兩端帶水平梯段鋼梯梁撓度計(jì)算分析

周陳程，俞海洪，耿志光

（中石化上海工程有限公司，上海 200120）

在石油化工裝置中，鋼樓梯以其安裝靈活、施工方便、重量輕、承載力高等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛應(yīng)用，常見的鋼梯包括：設(shè)備框架平臺(tái)鋼梯、操作平臺(tái)鋼梯、屋面檢修鋼梯等。國內(nèi)外對(duì)于鋼樓梯的研究多集中在大跨度鋼樓梯的振動(dòng)舒適性方面[1-4]，但是大跨度鋼樓梯一般是出于對(duì)建筑美學(xué)和功能的要求，常用于公共建筑。對(duì)于工業(yè)建（構(gòu)）筑物，大跨度鋼樓梯極少。石油化工裝置內(nèi)鋼梯梁一般采用槽鋼，踏步板根據(jù)樓梯的防火要求而不同，常見的有兩種做法：有耐火要求時(shí)，采用花紋鋼板上鋪一定厚度的混凝土；無耐火要求時(shí)，采用鋼格柵。鋼樓梯設(shè)計(jì)按GB 50017—2017《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》[5]規(guī)定，需對(duì)鋼梯梁的強(qiáng)度、穩(wěn)定性以及撓度進(jìn)行驗(yàn)算，其中對(duì)于強(qiáng)度和穩(wěn)定性驗(yàn)算，可按鋼梯梁的荷載分布求得最大彎矩以及考慮梯梁的側(cè)向約束進(jìn)行計(jì)算，但是對(duì)于鋼梯梁的撓度計(jì)算，規(guī)范未給出明確的計(jì)算方法，只給出了限值。目前對(duì)于鋼梯梁的撓度計(jì)算常參照混凝土的梁式樓梯計(jì)算方法，將樓梯荷載折算成均布水平投影荷載，按梯梁的水平跨度計(jì)算撓度，該計(jì)算方法對(duì)于采用鋼格柵的樓梯來說顯然不合適，鋼格柵對(duì)梯梁豎向剛度基本沒有貢獻(xiàn)，斜段增加了梯梁的長度，其真實(shí)撓度會(huì)大于上述方法的計(jì)算值。本文針對(duì)此種情況，對(duì)兩端帶水平梯段鋼梯梁撓度計(jì)算公式進(jìn)行理論推導(dǎo)，并給出豎向撓度的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，采用STAAD PRO建立簡(jiǎn)支鋼梯梁模型，對(duì)理論公式和簡(jiǎn)化公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)對(duì)不同支座類型的鋼梯撓度進(jìn)行計(jì)算分析，驗(yàn)證本文提出的鋼梯梁撓度計(jì)算公式在實(shí)際工程中的適用性。

1 鋼梯梁撓度計(jì)算公式推導(dǎo)

1.1 基本原理

梁撓度計(jì)算方法一般有兩種[6]：結(jié)構(gòu)力學(xué)變形體法[7]以及材料力學(xué)[8]撓度近似微分方程方法。雖然結(jié)構(gòu)力學(xué)方法只要一次積分，但在求解時(shí)需對(duì)最大彎矩點(diǎn)是否在斜梯段上進(jìn)行判別，分情況多次推導(dǎo)，而材料力學(xué)撓度近似微分方程由于只需根據(jù)彎矩函數(shù)（梯梁的彎矩函數(shù)可以以一個(gè)公式表述，無須分段）經(jīng)過兩次積分就可以得到梁的撓度曲線函數(shù)，故本文采用撓度近似微分方程進(jìn)行計(jì)算。

受彎構(gòu)件撓曲線近似微分方程如下：

對(duì)式（1）進(jìn)行一次積分可以求得梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)：

