一種基于優(yōu)化的毫米波信道估計(jì)算法研究

謝廣成，蘇 宇，曾 妍，程瑛穎

(國家電網(wǎng)重慶市電力公司，重慶 401121)

0 引 言

毫米波頻段尚存大量未用頻譜，是下一代移動(dòng)通信的主要選擇[1]。毫米波具有極高的頻率選擇性衰落，不適合室外遠(yuǎn)距離無線通信。毫米波和大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)可以相輔相成，共同發(fā)揮起各自的優(yōu)勢[2]。然而，毫米波大規(guī)模MIMO天線系統(tǒng)射頻鏈路更多，所以功耗更大，其中模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog-to-Digital Converter，ADC)的功耗在整個(gè)射頻鏈路中占主導(dǎo)地位[3]。

文獻(xiàn)[4]假設(shè)接收端已知信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)，全面分析了接收端使用低分辨率ADC時(shí)毫米波MIMO系統(tǒng)的信道容量、頻譜效率和功耗等；文獻(xiàn)[5]利用毫米波信道在角度域和延遲域的聯(lián)合稀疏性，將信道估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為含噪量化稀疏信號重構(gòu)問題，結(jié)合最大化期望算法(Expectation Maximization, EM)和近似消息傳遞算法(Approximately Message Passing, AMP)，提出了EM-AMP算法求解該重構(gòu)問題。

本文將信道估計(jì)問題分為兩個(gè)階段，提出了一種基于優(yōu)化的估計(jì)算法。第1階段利用低精度ADC量化后接收信號的幅度信息作為約束條件，構(gòu)造優(yōu)化問題，估計(jì)波達(dá)方向，并提出歸一化梯度下降法(Normalized Gradient Descent, NGD)求解該優(yōu)化問題；第2階段根據(jù)第1階段估計(jì)的波達(dá)方向，使用Bussgang分解(Bussgang Decomposition，BD)模型近似非線性量化過程，得到信道復(fù)增益的最小二乘估計(jì)。本文所提算法稱為NGD-BD算法。

1 系統(tǒng)模型

本文考慮低分辨率ADC下窄帶毫米波MIMO系統(tǒng)上行鏈路，K個(gè)單天線用戶位于同一小區(qū)，Nr為基站天線數(shù)量。如圖1所示，基站側(cè)每個(gè)射頻鏈路配備兩個(gè)低分辨率ADC分別用于量化接收信號的同相分量和正交分量。

圖1 低分辨率ADC下MIMO系統(tǒng)模型

毫米波信道采用角度域Saleh-Valenzuela信道模型[6]：

式中：H∈Nr×K為毫米波信道矩陣；Npath為毫米波信道路徑數(shù)；αn為第n條路徑的復(fù)信道增益；φn和θn分別為第n條路徑的到達(dá)角和離開角，在區(qū)間[-π/2,π/2]上均勻分布；ar∈Nr和at∈K分別為接收端和發(fā)送端的陣列響應(yīng)矢量。定義：

式中：diag{·}為對角運(yùn)算；Λ∈Npath×Npath為對角矩陣；AR∈Nr×Npath和AT∈K×Npath分別為接收陣列響應(yīng)矩陣和發(fā)送陣列響應(yīng)矩陣。

將接收陣列響應(yīng)矩陣和發(fā)送陣列響應(yīng)矩陣字典化，可得到毫米波信道的等效模型[7～8]：

式中：UR∈Nr×Nr和UT∈K×K分別為接收端字典矩陣和發(fā)送端字典矩陣；HS∈Nr×K為等效信道矩陣。

等效信道矩陣HS中較大元素的位置對應(yīng)波達(dá)方向，其值表示毫米波信道復(fù)增益。信道矩陣的稀疏網(wǎng)格化表示將信道估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為波達(dá)方向和信道復(fù)增益的參數(shù)估計(jì)問題，即估計(jì)等效信道矩陣較大元素的位置和值。

2 毫米波信道估計(jì)

2.1 問題的數(shù)學(xué)描述

在訓(xùn)練階段，令X∈K×P為訓(xùn)練矩陣，式中，P為導(dǎo)頻長度[9]。訓(xùn)練矩陣取X=UTZ，式中，Z為等效訓(xùn)練矩陣，故有：

式中：R為量化后接收矩陣；Y為量化前接收矩陣；N為噪聲矩陣；Q(·)為量化運(yùn)算；vec(·)為列向量化。經(jīng)過下列對應(yīng)：

式(2)可表示為

式中：r∈2NrP×1為量化后接收信號；y∈2NrP×1為量化前接收信號；Φ∈2NrP×2NrK為感知矩陣；h∈2NrK×1為信道向量；n∈2NrP×1為噪聲向量。

信道估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為稀疏信號重構(gòu)問題：已知量化后接收信號r和等效訓(xùn)練矩陣Z，估計(jì)信道向量h。

2.2 波達(dá)方向估計(jì)

