基于信賴域算法擬合的城市道路亮度模型及其在臨時道路照明的應(yīng)用

王 威，鄭敏杰，李 昀

(上海城建市政工程(集團)有限公司，上海 200065)

引言

在城市道路、橋梁、地鐵等大型基礎(chǔ)設(shè)施施工期間，原有道路被占用，需要建設(shè)臨時道路供社會車輛和行人通行，并配置相應(yīng)的路燈確保道路暢通及安全。臨時道路的路燈安裝有三個特點：1)為節(jié)約投資，通常對原有路燈平移搬遷，直接利用；2)受到周邊構(gòu)筑物、市政管線、交叉施工的影響，燈具安裝高度、間距、燈具與道路邊線的水平距離等需因地制宜而無法做到統(tǒng)一、均勻分布；3)臨時道路隨著施工安排，可能需要多次改變路線走向，配置的路燈也要隨之遷移且需要快速調(diào)整和布置。

由于原有路燈在長期使用后存在照明效果衰減現(xiàn)象，在搬遷利用時必須要面對的一個問題是路燈的實際照明效果能否滿足臨時道路需求。而原有路燈的照明效果因受到累計使用時間、所處地區(qū)、衛(wèi)生環(huán)境、路燈本身特性等多種因素影響，很難通過理論計算得出結(jié)果。

針對臨時道路的照明需求，既要滿足道路照明規(guī)范中對路面亮度的要求，又要適應(yīng)臨時道路快速調(diào)整的需求，本文建立了一個簡明實用的路面亮度模型，以實測路面亮度值擬合模型參數(shù)，結(jié)合路燈照明覆蓋的道路范圍計算平均亮度。如果超出規(guī)范允許范圍，可以通過調(diào)節(jié)路燈功率、改變路燈間距等措施進行改善，達到既滿足照明需求，又節(jié)約能源的目的。該方法使用亮度儀在現(xiàn)場采集路燈亮度值數(shù)據(jù)，經(jīng)數(shù)學(xué)模型處理后，計算出路燈照明效果，具有高效率、低成本的優(yōu)勢，適用于市政工程臨時道路照明設(shè)計需要。

1 路面亮度測量現(xiàn)狀

《城市道路照明設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》(CJJ 45—2015)附錄A中給出了路面亮度和路面照度之間的簡化換算公式[1]。黃珂[2]通過研究在固定照明條件下道路照明評價指標(biāo)的測量方法，表明可以通過在道路上用數(shù)碼相機拍照這一方便快捷的方法來近似計算道路照明的光度參數(shù)。拍照后利用圖像處理軟件分析數(shù)碼照片，最后計算得出結(jié)果。王靜等[3]對城市夜景照明的測量技術(shù)進行研究，得到目標(biāo)亮度分布的數(shù)學(xué)模型。IEN(意大利國家電子技術(shù)研究院)研制出了移動式亮度、照度測量裝置，測量車以一定速度行駛過某路段，電腦就可以通過外部的探頭記錄該路段的照明指標(biāo)[4]。

2 基于信賴域算法的路面亮度模型

針對臨時道路，本文假定路燈為單光源，在路燈的功率、燈具與路面的垂直高度均為常數(shù)的情況下，建立路面亮度數(shù)學(xué)模型表達式，該模型刻畫了燈具照明范圍各點的亮度值，通過實測數(shù)據(jù)，以信賴域算法擬合該模型，得到相關(guān)參數(shù)。然后根據(jù)需要計算的路面范圍對該模型進行積分，再除以路面面積得到亮度平均值，判斷是否滿足規(guī)范要求。

2.1 建立路面亮度模型

以路燈燈具正投影中心為坐標(biāo)原點，X軸平行于道路邊線，建立平面直角坐標(biāo)系，路面亮度模型：

L=A·(x-x0)2+B·(y-y0)2+C

(1)

式中，L為所求點位的亮度，單位cd/m2；A、B、C為待定系數(shù)，通過擬合求得，A、B單位cd/m4，C單位cd/m2；

x、y為所求亮度點的坐標(biāo)，單位m；

x0、y0為路面亮度中心的坐標(biāo)，通過擬合確定，單位m。由于燈具形狀、俯仰角度、制造、安裝的誤差等因素影響，路面亮度中心不一定與坐標(biāo)原點重合。

對式(1)二重積分，計算路燈覆蓋道路區(qū)域的總亮度：

(2)

再對式(2)除以路燈計算區(qū)域面積，得到平均亮度：

(3)

2.2 信賴域擬合算法

基于上述路面亮度模型，采用瞄點式亮度計對臨時道路路面亮度進行實測，評價模型擬合結(jié)果的基本思想為最小二乘，即“計算值與實測值的誤差平方和最小”，此時式(4)的一階導(dǎo)數(shù)逼近0。

(4)

將式(1)代入式(4)，各實測xi、yi、Li數(shù)據(jù)已知，得到包括未知數(shù)A、B、C、x0、y0的多項式(5)，稱為目標(biāo)函數(shù)。令向量X=(A,B,C,x0,y0)T

(C-Li)2

(5)

