具有恐懼效應(yīng)和空間異質(zhì)捕食-食餌模型的穩(wěn)態(tài)解

張萌萌, 李善兵

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 西安 710126)

0 引 言

目前, 具有恐懼效應(yīng)的捕食-食餌模型已得到廣泛關(guān)注[1-6]. 對(duì)于大多數(shù)生物物種, 它們生活的自然環(huán)境通常是空間異質(zhì)的. 因此, 除物種之間的直接效應(yīng)(獵殺)和間接效應(yīng)(恐懼效應(yīng))外, 種群間的動(dòng)態(tài)行為也會(huì)受環(huán)境異質(zhì)性的影響. 盡管已有許多數(shù)學(xué)模型定量研究了恐懼成本在捕食-食餌相互作用中的影響, 但關(guān)于空間異質(zhì)環(huán)境中恐懼成本對(duì)捕食-食餌模型影響的研究目前文獻(xiàn)報(bào)道較少[7]. 基于此, 本文考慮一類帶恐懼效應(yīng)和空間異質(zhì)的Holling Ⅲ型捕食-食餌模型:

(1)

這里:Ω為n中具有光滑邊界的有界開區(qū)域; Δ為L(zhǎng)apalce算子,u,v分別表示食餌和捕食者的種群密度;du,dv分別表示食餌和捕食者的隨機(jī)擴(kuò)散系數(shù); 參數(shù)r,k,d,a,m,c均為常數(shù), 其中r>0表示食餌的出生率,d>0表示食餌的自然死亡率,a>0表示食餌的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng),c>0為轉(zhuǎn)化率,k≥0表示恐懼的程度,m∈表示捕食者的自然增長(zhǎng)率; 捕食-食餌相互作用系數(shù)b(x)>0是空間依賴函數(shù)而不是常數(shù).

本文主要討論恐懼成本和空間異質(zhì)對(duì)系統(tǒng)(1)穩(wěn)態(tài)解的影響, 其中系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解滿足如下非線性橢圓方程:

(2)

首先, 利用Riesz-Schauder理論和比較原理分析其平凡解和半平凡解的局部漸近穩(wěn)定性和全局吸引性; 其次, 利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論建立其正穩(wěn)態(tài)解存在的充分條件.

1 平凡解和半平凡解的穩(wěn)定性

進(jìn)一步, 關(guān)于λ1(d,q(x))有如下性質(zhì).

命題1[8-9]下列結(jié)論成立:

1)λ1(d,q(x))關(guān)于q(x)連續(xù)且單調(diào)遞增, 即當(dāng)q1(x)≤q2(x)且q1(x)≠q2(x)時(shí),λ1(d,q1(x))<λ1(d,q2(x));

定理1下列結(jié)論成立:

1) 當(dāng)rd或m>0時(shí), (0,0)是不穩(wěn)定的;

由Riesz-Schauder理論可知, 算子L((r-d)/a,0)的譜點(diǎn)σ(L((r-d)/a,0))由實(shí)特征值構(gòu)成, 且

利用拋物方程的比較原理, 可得如下平凡解和半平凡解的全局吸引性.

定理2下列結(jié)論成立:

證明: 由于1)～3)的證明類似, 因此這里只給出3)的證明.由系統(tǒng)(1)中v(x,t)的方程可知, 當(dāng)(x,t)∈Ω×(0,∞)時(shí), 有

設(shè)V(x,t)為如下方程的解:

由系統(tǒng)(1)中u(x,t)的方程可知, 當(dāng)(x,t)∈Ω×[Tε1,∞)時(shí), 有

令U(x,t)為如下方程的解:

再由系統(tǒng)(1)中v(x,t)的方程可得

2 正解的存在性

下面用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論, 建立系統(tǒng)(2)正解存在的充分條件.首先給出系統(tǒng)(2)正解的先驗(yàn)估計(jì).

證明: 由系統(tǒng)(2)關(guān)于u(x,t)的方程可知,

進(jìn)一步, 當(dāng)m>0時(shí), 由u(x,t)的方程可知,

indexW(A,U)=index(A,U,W)=indexW(I-A,U,0),

其中I是一個(gè)單位映射, 假設(shè)y是 A的一個(gè)孤立不動(dòng)點(diǎn), 則在W上, A在y處的指標(biāo)為indexW(A,y)=index(A,U(y),W), 其中U(y)是y在W上的一個(gè)小鄰域.

假設(shè)E=Ey⊕Sy, 其中Ey是E的閉線性子空間,Wy是生成子空間.A在y處的指標(biāo)可由文獻(xiàn)[10](或文獻(xiàn)[7])的結(jié)果計(jì)算.

