改進(jìn)Mein-Larson模型的花崗巖殘積土邊坡降雨入滲研究

郭志峰，宿文姬，張 偉，鄭志文，魏平新

（1.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州 510640，2.廣東省地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測總站，廣州 510510）

0 引言

降雨是滑坡災(zāi)害中最為突出的一個致災(zāi)因素[1]，雨水下滲過程中，濕潤鋒面也同步向下推進(jìn)，導(dǎo)致邊坡性能軟化，安全系數(shù)逐步降低。在研究濕潤鋒向下發(fā)展的運(yùn)移規(guī)律中，多是將土體的初始含水率簡化為與標(biāo)高成正比的線性分布，而較少考慮土體中初始含水率非線性分布對于濕潤鋒運(yùn)移規(guī)律的影響，而實(shí)際上自然界中土體初始含水率的分布通常都是非線性的，充分考慮這一差異對于準(zhǔn)確描述濕潤鋒運(yùn)移規(guī)律是十分重要的，也關(guān)系到邊坡的穩(wěn)定性。

傳統(tǒng)Green-Ampt 降雨入滲模型以濕潤鋒為界，將土層分為兩個區(qū)域，以上為飽和層，以下為初始層，假定兩層土體含水率都均勻分布，而Mein-Larson 入滲模型則在Green-Ampt 入滲模型的基礎(chǔ)上考慮了坡面傾角和弱降雨—自由入滲的情況，適用性更廣。但實(shí)際的入滲過程中，土體的初始含水率分布并不均勻，基于此，眾多學(xué)者對于降雨入滲模型都進(jìn)行了部分改進(jìn)，以期能夠獲得適應(yīng)性和準(zhǔn)確性更強(qiáng)的入滲模型。如馬娟娟等[2]基于Green-Ampt 入滲模型考慮地表積水厚度變化，推導(dǎo)濕潤鋒入滲深度與時(shí)間的變化關(guān)系；彭振陽等[3]基于土體分層假定對Green-Ampt 入滲模型進(jìn)行改進(jìn)，推導(dǎo)出濕潤鋒橢圓形向下推進(jìn)時(shí)的入滲深度-時(shí)間變化規(guī)律，并基于Richards 方程的土壤水運(yùn)動模型進(jìn)行驗(yàn)證；唐揚(yáng)等[4]考慮初始含水率的線性分布，針對Mein-Larson 入滲模型進(jìn)行改進(jìn)，得出一種新的降雨模型，并與有限元法結(jié)果進(jìn)行對比，證實(shí)了土體初始含水率的分布影響到濕潤鋒的下移。杜京房等[5]采用修正Mein-Larson 入滲模型進(jìn)行干濕循環(huán)與降雨雙重因素影響下的邊坡穩(wěn)定性研究；陳俊成[6]基于Mein-Larson 入滲模型，假定土體初始含水率呈反比例分布，推導(dǎo)出強(qiáng)降雨和弱降雨階段的濕潤鋒入滲深度-時(shí)間變化關(guān)系，并針對改進(jìn)模型進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證與現(xiàn)場試驗(yàn)驗(yàn)證。

對于土體初始含水率呈指數(shù)型分布的研究還較少，綜上所述，本文將提出一種新的指數(shù)型函數(shù)來表征初始含水率分布，對Mein-Larson 模型進(jìn)行改進(jìn)，推導(dǎo)濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間的變化規(guī)律，并針對改進(jìn)模型進(jìn)行對比驗(yàn)證。

