Frobenius擴(kuò)張下的GC-平坦性

周緒杰, 趙志兵

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 合肥 230601)

0 引 言

Frobenius擴(kuò)張作為Frobenius代數(shù)的一種推廣, 是一類被廣泛關(guān)注的環(huán)擴(kuò)張, 其基本例子是群代數(shù)為其指數(shù)有限的子群代數(shù)上的一個(gè)Frobenius擴(kuò)張. 目前, 同調(diào)不變性質(zhì)的保持性是Frobenius擴(kuò)張理論的熱門課題[1-3].

對于環(huán)擴(kuò)張A/S, 有一個(gè)限制函子R=HomA(SAA,-)(?-?AAS): Mod-A→Mod-S將MA作用為MS.在相反方向有兩個(gè)函子T=-?SAA: Mod-S→Mod-A和H=HomS(AAS,-): Mod-S→Mod-A.易驗(yàn)證, (T,R)和(R,H)都是伴隨對.

定義1[4]如果下列等價(jià)條件之一成立, 則環(huán)擴(kuò)張A/S稱為Frobenius擴(kuò)張：

半對偶模[5-6]是對偶模的一種推廣, 最初要求環(huán)總是Noether的. 相對于一個(gè)半對偶模, Golod[7]定義了GC-維數(shù), 其統(tǒng)一了經(jīng)典的投射維數(shù)和Gorenstein投射維數(shù). 文獻(xiàn)[8]去掉了“Noether”的條件, 考慮一般的交換環(huán)上相對于半對偶模的GC-維數(shù), 包括GC-投射、 內(nèi)射和平坦維數(shù).

定義2[8]如果一個(gè)S-模C滿足下列條件, 則該S-模C稱為半對偶模:

顯然, 正則模S本身就是一個(gè)半對偶模, 若存在對偶模, 則其是一個(gè)半對偶模.由文獻(xiàn)[9]中命題2.3可知, 半對偶模在環(huán)的Frobenius擴(kuò)張下是保持的.

命題1[9]設(shè)A/S是環(huán)的Frobenius擴(kuò)張, 若C是半對偶S-模, 則C?SA是半對偶A-模.

一個(gè)模的GC-平坦性在環(huán)的優(yōu)越擴(kuò)張下是保持的[9].優(yōu)越擴(kuò)張一定是Frobenius擴(kuò)張, 而半對偶模在Frobenius擴(kuò)張下是保持的, 因此本文考慮GC-平坦模在Frobenius擴(kuò)張下的保持性, 下面給出GC-平坦模的定義.

定義3設(shè)C是一個(gè)半對偶S-模.一個(gè)S-模M稱為GC-平坦模, 是指存在S-模的正合序列

F∶=…→F1→F0→C?SF0→C?SF1→…,

(1)

使得M?Coker(F1→F0), 且對于每個(gè)內(nèi)射S-模I, 復(fù)形F?SHomS(C,I) 都是正合的, 其中Fi和Fi均是平坦模.此外, 上述正合序列F稱為M的完全FC-分解.

注1若C=S, 則GC-平坦模與經(jīng)典的Gorenstein平坦模一致.

如果一個(gè)S-模類X包含每個(gè)投射S-模, 且對每個(gè)S-模正合序列0→X′→X→X″→0, 若X″∈X, 則有X′∈X當(dāng)且僅當(dāng)X∈X, 則稱該S-模類X是投射預(yù)解類.對所有GC-平坦模構(gòu)成的類, 由文獻(xiàn)[9]中命題2.9有如下命題.

命題2若S是凝聚環(huán),C是一個(gè)半對偶S-模, 則GC-平坦S-模類是投射預(yù)解類, 且對任意直和與直和項(xiàng)封閉.

由文獻(xiàn)[10]中引理3.12可得如下命題.

命題3設(shè)M是一個(gè)S-模, 如果有下列兩個(gè)正合序列:

本文主要考慮模的GC-平坦性和GC-平坦維數(shù)在環(huán)的Frobenius擴(kuò)張下的保持性.若A/S是Frobenius擴(kuò)張且基環(huán)S是凝聚環(huán), 首先證明對于任意的A-模M,MA是GC?SA-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M作為S-模是GC-平坦模.其次, 證明GC-平坦維數(shù)沿著環(huán)的Frobenius擴(kuò)張是不變的, 即對于一個(gè)A-模M, 有GC-fdS(M)=GC?SA-fdA(M).這些結(jié)果均推廣或強(qiáng)化了經(jīng)典(Gorenstein)同調(diào)維數(shù)的一些相關(guān)結(jié)論.