命題2[10]假設(shè)Q:E→Ey是Ey沿著Sy的一個(gè)投影算子, 如果L(y)在Wy上沒(méi)有非零不動(dòng)點(diǎn), 則index(A,y)存在, 且下列結(jié)論成立:

1) 若Q°L(y)在Wy上有大于1的特征值, 則indexW(A,y)=0;

2) 若Q°L(y)在Wy上沒(méi)有大于1的特征值, 則indexW(A,y)=indexSy(L(y),0)=(-1)σ, 其中σ是L(y)限制在Sy上大于1的特征值的代數(shù)重?cái)?shù)之和.

對(duì)t∈[0,1], 定義一個(gè)Fréchet可導(dǎo)緊算子At:D→E如下：

這里M是一個(gè)充分大的數(shù), 使得

且

其中(u,v)∈D.

引理2假設(shè)r>d,m>0, 則下列結(jié)論成立：

1) indexW(A1,(0,0))=0;

為得到indexW(A1,(0,m)), 下面分析Q°L1(0,m)的特征值, 其中Q:E→E(0,m)是E(0,m)沿著S(0,m)的投影算子.由Q的定義可知,Q°L1(0,m)的特征函數(shù)都有(φ,0)的形式, 其中φ是以下方程的非零解:

由文獻(xiàn)[11]中引理2.4可知, 當(dāng)λ1(du,-r/(1+km)+d)<0(>0)時(shí),

其中r[L]表示算子L的譜半徑.因此, 當(dāng)λ1(du,-r/(1+km)+d)<0時(shí),Q°L1(0,m)的特征值大于1, 故indexW(A1,(0,m))=0.另一方面, 如果λ1(du,-r/(1+km)+d)>0, 則Q°L1(0,m)沒(méi)有大于1的特征值.因此由命題2知, indexW(A1,(0,m))=(-1)σ, 其中σ是L1(0,m)限制在S(0,m)上大于1的特征值的代數(shù)重?cái)?shù)之和.下證σ=0.假設(shè)(φ,φ)∈S(0,m)是L1(0,m)的特征函數(shù),μ為對(duì)應(yīng)的特征值, 則φ=0,φ是以下方程的非零解:

引理3假設(shè)r>d,m<0, 則下列結(jié)論成立.

1) indexW(A1,(0,0))=0;

3) indexW(A1,D)=1.

借助引理2和引理3, 利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性, 可得下列系統(tǒng)(2)正解的存在性.

定理3假設(shè)r>d, 則下列結(jié)論成立:

3) 如果m=0, 則系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)正解.

1=indexW(A1,D)=indexW(A1,(0,0))+indexW(A1,((r-d)/a,0))+indexW(A1,(0,m))=0,

3) 假設(shè)(ui,vi)是系統(tǒng)(2)當(dāng)m=mi時(shí)的任一正解, 即(ui,vi)滿足

綜上, 本文討論了一類具有恐懼效應(yīng)和空間異質(zhì)的捕食-食餌模型的穩(wěn)態(tài)解, 并重點(diǎn)分析了模型平凡解和半平凡解的穩(wěn)定性以及正解的存在性. 首先利用Riesz-Schauder理論證明了平凡解和半平凡解的局部漸近穩(wěn)定性. 定理1結(jié)果表明, 恐懼效應(yīng)對(duì)半平凡解((r-d)/a,0)的局部穩(wěn)定性沒(méi)有影響, 但對(duì)半平凡解(0,m)的局部穩(wěn)定性有明顯影響.進(jìn)一步, 本文利用拋物方程的比較原理得到了平凡解和半平凡解的全局吸引性.定理2結(jié)果表明: 當(dāng)恐懼效應(yīng)較強(qiáng)時(shí), 半平凡解(0,m)是全局吸引的, 即當(dāng)恐懼效應(yīng)較強(qiáng)時(shí), 食餌物種更易滅絕； 同時(shí), 如果捕食者的死亡率過(guò)大, 則捕食者無(wú)法持久生存, 并最終會(huì)滅絕.最后, 借助不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論建立了模型共存解的存在性.定理3結(jié)果表明: 在r>d的條件下, 如果捕食者的自然增長(zhǎng)率是正的(i.e.,m>0)且沒(méi)有恐懼效應(yīng)(i.e.,k=0), 則模型共存解總是存在的; 但引入恐懼效應(yīng)后(i.e.,k>0), 只有恐懼效應(yīng)較弱時(shí), 模型共存解才可能存在, 即恐懼效應(yīng)對(duì)模型共存解的存在性有明顯影響.