1 Mein-Larson入滲模型及改進(jìn)

1.1 傳統(tǒng)Mein-Larson入滲模型

20 世紀(jì)中葉，Mein 和Larson 兩位學(xué)者針對傳統(tǒng)G-A 模型未考慮邊坡傾角和弱降雨—自由入滲的不足進(jìn)行推導(dǎo)，提出了Mein-Larson 入滲模型（以下簡稱M-L 入滲模型）。它主要建立在以下幾個假定的前提下：①邊坡為均質(zhì)土體；②雨水入滲過程中，土體分為濕潤層和初始層兩層，兩層的含水率均勻分布，初始層含水率為初始體積含水率；③水分的傳導(dǎo)方向?yàn)榇怪逼旅嫦蛳录礉駶欎h面垂直坡面向下平行推進(jìn)；④濕潤鋒面處基質(zhì)吸力不變，為常量。

Mein-Larson 入滲模型如圖1 所示，先分析弱降雨—自由入滲階段即降雨強(qiáng)度小于土體入滲率階段，此時(shí)濕潤鋒以上的含水率為濕潤含水率θw，濕潤鋒以下的含水率為土體的初始含水率θi，坡面傾角為β，坡面上z*方向的入滲率為i，以坡面作為參考面，以沿坡面垂直向下作為z*軸正方向，θ 軸為土體的含水率軸，根據(jù)達(dá)西定律可得式：

式（1）中：hw為壓力水頭；K( )hw為與壓力水頭hw相關(guān)的土體滲透系數(shù)。

圖1 Mein-Larson入滲模型（自由入滲階段）Fig.1 Mein-Larson infiltration model（free infiltration stage）

根據(jù)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得式：

聯(lián)立式和式，整理可得：

圖2 Mein-Larson入滲模型（有壓入滲階段）Fig.2 Mein-Larson infiltration model（with pressure infiltration stage）

1.2 M-L入滲模型的改進(jìn)

傳統(tǒng)M-L 入滲模型假設(shè)土體初始含水率均勻分布，這顯然與自然土體中的含水率分布相差甚遠(yuǎn)，難以準(zhǔn)確描述土體中水分的分布情況，且為了簡化研究，將濕潤鋒的發(fā)展規(guī)律假設(shè)為直線均勻推進(jìn)，與實(shí)際情況不符。本文針對M-L 入滲模型存在的上述不足，基于分層假定引入一種新的指數(shù)型分布函數(shù)表征土體的含水率對其進(jìn)行改進(jìn)。

1.2.1 土體含水率分布函數(shù)修正

假定土體初始含水率分布函數(shù)為指數(shù)型分布，濕潤層內(nèi)土體的含水率為濕潤含水率θw，初始層內(nèi)的土體含水率為θi，改進(jìn)模型如圖3 所示，兩層區(qū)域的土體含水率分布函數(shù)如式（22）和式（23）：

式（23）中，Zf為濕潤鋒的入滲深度（m）；Z*為土體深度（m）；θs、θw分別為土體飽和含水率與濕潤層土體含水率；d 為地下水埋深（m）；θ0為土體含水率擬合參數(shù)，物理意義為表層土體含水率；a 為土體含水率擬合參數(shù)。

圖3 改進(jìn)M-L降雨入滲模型Fig.3 Improved M-L rainfall infiltration model

1.3 改進(jìn)Mein-Larson入滲模型的建立

本文提出的改進(jìn)降雨入滲模型分為弱降雨和強(qiáng)降雨兩個情況分別對應(yīng)自由入滲和有壓入滲，基于上述的假定來推導(dǎo)濕潤鋒入滲深度Zf與時(shí)間t的關(guān)系，先分析弱降雨—自由入滲階段，改進(jìn)降雨入滲模型如上圖3所示，由于此階段降雨強(qiáng)度恒小于土體入滲率，此時(shí)坡體法向的入滲率即為降雨強(qiáng)度在此方向的分量，表達(dá)式見式（26）。

對式（28）進(jìn)行積分運(yùn)算，并帶入初始條件Zf|t=0= 0，積分可得：

式（29）即為改進(jìn)之后，自由入滲階段濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間增長的變化關(guān)系式。

再來推導(dǎo)強(qiáng)降雨—有壓入滲階段，濕潤鋒隨時(shí)間的變化關(guān)系式。此階段降雨強(qiáng)度恒大于土體入滲率，由土體入滲能力控制水分入滲，由達(dá)西定律可以得知：

