下面是斯蒂爾杰斯的具體做法。

1.2 斯蒂爾杰斯連分?jǐn)?shù)理論

1889年，斯蒂爾杰斯寫信給埃爾米特(Charles Hermite，1822—1901)說：“我總是想到連分?jǐn)?shù)?！?[17]，頁191)一個月后，他又表明：“連分?jǐn)?shù)仍然困惑著我?！?[17]，頁215)斯蒂爾杰斯與埃爾米特的通信內(nèi)容反映出，1889年他就已經(jīng)開始研究連分?jǐn)?shù)。

從上面的表述可以知道，連分?jǐn)?shù)的斂散性取決于該連分?jǐn)?shù)的系數(shù)級數(shù)的斂散性，這就可以將研究連分?jǐn)?shù)斂散性的問題轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的系數(shù)級數(shù)的斂散性問題。

為了證明上面的結(jié)論，斯蒂爾杰斯首先利用“斯蒂爾杰斯-維塔利”定理并證明，對于任意的正實數(shù)z，連分?jǐn)?shù)的偶次漸近分?jǐn)?shù)和奇次漸近分?jǐn)?shù)將分別收斂于解析函數(shù)F(z)和F1(z)。關(guān)于“斯蒂爾杰斯-維塔利”定理，斯蒂爾杰斯描述如下：

根據(jù)我的定理容易得出如下結(jié)論，除負半軸之外，在整個實數(shù)軸上，連分?jǐn)?shù)S(z)收斂。這是我尋求了很長時間的重要理論改進。([17]，頁399)

此時，斯蒂爾杰斯遇到了不確定矩量問題。當(dāng)時，他并沒有立即給出矩量問題的概念，利用黎曼積分對其進行定義也是不恰當(dāng)?shù)?。但此時，他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致矩量問題產(chǎn)生的關(guān)鍵問題。

斯蒂爾杰斯通過構(gòu)建連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)來研究連分?jǐn)?shù)與發(fā)散級數(shù)之間的關(guān)系，由于連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)可以擴展為無窮冪級數(shù)，進而可以將連分?jǐn)?shù)的斂散性問題與無窮冪級數(shù)建立聯(lián)系。利用“斯蒂爾杰斯-維塔利”定理可以證明連分?jǐn)?shù)的奇次漸近分?jǐn)?shù)和偶次漸近分?jǐn)?shù)分別收斂于兩個極限函數(shù)，在求解這兩個極限函數(shù)的積分表達式的過程中會出現(xiàn)兩個不相等的正值函數(shù)其“矩量問題”相等，并且這兩個極限函數(shù)用黎曼積分來表達存在錯誤。這兩個發(fā)現(xiàn)是斯蒂爾杰斯推廣黎曼積分和探究矩量問題的誘因。斯蒂爾杰斯積分的產(chǎn)生過程如下。

2 斯蒂爾杰斯積分的產(chǎn)生

斯蒂爾杰斯很好地理解連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)及其漸近分?jǐn)?shù)的極限形式之后，這部分內(nèi)容也順理成章地成為其研究的要點。除實數(shù)的負半軸之外，斯蒂爾杰斯利用“斯蒂爾杰斯-維塔利”定理，證明了連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)的收斂性，并給出其極限的解析形式。但由于黎曼積分的局限性，他在找出F(z)和F1(z)的解析形式時出現(xiàn)錯誤。為解決這個問題，斯蒂爾杰斯將黎曼積分的概念進行了擴展，這是斯蒂爾杰斯積分產(chǎn)生的原因。

2.1 斯蒂爾杰斯的錯誤

你是一個很棒的幾何學(xué)家，你向我傳達的有關(guān)連分?jǐn)?shù)的研究結(jié)果是發(fā)明創(chuàng)造的典范；高斯和雅克比都沒有給我?guī)磉@么多快樂。([17]，頁350)

斯蒂爾杰斯之前表明，連分?jǐn)?shù)的極限函數(shù)可用黎曼積分表示。但是由于極限函數(shù)可以表示成簡單分?jǐn)?shù)之和，而簡單分?jǐn)?shù)之和卻無法表示成黎曼積分，因此用黎曼積分表示連分?jǐn)?shù)的極限函數(shù)是錯誤的。

那么這就會產(chǎn)生另一個問題，為什么斯蒂爾杰斯會想到將連分?jǐn)?shù)的極限函數(shù)表示為黎曼積分形式，其實原因有兩點，一是極限的性質(zhì)，二是該積分形式可以轉(zhuǎn)化為斯蒂爾杰斯連分?jǐn)?shù)。為了更正這一錯誤，斯蒂爾杰斯利用階躍函數(shù)定義了斯蒂爾杰斯積分。

2.2 斯蒂爾杰斯積分的產(chǎn)生

這是我上面提到的積分概念的推廣；其中函數(shù)φ(x)是沿同一方向變化(該函數(shù)可能是不可導(dǎo)的，甚至在任意區(qū)間上都不連續(xù))。([17]，頁351)

為了能夠用一個積分來表示連分?jǐn)?shù)的收斂函數(shù)，斯蒂爾杰斯利用簡單分?jǐn)?shù)的展開，定義單調(diào)遞減函數(shù)，利用該單調(diào)函數(shù)給出一個新的積分形式，就是我們現(xiàn)在所說的斯蒂爾杰斯積分。這是黎曼積分的首次推廣，為積分理論向更廣泛的方面發(fā)展提供可行性探測。