對(duì)式（2）再進(jìn)行一次積分可以求得梁的撓度曲線函數(shù)：

式中ω（x）——受彎構(gòu)件的撓度曲線函數(shù)；

M（x）——構(gòu)件截面彎矩函數(shù)；

EI——構(gòu)件的截面剛度；

C，D—— 待定系數(shù)，根據(jù)邊界條件和變形連續(xù)求得。

1.2 理論公式推導(dǎo)

樓梯荷載分布一般按均布水平投影考慮，如圖1所示。將踏步板的水平投影荷載對(duì)其下斜梯梁段進(jìn)行均分，得到等效的荷載布置圖，如圖2所示。

圖1 均布水平投影荷載布置圖Fig.1 Layout of horizontal projected loads arranged uniformly

圖2 等效荷載布置圖Fig.2 Layout of equivalent loads

根據(jù)等效荷載布置圖，求得梯梁的彎矩函數(shù)：

把式（4）帶入式（1）后，進(jìn)行一次積分求得梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)：

其中斜梁段的處理，如圖3所示。

圖3 斜梁處坐標(biāo)軸Fig.3 Coordinate axes at the inclined beam

對(duì)式（5） ～ （7）積分，求得梁的撓度曲線函數(shù)：

梁撓度是垂直于梁構(gòu)件的變形，所以對(duì)于斜梯梁段必然存在水平和豎直兩個(gè)方向撓度。對(duì)此分開討論：

（a）豎向撓度

斜梯梁段豎向撓度與其總撓度存在如下關(guān)系：

式中ω2v（x）——斜梁段的豎向撓度曲線函數(shù)。

根據(jù)邊界條件、轉(zhuǎn)角和豎向撓度的連續(xù)，即：

求得撓曲線函數(shù)中各未知參數(shù)，如下：

（b）水平向撓度

斜梯梁段水平向撓度與其總撓度存在如下關(guān)系：

式中ω2H（x）——斜梁段的水平向撓度曲線函數(shù)。

根據(jù)邊界條件即：

ω2H（L1）= 0；

求得斜梯梁段水平撓度曲線函數(shù)的未知參數(shù)，如下：

（c）極值點(diǎn)

由式（4）可以看出：對(duì)于簡(jiǎn)支鋼梯梁，撓度二階導(dǎo)數(shù)ω*（x）除兩端外均大于0，所以在梯梁的有效范圍內(nèi)（除兩端外）轉(zhuǎn)角函數(shù)ω*（x）= 0的點(diǎn)即為撓度的極大值點(diǎn)。本文采用田紅亮[7]給出的范盛金修正公式求解梯梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)式（5） ～ （7），一元三次方程有效解如下：

Ci見公式（12） ～ （14），單位：rad。

對(duì)于梯梁的豎向撓度，極值點(diǎn)的撓度就是最大豎向撓度。從梯梁的豎向撓度曲線可以看出，對(duì)于水平段較短的鋼樓梯即L1＜L/2且L3＜L/2，此時(shí)最大的豎向撓度必然出現(xiàn)在斜梁段。但是對(duì)于一些特殊情況如L1＞L/2或者L3＞L/2時(shí)，發(fā)生最大豎向撓度的位置不再能簡(jiǎn)單判別是在斜梁段還是在水平段，需將C1～C3分別帶入式（20）求出各自的極值點(diǎn)位置，再根據(jù)極值點(diǎn)位置是否在所計(jì)算梁段的范圍內(nèi)，判別所求得極值點(diǎn)位置是否合理，最終計(jì)算出準(zhǔn)確的最大豎向撓度值。

對(duì)于梯梁的水平向撓度，由于上水平梯段水平撓度為定值，下水平梯段水平向撓度為0，所以梯梁的最大水平向撓度只能發(fā)生在斜梯梁段或上水平梯段。只需將C2帶入式（20）求出極值點(diǎn)位置，再根據(jù)極值點(diǎn)位置是否在斜梯段的范圍內(nèi)，判別所求得極值點(diǎn)位置的合理性。最后把極值點(diǎn)撓度和上水平梯段的水平向撓度進(jìn)行比較，即可得到梯梁的最大水平向撓度。