考慮邊坡入滲時(shí)間很長即形成穩(wěn)定的坡面徑流時(shí)的情況或坡面徑流高度較小時(shí)，此時(shí)可以將ho忽略不計(jì)。

同理，將累計(jì)入滲總量I對時(shí)間t求導(dǎo)，即為土體入滲率i(t)，聯(lián)立式（27）及式（30），化簡整理可得：

式（31）中C 為積分常數(shù)，代入初始條件 |Zft=0= 0便可求得。式（31）即為改進(jìn)之后，有壓入滲階段濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間增長的變化關(guān)系式。

當(dāng)降雨強(qiáng)度略大于土體的飽和入滲率時(shí)，降雨前期會發(fā)生自由入滲，經(jīng)過積水時(shí)刻后，發(fā)生有壓入滲，此時(shí)的水分入滲經(jīng)過自由入滲到有壓入滲的轉(zhuǎn)化。現(xiàn)進(jìn)行此入滲過程中濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間的變化關(guān)系的推導(dǎo)。

兩個階段的轉(zhuǎn)化時(shí)刻即為坡面開始積水時(shí)刻，設(shè)為tp，累計(jì)入滲雨量設(shè)為Ip，濕潤鋒入滲深度設(shè)為Zp，此時(shí)，土體入滲率在數(shù)值上就等于降雨強(qiáng)度在垂直坡面方向的分量。

聯(lián)立式（26）及式（30），可求解得到Zp如下所示：

坡面開始積水時(shí)刻的累計(jì)入滲雨量Ip表達(dá)式如式（33）：

當(dāng)t ＜tp（即自由入滲階段）時(shí)，濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間的變化關(guān)系表達(dá)式同式（29）。

當(dāng)t ≥tp（即有壓入滲階段）時(shí)，濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間的變化關(guān)系表達(dá)式需要對式（31）進(jìn)行修正，式（31）是以t = 0 作為入滲的開始時(shí)刻點(diǎn)，而實(shí)際上的有壓入滲階段發(fā)生在積水點(diǎn)之后也即t =tp之后的階段，并考慮將初始條件 |Zft = tp= Zp，則修正之后的表達(dá)式（37）如下式所示，其中累計(jì)入滲總量見式（25）：

式（29）及式（37）即為降雨強(qiáng)度略大于土體飽和入滲率時(shí)，全降雨階段的濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間的變化關(guān)系表達(dá)式。

2 改進(jìn)M-L入滲模型的驗(yàn)證

2.1 試驗(yàn)簡介

本文選取華南地區(qū)花崗巖殘積土邊坡來進(jìn)行改進(jìn)M-L 模型的試驗(yàn)驗(yàn)證。該試驗(yàn)邊坡坡高10 m，坡長20 m，坡角為30°，地下水埋深7 m，其基質(zhì)吸力水頭取為8.14×10-2m，土體的具體參數(shù)列于下表1所示。

表1 花崗巖殘積土計(jì)算參數(shù)Table 1 Calculation parameters of granite residual soil

表中：θr為土體殘余含水率；θs為土體飽和含水率；Ks為土體飽和滲透系數(shù)(m·d-1)；α、n 為土體特征曲線擬合參數(shù)。

2.2 改進(jìn)后的土體初始含水率分布驗(yàn)證

根據(jù)該邊坡在不同深度處的初始含水率數(shù)據(jù)，利用式（24）進(jìn)行擬合，該擬合結(jié)果見圖4。

圖4 土體初始含水率擬合結(jié)果Fig.4 Fitting results of soil initial moisture content

由上圖可知，R2=0.974擬合優(yōu)度接近于1，擬合效果具有可信度，依此便可以得到土體初始含水率隨深度的變化規(guī)律曲線，具體表達(dá)式見下式（38）。