均勻量化的實(shí)現(xiàn)過程可概括為，接收信號經(jīng)過采樣保持電路后，通過電壓比較器與若干基準(zhǔn)電壓比較，得到量化后接收信號，文獻(xiàn)[7]給出了ADC的量化比特?cái)?shù)與基準(zhǔn)電壓的關(guān)系。根據(jù)式(3)給出的問題描述，r的值反映了y的取值范圍：

式中：l和u分別為Φh的下界和上界。重構(gòu)稀疏信道向量h可理解為在滿足幅度約束條件的所有可行解中尋找最稀疏解。文獻(xiàn)[8]證明l1范數(shù)可近似為l0范數(shù)衡量向量稀疏性，將重構(gòu)問題建模為如下優(yōu)化問題：

若下界為零向量，上述優(yōu)化問題的最優(yōu)解恒為零向量。為了得到上述優(yōu)化問題的非平凡解，對信道向量的模加以限制：

l1和l2范數(shù)在n空間均為凸函數(shù)，因此優(yōu)化問題式(4)為凸優(yōu)化問題。人為引入模約束條件縮小了優(yōu)化問題的可行解集，不等式約束可看作超平面分割出的半空間，可行解集由半空間之間的并集縮小為單位球內(nèi)半空間的并集。同時(shí)，模約束條件會(huì)影響估計(jì)信道增益的準(zhǔn)確性，但由于該階段只需要確定波達(dá)方向，即信道向量支撐集，模約束條件引入的信道增益誤差不影響支撐集的判斷。

為了消除不等式約束對可行解集的影響，利用拉格朗日函數(shù)，式(4)可松弛為

式中：λ為松弛因子；(·)i為括號內(nèi)向量的第i個(gè)元素；f(t)=t2μ(-t)/2為單邊二次罰函數(shù)，μ(t)為階躍函數(shù)。文獻(xiàn)[10]證明當(dāng)λ趨于正無窮時(shí)，式(4)與其松弛優(yōu)化問題式(5)有相同的最優(yōu)解。

單邊二次罰函數(shù)是光滑凸函數(shù)，為了滿足約束條件，提出NGD算法求解約束問題式(5)。本文所提算法考慮了單邊二次罰函數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響，更新梯度計(jì)算過程，將目標(biāo)函數(shù)的梯度投影到單位球上，同時(shí)在算法每次迭代后歸一化當(dāng)前最優(yōu)解，使其滿足單位模約束條件。

定義式(5)的目標(biāo)函數(shù)為代價(jià)函數(shù)J(h)：

代價(jià)函數(shù)的最速下降方向?yàn)樨?fù)梯度方向。單邊二次罰函數(shù)與范數(shù)均為凸函數(shù)且λ>0，凸函數(shù)的非負(fù)加權(quán)求和為凸函數(shù)，所以代價(jià)函數(shù)為凸函數(shù)。若不考慮單位模約束，代價(jià)函數(shù)取最小值時(shí)梯度為零向量：

式中：δ/λ為梯度下降步長；sign(·)為符號函數(shù)。收縮函數(shù)本質(zhì)上表示每次迭代過程代價(jià)函數(shù)在l1范數(shù)分量的變化值。

圖2 收縮曲線函數(shù)

收縮函數(shù)雖然解決了hi=0時(shí)該維度導(dǎo)數(shù)不存在的問題，卻帶來了新的問題：若hi∈(-δ/λ,δ/λ)且hi≠0，此時(shí)該維度上l1范數(shù)分量仍有優(yōu)化空間，但每次迭代變化值恒為0。引入收縮函數(shù)帶來的問題并不影響最終結(jié)果，其原因是：第1，在理想情況下，優(yōu)化問題所得最優(yōu)解h*應(yīng)嚴(yán)格稀疏，但由于測量值受噪聲影響，通常最優(yōu)解為近似稀疏向量，不管是否引入收縮函數(shù)，所得最優(yōu)解均為近似稀疏；第2，為了保證式(4)與式(5)有相同的最優(yōu)解，λ取較大實(shí)數(shù)，故區(qū)間長度2δ/λ較小，導(dǎo)致算法迭代終止時(shí)hi的值為接近0的較小常數(shù)，該值不影響支撐集的判斷。第1階段只需估計(jì)波達(dá)方向，最優(yōu)解支撐集外元素值的小幅波動(dòng)不影響支撐集的判斷。

歸一化梯度下降法每次迭代時(shí)，首先計(jì)算單邊二次罰函數(shù)的梯度，為了滿足約束條件，需將該梯度投影到單位球上，然后依次在罰函數(shù)與l1范數(shù)方向上更新優(yōu)化變量。

步驟 4：l1范數(shù)分量上梯度下降(v)i=S((p)i)；

為了確保式(4)與式(5)有相同的最優(yōu)解，算法執(zhí)行時(shí)應(yīng)選擇較大的松弛因子λ。λ的值先驗(yàn)未知，可預(yù)先通過測試確定。首先取λ為一較小常數(shù)得到最優(yōu)解，再增大λ重新測試，若相鄰測試結(jié)果的歸一化均方誤差(Normalized Mean Squared Error, NMSE)小于某一門限值，則終止測試，返回最優(yōu)解。