信賴域算法采用一個簡化的二次函數(shù)mk近似目標(biāo)函數(shù)，mk采用目標(biāo)函數(shù)在點Xk處的泰勒展開式的前三項。然后選取一個信賴半徑Δk，在其中尋找使mk下降最快的更新量d作為迭代步長。而mk作為二次函數(shù)，當(dāng)其一階導(dǎo)數(shù)逼近0時，可以認(rèn)為已達極值點，求得此時的待定系數(shù)向量X。

信賴域算法不依賴固定步長，而是可以根據(jù)求解情況調(diào)整信賴域半徑，更容易逼近最優(yōu)解，得到的結(jié)果是整體收斂的[5]。

式(5)第k次迭代的二次函數(shù)下降量

(6)

式(6)中g(shù)k為f(X)在k點的一階導(dǎo)數(shù)，

(7)

Hk為f(X)在k點的二階導(dǎo)數(shù)，

(8)

Xk=Xk-1+d=(Ak-1+dA,Bk-1+dB,

Ck-1+dC,x0k-1+dx0,y0k-1+dy0)T

(9)

而k點處目標(biāo)函數(shù)的下降為

Δfk=f(Xk-1)-f(Xk)

(10)

定義rk=Δfk/Δmk，如果rk接近1，則說明二次函數(shù)下降近似于目標(biāo)函數(shù)，此時Xk可以作為新的迭代點；若rk<0，Xk不能作為迭代點，則需要縮小信賴域半徑重新求解二次函數(shù)。

信賴域擬合的基本步驟可以歸納如下：

①選取初始參數(shù)；

③求解二次函數(shù)下降量Δmk和目標(biāo)函數(shù)的下降量Δfk；

④計算rk，根據(jù)結(jié)果決定是否修正信賴域半徑；

⑤迭代進入第k+1點，重復(fù)第②—④步。

3 計算實例

杭州某立交橋工程因施工需要建設(shè)了一條臨時道路供社會車輛行人通行。臨時道路路面材料為瀝青混凝土，道路類型為次干道，路邊安裝了可遠程控制的智能路燈。選擇1根燈具垂直高度10.32 m、功率90 W的路燈，燈具在路面的正投影點為坐標(biāo)原點，相鄰兩根燈桿的間距分別為20 m和25 m，燈具與道路邊線的水平距離為1 m。用瞄點式亮度計觀測了19個點的亮度數(shù)據(jù)，見表1。亮度計分辨率為0.001 cd/m2，重復(fù)性0.001 cd/m2，精度優(yōu)于±5%。

表1 路面亮度實測數(shù)據(jù)Table 1 Road surface brightness measured data table

基于2.1節(jié)中所述的信賴域算法擬合步驟，擬合得到路面亮度模型式(11)，擬合結(jié)果如圖1所示，擬合結(jié)果偏差統(tǒng)計見表2。

表2 路面亮度擬合結(jié)果偏差統(tǒng)計Table 2 Deviation statistics of road surface brightness fitting results

圖1 路面亮度模型擬合結(jié)果Fig.1 Fitting results of road brightness model

L=-0.02175×(x+2.23)2-0.0213×

(y-4.707)2+2.285

(11)

該擬合的效果統(tǒng)計評價指標(biāo)分別為：誤差平方和SSE=0.3524，確定系數(shù)R-square=0.9，均方根RMSE=0.1586。

本文采集亮度數(shù)據(jù)的環(huán)境為城市主干道，周邊光源情況復(fù)雜。作為臨時道路照明，通常路燈使用時間在1年之內(nèi)，可以通過調(diào)節(jié)路燈功率、減少路燈間距等方式彌補誤差，如圖2所示。

圖2 路燈布置平面圖Fig.2 Streetlamp layout plan

對式(11)積分得到總亮度(路燈水平方向照明覆蓋范圍取相鄰燈桿間距的一半)

(y-4.707)2+2.285)dxdy=182.0399 cd/m2

參照城市道路照明設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)CJJ 45—2015中對次干道的平均亮度要求為1.0～1.5 cd/m2，因此該路燈照明覆蓋范圍內(nèi)的路面亮度在設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)允許范圍內(nèi)。

4 結(jié)論與展望

本文假設(shè)了單光源路燈照明條件下計算路面平均亮度的數(shù)學(xué)模型，該模型通過路燈照明范圍內(nèi)的實測亮度擬合得到待定參數(shù)，對該模型先積分再除以計算面積可以得到照明范圍內(nèi)的平均亮度值，從而判斷是否符合照明規(guī)范要求。該模型的算法簡明，只需用手持瞄點式亮度計采集少量數(shù)據(jù)，再配以計算軟件即可得到結(jié)果。在城市臨時道路的路燈無法做到均勻、統(tǒng)一布置，并且需要多次遷移的情況下，應(yīng)用該模型可以合理、高效地確定路燈桿位置，具有較好的實際應(yīng)用價值。

在智能路燈遠程控制技術(shù)已經(jīng)成熟的條件下，可以將“智能化亮度采集——平均亮度計算——功率修正策略——遠程自動調(diào)整路燈功率”這一工作流程作為今后研究的方向，達到節(jié)約能源消耗的目標(biāo)。