2.3 濕潤鋒深度驗(yàn)證

本文改進(jìn)M-L 模型主要有弱降雨—自由入滲階段和強(qiáng)降雨—有壓入滲階段，依據(jù)該地區(qū)降雨數(shù)據(jù)，針對本試驗(yàn)邊坡模型選取兩個降雨強(qiáng)度，分別為R = 8.0和R = 50.8，另外在降雨強(qiáng)度略大于土體飽和入滲率時(shí)，存在一個弱降雨向強(qiáng)降雨轉(zhuǎn)化的階段，故增加一個降雨強(qiáng)度為R = 26.0，進(jìn)行驗(yàn)證。水分在入滲過程中，濕潤鋒上部的土體體積含水率通常不飽和，故此濕潤鋒上部土體體積含水率取為θw= 0.9,θs= 0.378，將a = 10.686，d =7m，β = 30o，θ0= 0.23，R = 0.192 代入式（29），便可以求得自由入滲階段降雨強(qiáng)度為8.0 的濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間的變化曲線，繪出該曲線如圖5 所示。將R = 0.624，Sf= 0.0814 m，Ks= 0.594 與上述參數(shù)分別代入式（34）、式（36），便可求得Ip=0.2643 m，tp= 0.489 d，將上述數(shù)據(jù)分別代入式（29）及 式（37）便可以求得降雨強(qiáng)度R = 26.0 時(shí)，在整個降雨入滲過程中，濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間的變化曲線。繪出該濕潤鋒入滲深度-時(shí)間變化曲線如圖6 所示。將R = 1.22 與上述參數(shù)代入式（37），便可求得降雨強(qiáng)度R = 50.8 時(shí)，在整個降雨入滲過程中，濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間的變化曲線。繪出該濕潤鋒入滲深度-時(shí)間變化曲線如圖7所示。

文獻(xiàn)[6]中的改進(jìn)降雨入滲模型是基于M-L 模型，考慮傾角和初始含水率呈反比例函數(shù)分布推導(dǎo)得出的，該反比例型初始含水率分布見式（39），式（40）為自由入滲和有壓入滲兩個階段的表達(dá)式，本文將其作為對比模型1。文獻(xiàn)[7]中的改進(jìn)降雨入滲模型則是基于G-A 模型，考慮傾角的影響推導(dǎo)得出的，式（41）為該模型的表達(dá)式，本文將其作為對比模型2。式（40）及式（41）中各物理量意義同本文。

式（39）中：A、B 為擬合參數(shù)；d 為地下水埋深（m）；θ0為坡面表層土初始含水率；θs為飽和含水率。針對本試驗(yàn)邊坡，各參數(shù)分別取值為A =0.8306，B = 3.0709，d = 7 m、θ0= 0.232，θs= 0.42，h0= 0。式（41）中Kw取為土體的飽和滲透系數(shù)。將上述兩個模型得出的解以及本文M-L 改進(jìn)模型的解與數(shù)值解進(jìn)行對比分析，分析結(jié)果列于表2。

表2 不同降雨條件下濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間的變化關(guān)系Table 2 Variation of wetting front infiltration depth with time under different rainfall conditions

工況2 中：本文改進(jìn)模型積水時(shí)刻為0.536 d，此時(shí)濕潤鋒入滲深度2.183 m；對比模型1 積水時(shí)刻為0.722 d，濕潤鋒入滲深度3.523 m；對比模型2積水時(shí)刻為0.569 d，入滲深度2.182 m。