2.3 毫米波信道增益估計(jì)

由于低分辨率ADC的非線性特性，可應(yīng)用BD對非線性量化過程進(jìn)行建模，服從高斯分布的輸入信號經(jīng)過非線性量化器后，輸出信號可表示為信號分量與不相關(guān)量化噪聲分量之和，由式(3)可得：

式中:nq為量化噪聲；ηb為量化輸出與輸入之間的NMSE，定義為ηbE{|Q(y)-y|2}/E{|y|2}，其值由ADC量化比特?cái)?shù)b決定，如表1所示。

表1 NMSE

信道估計(jì)第1階段估計(jì)出信道向量的支撐集SUPP，記感知矩陣Φ對應(yīng)支撐集索引的子矩陣為ΦSUPP，則信道向量支撐集內(nèi)元素的最小二乘估計(jì)：

2.4 計(jì)算復(fù)雜度分析

本節(jié)分析所提信道估計(jì)算法的計(jì)算復(fù)雜度。式(3)中感知矩陣Φ∈2NrP×2NrK，代價(jià)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算復(fù)雜度為矩陣與向量相乘的計(jì)算復(fù)雜度O(NrP)[5]，第2階段需計(jì)算ΦSUPP的偽逆矩陣，由于毫米波信道的稀疏性，ΦSUPP具有較少的列，因此其偽逆矩陣的計(jì)算復(fù)雜度可近似為O(1)[5]。綜上所述，所提信道估計(jì)算法計(jì)算復(fù)雜度為O(NrP)。表2所示為期望最大-向量近似消息傳遞(Expectation Maximization-Vector Approximate Message Passing，EM-VAMP)[5]和線性最小均方誤差(Linear Minimum Mean Square Error，LMMSE)算法[4]的計(jì)算復(fù)雜度，本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)LMMSE算法與目前最先進(jìn)的EM-VAMP算法。

表2 計(jì)算復(fù)雜度

3 仿真分析

假設(shè)接收端理想同步，對兩種信道環(huán)境進(jìn)行 1 000次蒙特卡洛仿真。表3所示為仿真配置參數(shù)。

表3 仿真配置參數(shù)

圖3所示為LoS場景下波達(dá)方向估計(jì)成功率，ADC精度分別為1、2、3和4 bit時(shí)，波達(dá)方向估計(jì)成功率依次在-2、-3、-3和-4 dB，達(dá)到百分之百。

圖3 LoS信道下波達(dá)方向估計(jì)成功率

圖4 LoS信道下NMSE

NLoS場景下，波達(dá)方向估計(jì)成功率，ADC精度分別為1、2、3和4 bit時(shí)，波達(dá)方向估計(jì)成功率依次在8、2、-2和-2 dB，達(dá)到百分之百。

圖5 NLoS信道下波達(dá)方向估計(jì)成功率

圖6所示為NLoS場景下本文所提NGD-BD與EM-VAMP算法在不同ADC精度下的NMSE曲線。接收端使用2 bit ADC精度時(shí)，LoS信道下隨機(jī)共振現(xiàn)象不明顯，但NLoS信道下該現(xiàn)象較明顯。接收端使用1 bit ADC精度時(shí)，NGD-BD與EM-VAMP算法性能相近；接收端使用2 bit ADC精度時(shí)，NGD-BD算法在SNR> 5 dB時(shí)性能提升了1倍；接收端使用3和4 bit ADC精度時(shí)，所提算法性能提升了約6 dB。

圖6 NLoS信道下NMSE

分析兩種場景下的仿真結(jié)果可得出如下結(jié)論：第1，路徑數(shù)增多或量化精度變低都會(huì)導(dǎo)致波達(dá)方向估計(jì)性能下降；第2，接收端使用1或2 bit ADC精度時(shí)，信道路徑數(shù)對波達(dá)方向估計(jì)成功率的影響較大，接收端使用3或4 bit ADC精度時(shí)，信道路徑數(shù)對波達(dá)方向估計(jì)成功率的影響相對較??；第3，隨機(jī)共振現(xiàn)象由低精度ADC引起，且與路徑數(shù)有關(guān)，LoS信道下，接收端使用2 bit ADC精度時(shí)隨機(jī)共振現(xiàn)象不明顯，但在兩徑NLoS信道下，接收端使用2 bit ADC精度時(shí)隨機(jī)共振現(xiàn)象較明顯。

4 結(jié)束語

本文將毫米波信道估計(jì)問題分為兩個(gè)階段，第1階段將波達(dá)方向估計(jì)問題建模為凸優(yōu)化問題，并提出NGD算法求解；第2階段根據(jù)估計(jì)的波達(dá)方向與量化后的接收信號，得到毫米波信道復(fù)增益的最小二乘估計(jì)。然而，本文所做工作主要集中在低計(jì)算復(fù)雜度與低導(dǎo)頻序列場景下波達(dá)方向估計(jì)，如何降低低精度ADC對信道向量復(fù)增益的影響，將是我們未來研究工作的重點(diǎn)。