橢圓曲線y2=(x-6)(x2+6x+m)的整數(shù)點

王 釗, 楊 海, 曹雅麗

(西安工程大學 理學院, 陜西 西安 710048)

橢圓曲線的整數(shù)點問題是數(shù)論界一直備受關注的重要問題之一。1987年,Don[1]利用3種方法解決了橢圓曲線大整數(shù)點的問題,并列出了一些具有大整數(shù)點的橢圓曲線。

關于橢圓曲線y2=(x+7)(x2-7x+19),ZHU等[2]在一類全虛四次域的子環(huán)中證明了橢圓曲線僅有2組整數(shù)點,董鑫等[3]利用遞推序列和二次剩余得到了曲線的全部解。

對于橢圓曲線

y2=(x-a)(x2+ax+m),m∈,

(1)

目前國內外學者的研究結果主要集中在a=2、4、6上。

當a=2時,HE等[4]運用四次丟番圖方程解決了式(1)的整數(shù)點問題;謝甜甜等[5]證明了式(1)除平凡整數(shù)解之外,還有3對非平凡整數(shù)點;Karaatli等[6]運用廣義的Fibonacci和Lucas數(shù)列得出式(1)除平凡解外僅有1對非平凡的大整數(shù)解;ZHU等[7]利用代數(shù)數(shù)論和p-adic分析方法得到了式(1)的全部解;吳華明[8]通過Pell方程與二元四次丟番圖方程得到了同樣的結果;文獻[9-10]研究了m在特定條件下式(1)僅有整數(shù)點(x,y)=(2,0);崔保軍[11]證明了m=18時僅有2組整數(shù)點。

當a=4時,杜先存等[12]證明了m=37時無正整數(shù)點。

當a=6時,萬飛等[13]證明了m=19時無正整數(shù)點;杜先存等[14]研究了m在特定條件時無正整數(shù)點;李亞卓等[15]給出了m=15時式(1)的整數(shù)點情況;過靜等[16]證明了m=23時無正整數(shù)點。

對于其他情形,杜先存等[17]利用初等數(shù)論的方法證明了當a=-2時,式(1)無正整數(shù)點;文獻[18-20]利用孿生素數(shù)和初等數(shù)論的知識得到了橢圓曲線y2=x(x-p)(x-q)在一般情況下的所有解;趙建紅[21]利用二元四次丟番圖方程的性質證明了式(1)的全部整數(shù)解。

本文由文獻[22-23]得到啟發(fā),運用二次剩余及二元四次丟番圖方程的已知結論得出

定理設m=30s2-7,其中s是使6s2+13及15s2-8為奇素數(shù)的正奇數(shù),則橢圓曲線

y2=(x-6)(x2+6x+m)

(2)

僅有整數(shù)點(x,y)=(6,0)。

在定理中分別取m=23,263,743,1 463,8 663,10 823即可得

推論當s=1, 3, 5, 7, 17, 19時橢圓曲線(2)僅有整數(shù)點(x,y)=(6,0)。

1 引 理

2 定理的證明

令m=30s2-7,p=6s2+13,q=15s2-8,其中p,q為奇素數(shù),s為正奇數(shù),則有關系式

m=5p-72=2q+9,p≡3(mod 8),q≡7(mod 8)。

設(x,y)是式(2)的任意一組整數(shù)點,因為m=30s2-7≥23,所以,

x2+6x+m=(x+3)2+m-9>0,

因此若橢圓曲線有整數(shù)點,則x≥6,顯然有平凡整數(shù)點(x,y)=(6,0)。下面僅考慮x>6且y≠0的情形。

設d為x-6與x2+6x+m的最大公因數(shù),則

d=gcd(x-6,x2+6x+m)=gcd(x-6,m+72)=gcd(x-6,5p)。

由d|5p知,d∈{1,5,p,5p}。故存在正整數(shù)a,b,使式(2)分為以下4種情形:

情形1x-6=a2,x2+6x+m=b2,y=±ab, gcd(a,b)=1;

情形2x-6=5a2,x2+6x+m=5b2,y=±5ab, gcd(a,b)=1;

情形3x-6=pa2,x2+6x+m=pb2,y=±pab, gcd(a,b)=1;

情形4x-6=5pa2,x2+6x+m=5pb2,y=±5pab, gcd(a,b)=1。

對這4種情形分別進行討論。

情形1

當d=1時,由x=a2+6,x2+6x+m=b2并結合m=5p-72得

b2=a4+18a2+5p。

故情形1下橢圓曲線(2)無整數(shù)點。

情形2

當d=5時,由x=5a2+6,x2+6x+m=5b2并結合m=5p-72得

b2=5a4+18a2+p。

故情形2下橢圓曲線(2)無整數(shù)點。

情形3

當d=p時,由x=pa2+6,x2+6x+m=pb2并結合m=5p-72得

b2=pa4+18a2+5。

故情形3下橢圓曲線(2)無整數(shù)點。

情形4

當d=5p時,由x=5pa2+6,x2+6x+m=5pb2并結合m=5p-72得

b2=5pa4+18a2+1。

(b+(36c2+1))(b-(36c2+1))=32qc4。

(3)

設b+(36c2+1)和b-(36c2+1)的最大公因數(shù)為l1,可得

(Ⅰ)b+36c2+1=16qu4,b-36c2-1=2v4,c=uv;

(Ⅱ)b+36c2+1=16u4,b-36c2-1=2qv4,c=uv;

(Ⅲ)b+36c2+1=2qu4,b-36c2-1=16v4,c=uv;

(Ⅳ)b+36c2+1=2u4,b-36c2-1=16qv4,c=uv。

其中,u,v為正整數(shù),gcd(u,v)=1。

接下來對每種情況進行分析。

④ 對于(Ⅳ),將其第1式減去第2式得36c2+1=u4-8qv4,根據(jù)c=uv且5p-72=2q+9,整理得

(u2-18v2)2-20pv4=1。

(4)

(5)

故可將式(5)分為4種情況:

接下來對每種情況進行分析。

① 將(ⅰ)前2式相加,得X=5pg4+h4,由式(5)可得(5pg4-h4)2=1,故

5pg4-h4=1

(6)

或

h4-5pg4=1。

(7)

對式(6)兩邊同時取模p,得

h4≡-1(modp)。

(8)

② 將(ⅱ)中前2式相加得X=5g4+ph4,由式(5)可得(5g4-ph4)2=1,即

5g4-ph4=1

(9)

或

ph4-5g4=1。

(10)

③ 將(ⅲ)中前2式相加得X=pg4+5h4,由式(5)可得(pg4-5h4)2=1,即

pg4-5h4=1

或

5h4-pg4=1。

同(ⅱ),可知(ⅲ)不成立。

④ 將(ⅳ)中前2式相加得X=g4+5ph4,由式(5)可得(g4-5ph4)2=1,即

g4-5ph4=1

或

5ph4-g4=1。

同(ⅱ),可知(ⅳ)不成立。

綜上所述,情形4下橢圓曲線(2)無整數(shù)點。定理得證。

3 結 語

本文研究了a=6,m=5p-72=2q+9時橢圓曲線y2=(x-a)(x2+ax+m),m∈的整數(shù)點問題,其中p和q為滿足p≡3(mod 8),q≡7(mod 8)的奇素數(shù),證明了該橢圓曲線無非平凡整數(shù)點,推廣了此類橢圓曲線在更一般情形下的研究結論。