由上表可以看出，本文改進(jìn)降雨入滲M-L 模型的計(jì)算結(jié)果與模型1、模型2 及數(shù)值解均具有較好的一致性，按照本文的模型來考慮初始含水率非線性的指數(shù)型分布是可靠的。分析上表，即可看出在工況1 和工況3 兩種情況下，本文提出的模型計(jì)算結(jié)果與模型-1 的計(jì)算結(jié)果相比，濕潤鋒入滲深度較小；在工況-2 情況下，本文的改進(jìn)模型計(jì)算結(jié)果較模型-1 的計(jì)算結(jié)果相比較大，這主要的原因在于：模型-1 中的初始含水率分布是假定為均勻分布與實(shí)際土體中含水率分布的不均勻所導(dǎo)致的。這得出的結(jié)論與文獻(xiàn)[6]得到的結(jié)論也是一致的。由下圖5 與圖6 對比分析可以看出模型-2 的計(jì)算結(jié)果與本文模型變化規(guī)律是大致相同的，這主要是因?yàn)閮煞N模型都是基于指數(shù)型初始含水率的分布形式推導(dǎo)得出的。

圖5 工況1濕潤鋒-時(shí)間變化曲線Fig.5 Wetting front-time curve of working condition 1

圖6 工況2濕潤鋒-時(shí)間變化曲線Fig.6 Wetting front-time curve of working condition 2

圖7 工況3濕潤鋒-時(shí)間變化曲線Fig.7 Wetting front-time curve of working condition 3

對比上述三圖可以得出：在弱降雨-自由入滲階段，濕潤鋒的入滲規(guī)律隨時(shí)間基本上呈線性變化的，這大致上有兩方面的原因：其一是該階段的入滲主要由降雨強(qiáng)度控制；其二是降雨強(qiáng)度過小，累積入滲量過小，不足以推進(jìn)濕潤鋒向深處發(fā)展。在自由入滲—有壓入滲轉(zhuǎn)化階段，本文改進(jìn)模型的積水時(shí)刻較對比模型1早了4.5 h，在工程上來講是更偏于安全的，完全可以接受。而對比模型2 與其他三個模型的解在同一時(shí)刻，濕潤鋒入滲深度差值較大，吻合度較低，主要是因?yàn)閷Ρ饶Ｐ? 將初始含水率假定為均勻分布，過于依賴初始含水率的取值，敏感性太大，這充分說明初始含水率非線性分布的必要性。積水時(shí)刻之后，本階段大致以濕潤鋒入滲深度為4 m 時(shí)為界，變化曲線逐漸呈現(xiàn)出指數(shù)變化的形式，其原因大致有兩個，其一是越靠近地下水位，其土體初始含水率便越大，入滲所需的雨量便越小，則在降雨強(qiáng)度不變的條件下，濕潤鋒的入滲速率便越快。其二是坡面上方形成徑流，導(dǎo)致濕潤鋒下滲的動力增加，下滲的速率加快。同理，在強(qiáng)降雨-有壓入滲階段，大致以3.5 m為界，變化曲線呈現(xiàn)指數(shù)變化規(guī)律，也可由此解釋。

3 結(jié)論與建議

（1）本文提出了一種新的基于指數(shù)型的土體初始含水率分布擬合函數(shù)，用來研究邊坡在降雨過程中，濕潤鋒入滲深度隨時(shí)間的變化規(guī)律，通過數(shù)值模擬與實(shí)際土體邊坡初始含水率分布驗(yàn)證了該擬合函數(shù)的準(zhǔn)確性與適用性。

（2）通過對比前人提出的兩種入滲模型和數(shù)值模型解，發(fā)現(xiàn)本文改進(jìn)入滲模型與數(shù)值模型的擬合效果相較前人提出的兩種模型效果更佳，且與前人提出的初始含水率呈反比例分布的模型具有較好的一致性，極大消除M-L 模型考慮初始含水率線性分布的不足，本文改進(jìn)M-L 入滲模型較前人模型出現(xiàn)坡面積水的時(shí)刻早4.5 h，積水時(shí)刻之后的濕潤鋒入滲深度-時(shí)間變化曲線呈現(xiàn)指數(shù)型發(fā)展的規(guī)律，與數(shù)值模型解具有一致性，說明了本文提出的改進(jìn)模型比前人提出的兩種模型效果更佳。