1.3 豎向撓度簡(jiǎn)化公式

從式（12） ～ （20）可以看出：鋼梯梁的理論公式比較復(fù)雜，這對(duì)日常設(shè)計(jì)工作中快速驗(yàn)算存在較大難度。實(shí)際工程中，對(duì)于傾角不大的樓梯，水平向撓度一般比較小，不是主要的控制指標(biāo)。故本節(jié)只對(duì)豎向撓度的理論公式進(jìn)行簡(jiǎn)化。

從梯梁的彎矩函數(shù)可以看出，其與水平梁在均布荷載q作用下的彎矩函數(shù)完全一致。把斜梁段的轉(zhuǎn)角函數(shù)、豎向撓度曲線函數(shù)和水平段相比，只差1/ cosθ，即可以把斜梁等效為一根長度為L2，剛度為EIcosθ的水平梁，如圖4所示。

圖4 等效水平梁Fig.4 Equivalent horizontal beam

經(jīng)此，折梁?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)換成變剛度梁?jiǎn)栴}。從圖4中可以看出，在均布荷載作用下，實(shí)際梁的最大撓度存在如下關(guān)系：

式中ω1——?jiǎng)偠菶I的簡(jiǎn)支梁撓度，；

ω2——?jiǎng)偠菶Icosθ的簡(jiǎn)支梁撓度，。

同時(shí)ωmax可以由ω1和ω2兩個(gè)值進(jìn)行表達(dá)，如下式：

α1、α2值分別與水平段、斜梁段占整根梁的比重有關(guān)，本文取值如下：

當(dāng)L1≥L/2或L3≥L/2時(shí)：

當(dāng)L1＜L/2或L3＜L/2時(shí)：

β為調(diào)整系數(shù)，經(jīng)過試算，初步取值見下式：

2 計(jì)算模型驗(yàn)證

2.1 簡(jiǎn)支梯梁模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證理論公式的準(zhǔn)確性，并對(duì)簡(jiǎn)化公式進(jìn)行修正，采用STAAD PRO，建立不同跨度、傾角、水平段分布的簡(jiǎn)支梯梁計(jì)算模型，如圖5所示。本文取荷載q= 1.5 kN/m；梯梁均選用[25a，慣性矩I= 3 359.1 cm4；梯梁跨度取常見的6 m、7.5 m、9 m；傾角取32°、38°、45°。梯梁最大豎向撓度和水平向撓度計(jì)算結(jié)果分別見表1和表2。

圖5 簡(jiǎn)支梯梁模型Fig.5 Model of simply supported stair beam

從表1、表2中可以看出，理論公式在豎向撓度和水平向撓度上的計(jì)算結(jié)果與軟件計(jì)算結(jié)果基本一致，誤差都在2%以內(nèi)，兩者的差異主要在于軟件計(jì)算時(shí)考慮了梯梁的軸向變形，而基于微分方程的理論公式忽略了軸向變形對(duì)撓度的影響。對(duì)比簡(jiǎn)化公式計(jì)算結(jié)果：水平段較小的梯梁豎向撓度與軟件計(jì)算結(jié)果誤差均小于2%，對(duì)于特殊的單水平梯段大于一半跨度的梯梁豎向撓度計(jì)算結(jié)果誤差略大，但均在5%以內(nèi)，能滿足正常設(shè)計(jì)過程中的初步選型和驗(yàn)算， 值無需再修正。

表1 豎向撓度計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of vertical deflection calculation results

表2 水平向撓度計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of horizontal deflection calculation results