對于現(xiàn)代讀者來說，以斯蒂爾杰斯的方式定義積分其實就是積分概念的自然推廣，但在1892年的數(shù)學(xué)界，這種推廣并不容易理解。從埃爾米特給斯蒂爾杰斯的信中以看出這一點：

從埃爾米特提出的問題來看，他當(dāng)時并不完全理解斯蒂爾杰斯為什么這樣定義積分及他想利用該積分干什么。

人們通常認(rèn)為，斯蒂爾杰斯引入積分是為了解決矩量問題，但直到現(xiàn)在，他也未提到矩量問題；上面的內(nèi)容可以很清楚地表明，斯蒂爾杰斯擴展積分是為了找到連分?jǐn)?shù)的解析形式，并給出其積分表達式。這表明斯蒂爾杰斯對積分的推廣仍然停留在連分?jǐn)?shù)理論的范疇之內(nèi)。

此時斯蒂爾杰斯研究的側(cè)重點仍是連分?jǐn)?shù)理論，而非矩量問題。直到其學(xué)術(shù)生涯末期，才開始將矩量問題作為一個獨立的理論來分析，并對不確定性矩量問題的一些特殊解進行了描述。那么存在一些問題，矩量問題在他的連分?jǐn)?shù)理論中的作用是什么，是什么樣的問題促使其開始深入研究矩量問題。這些都是我們下面需要解決的問題。

3 斯蒂爾杰斯矩量問題

從這段描述來看，切比雪夫?qū)⒕亓繂栴}與積分極限問題建立了聯(lián)系，并運用其解決未知密度的線上某一點的質(zhì)量問題，該方法是受比奈先生報告的啟發(fā)。從切比雪夫原文來看，此時他考慮的都是有限矩量問題，且僅僅把矩量問題當(dāng)作證明伯努利定理的工具，并沒有將其看作單獨的數(shù)學(xué)理論進行深入研究[19]。

我們前面已經(jīng)了解到，斯蒂爾杰斯對矩量問題的研究似乎僅僅停留在運用方面。盡管如此，從1893年9月他寫給埃爾米特的信中仍可看出，他已經(jīng)意識到矩量問題這一矛盾現(xiàn)象，并對該問題進行了嘗試性探索。他給埃爾米特的信中寫道：

我們把矩量問題稱為：求直線(0，∞)上正質(zhì)量分布的給定k階矩(k=0，1，2，3，…)。([18]，頁449)

即質(zhì)量分布(Mi，mi)和(Ni，ni)，是系數(shù)級數(shù)收斂時，連分?jǐn)?shù)S(z)所對應(yīng)的矩量問題的解。利用這兩個解，通過凸線性組合，可以構(gòu)造無窮多個解，這可能是斯蒂爾杰斯將該問題稱為“矩量問題”的原因。

可以看出，斯蒂爾杰斯利用斯蒂爾杰斯積分，通過矩量問題的確定性，可以將探究連分?jǐn)?shù)斂散性問題轉(zhuǎn)換為判定其對應(yīng)的行列式是否大于零的問題。這樣就可跳過連分?jǐn)?shù)，直接將矩量問題與無窮階行列式對應(yīng)起來。這是矩量問題脫離連分?jǐn)?shù)理論的前兆，是后來的數(shù)學(xué)家把矩量問題作為獨立理論進行研究的動因。這也反映了數(shù)學(xué)統(tǒng)一化發(fā)展的趨勢。

4 結(jié)論

探尋斯蒂爾杰斯矩量問題的歷史發(fā)展脈絡(luò)，對研究連分?jǐn)?shù)理論的歷史、函數(shù)空間理論的形成及譜理論的歷史發(fā)展過程具有極其重要的作用。通過對斯蒂爾杰斯矩量問題的歷史進行研究，可以找出連分?jǐn)?shù)、矩量問題和無窮級數(shù)之間的聯(lián)系。斯蒂爾杰斯在探究連分?jǐn)?shù)與發(fā)散級數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系時發(fā)現(xiàn)，黎曼積分在簡單分式上的“不適用性”，是斯蒂爾杰斯將黎曼積分拓展為斯蒂爾杰斯積分的動因。在主要定理的證明中，斯蒂爾杰斯發(fā)現(xiàn)了“斯蒂爾杰斯-維塔利”定理，并意識到非零函數(shù)的矩量問題為零的“特殊性”。為了解釋這一“特殊性”，斯蒂爾杰斯給出了矩量問題可解性定義。然后，利用斯蒂爾杰斯積分和行列式的性質(zhì)，將判定連分?jǐn)?shù)的斂散性問題轉(zhuǎn)化為與其對應(yīng)的行列式是否大于零的問題，從而將矩量問題與無窮階行列式直接對應(yīng)起來，這是矩量問題脫離連分?jǐn)?shù)理論的前兆，是無窮階行列式應(yīng)用于連分?jǐn)?shù)理論的例子，是數(shù)學(xué)統(tǒng)一化發(fā)展的體現(xiàn)。對斯蒂爾杰斯矩量問題的研究，可以揭示斯蒂爾杰斯積分產(chǎn)生的原因，探明矩量問題與連分?jǐn)?shù)理論之間的內(nèi)在聯(lián)系，進而更清楚地呈現(xiàn)矩量問題早期的發(fā)展脈絡(luò)，為探尋其理論起源打下基礎(chǔ)。