1 GC-平坦模

下面討論GC-平坦模在Frobenius擴(kuò)張下的保持性.首先, 根據(jù)定義3有如下的GC-平坦模特征性質(zhì).

命題4一個(gè)S-模M是GC-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M滿足下列條件：

定理1設(shè)A/S是Frobenius擴(kuò)張,M是任意S-模.若S是凝聚環(huán), 則M是GC-平坦S-模當(dāng)且僅當(dāng)M?SA是GC?SA-平坦A-模.

證明： 必要性.由文獻(xiàn)[9]中命題4.8直接可得.

充分性.假設(shè)M?SA是GC?SA-平坦A-模.斷言M?SA作為S-模是GC-平坦模.事實(shí)上,SA是有限生成投射模, 對任意內(nèi)射S-模I, 由文獻(xiàn)[11]中定理3.2.9和引理3.2.4可知,I?SA?HomS(AAS,IS)是內(nèi)射A-模, HomA(C?SA,I?SA)?HomS(C,I)?SA.故對?i≥1, 有

其中P·是M?SA的刪項(xiàng)投射分解.

此外, 有A-模正合序列

Z∶=0→M?SA→(C?SA)?AF0→(C?SA)?AF1→…,

其中每個(gè)Fi都是平坦A-模, 使得對任意的內(nèi)射A-模I, 復(fù)形Z?AHomA(C?SA,I)正合.注意到Z作為S-模序列也正合, 且對任意的內(nèi)射S-模I, 有

Z?SHomS(C,I)?(Z?AA)?SHomS(C,I)?Z?A(HomS(C,I)?SA)?Z?AHomA(C?SA,I?SA)

正合.所以由命題4知,M?SAS是GC-平坦模.因?yàn)镸S是M?SAS的直和項(xiàng), 故由命題2知,M是GC-平坦S-模.證畢.

由定理1充分性的證明過程可得如下推論.

推論1設(shè)A/S是Frobenius擴(kuò)張,M是任意A-模.若M是GC ?SA-平坦模, 則M作為S-模是GC-平坦模.

由文獻(xiàn)[12]中命題2.15的證明知,M是GC-平坦S-模當(dāng)且僅當(dāng)HomS(M,E)是GC-內(nèi)射S-模, 其中E是任意內(nèi)射S-模.對偶于文獻(xiàn)[8]中推論3.8, 用文獻(xiàn)[13]中命題3.8的證明方法, 有以下結(jié)論.

定理2設(shè)A/S是Frobenius擴(kuò)張,M是任意A-模.若S是凝聚環(huán), 則M是GC ?SA-平坦A-模當(dāng)且僅當(dāng)M作為S-模是GC-平坦模.

證明： 必要性.由推論1可得.

(3)

其中F0是平坦A-模,L0是GC?SA-平坦A-模.由推論1知,M?SA和L0作為S-模都是GC-平坦模.故由命題2知,C?SF0作為S-模也是GC-平坦模.

此外, 有映射i:MA→HomS(AAS,MS)(?M?SAA),i(m)(a)=ma, 其中m∈M,a∈A.易驗(yàn)證i是A-模單同態(tài), 且將i限制為S-模同態(tài)時(shí)是可裂的.令Q0=Coker(fi), 則有A-模短正合列:

(4)

f?SHomS(C,I): (M?SA)?SHomS(C,I) →(C?SF0)?SHomS(C,I).

(5)

再令N?Coker(i), 則有A-模短正合列:

(6)

i?SHomS(C,I):M?SHomS(C,I)→(M?SA)?SHomS(C,I).

(7)

因此, 由式(5)和式(7)有S-模短正合列：

0→M?SHomS(C,I)→(C?SF0)?SHomS(C,I)→Q0?SHomS(C,I)→0,

對Q0重復(fù)上述過程, 可得到一個(gè)在函子-?AHomA(C?SA,I)作用下保持正合性的短正合列:

0→Q0→C?SF1→Q1→0,

其中F1是平坦A-模,Q1作為S-模是GC-平坦模.歸納地, 可以構(gòu)造出一個(gè)A-模正合序列:

Z∶=0→M→C?SF0→C?SF1→…,

其中每個(gè)Fi是平坦A-模, 且對任意內(nèi)射A-模I, 復(fù)形Z?AHomA(C?SA,I)正合.證畢.