2.2 不同支座模型的驗(yàn)證

實(shí)際梯梁由于水平向受兩端支座的約束，上下水平段會(huì)產(chǎn)生一定軸力，使梯梁的彎矩函數(shù)發(fā)生變化，具體的變化受支座的約束剛度影響，很難進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算。本節(jié)采用STAAD PRO對(duì)設(shè)計(jì)過程中常見的鋼梁支座和混凝土梁支座進(jìn)行對(duì)比分析。模型中梯梁跨度6 m，跨度分布為1.2 m / 3.6 m / 1.2 m，梯梁傾角為45°，鋼梁支座選為HN 250×125，混凝土梁支座選為250 mm×400 mm，梯梁規(guī)格和荷載同前文所述。鋼梁支座和混凝土梁支座計(jì)算模型如圖6所示。對(duì)外側(cè)梁的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，列于表3。

圖6 不同支座類型計(jì)算模型Fig.6 Calculation models with different support types

表3 不同類型支座計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of calculation results with different support types

對(duì)比鋼梁支座和混凝土梁支座：混凝土梁支座的梯梁最大豎向撓度比鋼梁支座豎向撓度小8.34%，水平向撓度小7.04%，撓度最大值位置也更靠近上部水平梯段，接近0.25 m，這主要是因?yàn)榛炷亮褐ё鶅啥藙偨?，它比鋼梁支座的?cè)向剛度大很多，側(cè)向約束使得水平梯段產(chǎn)生較大軸力，減小了梯梁下部梁支座的端反力，使得極值點(diǎn)往上水平段方向偏移。

對(duì)比不同支座的撓度極值與理論公式、簡(jiǎn)化公式計(jì)算結(jié)果：對(duì)于鋼梁支座軟件計(jì)算結(jié)果接近于標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)支梁，理論公式和簡(jiǎn)化公式計(jì)算結(jié)果與軟件計(jì)算結(jié)果基本一致，其中理論公式的豎向撓度比軟件計(jì)算結(jié)果小1.04%，簡(jiǎn)化公式比軟件計(jì)算結(jié)果小1.53%，理論公式的水平向撓度小于軟件計(jì)算結(jié)果1.36%；對(duì)于混凝土梁支座，理論公式和簡(jiǎn)化公式計(jì)算結(jié)果均略大于軟件計(jì)算，其中理論公式豎向撓度比軟件計(jì)算結(jié)果大7.97%，簡(jiǎn)化公式比軟件計(jì)算結(jié)果大7.43%，理論公式的水平向撓度大于軟件計(jì)算結(jié)果6.11%。

3 結(jié)論

（1）本文采用材料力學(xué)撓度近似微分方程方法推導(dǎo)出兩端帶水平梯段鋼梯梁的豎向和水平向撓度曲線函數(shù)，基于范金盛修正公式求解一元三次方程的原理，給出撓度極值點(diǎn)的位置計(jì)算公式和計(jì)算方法。

（2）根據(jù)等效原理，把鋼梯折梁等效為變剛度梁，提出鋼梯梁最大豎向撓度的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，并經(jīng)過試算，給出調(diào)整系數(shù)。

（3）與標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)支鋼梯梁的軟件計(jì)算結(jié)果相比：理論公式求解的豎向撓度和水平向撓度誤差都在2%以內(nèi)；豎向撓度簡(jiǎn)化公式，對(duì)于水平段較小梯梁的計(jì)算結(jié)果誤差也能控制在2%以內(nèi)，對(duì)于單水平梯段大于一半跨度的梯梁誤差在1% ～ 5%范圍內(nèi)。

（4）增加梯梁支座的側(cè)向約束，能減小梯梁的撓度。

（5）理論公式和簡(jiǎn)化公式能很好地適用于鋼梁支座的梯梁撓度計(jì)算。對(duì)于混凝土梁支座，理論公式和簡(jiǎn)化公式的計(jì)算結(jié)果偏大約5% ～ 10%，實(shí)際設(shè)計(jì)過程中可通過適當(dāng)放寬規(guī)范限值或通過修正簡(jiǎn)化計(jì)算公式的β值來進(jìn)行鋼梯梁初步選型和驗(yàn)算。