設(shè)C和D分別是Mod-S的兩個(gè)子范疇.一個(gè)函子F: C→D稱為Frobenius函子是指存在另一個(gè)函子G: D→C, 使得(F,G)和(G,F)都是伴隨對[14].根據(jù)定義1可知, -?SAA?HomR(AAS,-)是由Frobenius雙模AAS誘導(dǎo)的一個(gè)Frobenius函子.用GFC(S)表示所有GC-平坦S-模構(gòu)成的Mod-S的全子范疇, 則有如下推論.

推論2設(shè)A/S是一個(gè)Frobenius擴(kuò)張, 則Frobenius雙模AAS誘導(dǎo)了一個(gè)從GFC(S)到GFC?SA(A)的Frobenius函子.

證明： 根據(jù)假設(shè),T(=-?SAA)?H(=HomS(AAS,-)): Mod-S→Mod-A是同時(shí)以限制函子R為左和右伴隨的Frobenius函子.利用定理1和定理2, 分別有T|GFC(S)?GFC?SA(A)和R|GFC?SA(A)?GFC(S), 從而T是從GFC(S)到GFC?SA(A)的一個(gè)Frobenius函子.證畢.

2 GC-平坦維數(shù)

下面討論GC-平坦維數(shù)在Frobenius擴(kuò)張下的保持性.類似于經(jīng)典同調(diào)維數(shù)的定義, 定義模的GC-平坦維數(shù)如下.

定義4設(shè)M是S-模, 定義M的GC-平坦維數(shù)GC-fdS(M)為M的GC-平坦分解的最短長度, 即

GC-fdS(M)=inf{n|?GC-平坦分解0→Fn→…→F1→F0→M→0},

其中n是非負(fù)整數(shù).如果M沒有有限長度的GC-平坦分解, 則GC-fdS(M)=∞.

記GC-glfd(S)=sup{GC-fdS(M)|M是任意S-模}, 稱為環(huán)S的整體GC-平坦維數(shù).

定理3設(shè)A/S是Frobenius擴(kuò)張, 且S是凝聚環(huán), 則對于任意A-模M(M自然是一個(gè)S-模), 有GC-fdS(M)=GC?SA-fdA(M).

證明： 不妨設(shè)GC?SA-fdA(M)=n<∞, 則M有長為n的GC?SA-平坦分解.由定理2可知, 任意GC?SA-平坦A-模作為基環(huán)S上的模是GC-平坦S-模, 因此GC-fdS(M)≤n=GC?SA-fdA(M).

下證GC?SA-fdA(M)≤GC-fdS(M).設(shè)GC-fdS(M)=m<∞, 則有S-模正合序列:

0→Fm→Fm-1→…F1→F0→M→0,

(8)

其中Fi是GC-平坦S-模.對A-模M, 有A-模正合序列:

(9)

定理3表明, 相對于半對偶模的GC-平坦維數(shù)在環(huán)的Frobenius擴(kuò)張下是保持的.

定理4設(shè)A/S是Frobenius擴(kuò)張,S是凝聚環(huán), 則對于任意S-模M, 有

GC-fdS(M)=GC?SA-fdA(M?SA).

證明： 利用定理1, 類似于定理3的證明方法即可證結(jié)論.

由定理3和定理4可得如下推論.

推論3設(shè)A/S是Frobenius擴(kuò)張,S是凝聚環(huán), 則GC-glfd(S)=GC?SA-glfd(A).

推論4設(shè)A/S是Frobenius擴(kuò)張,S是凝聚環(huán), 則有下列結(jié)論：

1) 對任意的A-模M, GfdS(M)=GfdA(M)； 2) 對任意的S-模M, GfdS(M)=GfdA(M?SA)； 3)r.Gglfd(S)=r.Gglfd(A), 其中r.Gglfd(S)表示環(huán)S的右整體Gorenstein平坦維數(shù).

設(shè)C=S, 則推論4是文獻(xiàn)[1]中定理3.7對應(yīng)的結(jié)果.事實(shí)上, 本文去掉了文獻(xiàn)[1]中定理3.7的可分條件.

注2根據(jù)定理2和定理3的證明可知, 推論3和推論4中的S和A可以不交換.