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    隨機(jī)變化耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步與信道衰落估計

    2022-07-29 03:35:56劉小斌張金南董宏麗
    東北石油大學(xué)學(xué)報 2022年3期
    關(guān)鍵詞:時變網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)信道

    劉小斌, 張金南, 侯 男, 董宏麗

    ( 1. 上海電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 中德工程學(xué)院,上海 201411; 2. 東北石油大學(xué) 人工智能能源研究院,黑龍江 大慶 163318; 3. 東北石油大學(xué) 黑龍江省網(wǎng)絡(luò)化與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗室,黑龍江 大慶 163318; 4. 東北石油大學(xué) 三亞海洋油氣研究院,海南 三亞 572025 )

    0 引言

    隨控制理論和信息技術(shù)的發(fā)展,有關(guān)復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)(如傳感器網(wǎng)絡(luò)、多智能體、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))的研究增多[1-5]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由一系列相互作用的動態(tài)單元組成,包括自然界中的食物網(wǎng)、蜂窩,以及人類生活中的生物網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)等[6-8]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特征是存在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)耦合,其動力學(xué)行為研究涵蓋控制、穩(wěn)定性、同步與狀態(tài)估計等問題[9-12]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步可理解為,在初始條件不同的情況下,各個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)或子系統(tǒng)通過相互作用使輸出趨于接近。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步現(xiàn)象常見且重要,如掛在同一個橫梁上的兩個鐘擺通過橫梁而相互作用,經(jīng)過一段時間后自然地出現(xiàn)同步擺動;5G無線通信網(wǎng)絡(luò)通過各基站間交互信令,實(shí)現(xiàn)時鐘同步(發(fā)射與接收數(shù)據(jù)的時間基準(zhǔn)相同),保證基站有序傳輸數(shù)據(jù),避免產(chǎn)生強(qiáng)烈干擾而影響正常運(yùn)轉(zhuǎn)。

    狀態(tài)估計作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的另一種動態(tài)行為分析,受到人們廣泛關(guān)注[13-15]。在網(wǎng)絡(luò)實(shí)時監(jiān)控、故障診斷和工業(yè)生產(chǎn)等需要掌握網(wǎng)絡(luò)行為特征的工程應(yīng)用中,準(zhǔn)確且全面地獲取網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài),是保證設(shè)計實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵。由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)規(guī)模大、節(jié)點(diǎn)耦合強(qiáng)或環(huán)境條件惡劣等因素,難以直接獲取全部網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)信息。基于可獲得的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的傳感器測量信號,在給定性能指標(biāo)的約束下設(shè)計狀態(tài)估計器,得到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)盡可能準(zhǔn)確的近似值。如EDWARDS C等提出分布式觀測器結(jié)構(gòu),估計由正時變耦合強(qiáng)度連接的大型半線性網(wǎng)絡(luò)狀態(tài),并應(yīng)用于互聯(lián)柔性連桿機(jī)器人系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò),估計電機(jī)軸與連桿角位置和速度[14]。

    復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外耦合描述不同節(jié)點(diǎn)之間的連接強(qiáng)度或拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),內(nèi)耦合反映一個節(jié)點(diǎn)內(nèi)部各狀態(tài)分量的連接情況[16],復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外耦合或內(nèi)耦合是固定的。當(dāng)發(fā)生鏈路故障、重建連接、通道阻塞、網(wǎng)絡(luò)攻擊或其他突發(fā)現(xiàn)象時,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外耦合發(fā)生改變;當(dāng)受到工作條件或環(huán)境擾動等影響時,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)耦合發(fā)生改變,可能對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的性能產(chǎn)生作用[17]。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的性能分析過程中,考慮耦合變化可以有效保證研究的現(xiàn)實(shí)性及有效性。有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的不固定外耦合和內(nèi)耦合的研究包括切換拓?fù)鋄18-19]、時變拓?fù)鋄20-21]、馬爾可夫切換拓?fù)鋄22]、不確定內(nèi)耦合[23]、時變內(nèi)耦合[24]及隨機(jī)內(nèi)耦合[25]等,其中馬爾可夫鏈通過轉(zhuǎn)移概率反映模態(tài)切換,是典型的隨機(jī)切換模型,用來描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)變化耦合強(qiáng)度現(xiàn)象。

    隨網(wǎng)絡(luò)通信的產(chǎn)生,在信號傳輸網(wǎng)絡(luò)為生產(chǎn)提供便利的同時,通信信道帶寬有限等物理條件易引發(fā)多種網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)現(xiàn)象[26-28]。特別是當(dāng)信號通過無線通信信道傳輸時,受地理位置或障礙物影響而引起反射和衍射,導(dǎo)致接收到的信號包含來自不同路徑的信號分量。在接收端,各路徑信號分量的到達(dá)時間和相位不盡相同,與原信號相比,它們迭加后導(dǎo)致信號振幅變化和延遲,降低信號的質(zhì)量和精度,稱為多路徑衰落[29-30]。相較于使用理想測量信號,使用信道衰落信號設(shè)計估計器更加反映真實(shí)情況。人們在信道衰落研究方面取得進(jìn)展[31-33],如SHEN Y等引入Rice衰落模型,描述傳感器測量信號經(jīng)由衰落信道傳輸至濾波器時,隨機(jī)發(fā)生數(shù)據(jù)缺失及延遲,為克服測量信號的時滯項給數(shù)學(xué)推導(dǎo)帶來影響,設(shè)計遞歸濾波器。

    在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的實(shí)際使用過程中,發(fā)生元件老化和工作條件差異等現(xiàn)象,使系統(tǒng)的模型參數(shù)具有時變特性[34-35]。引入時變參數(shù)可以較準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動態(tài)演變,提高研究的可靠性和應(yīng)用有效性。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)也受到環(huán)境的隨機(jī)突變、部件故障或子系統(tǒng)互聯(lián)等擾動,直接影響系統(tǒng)的狀態(tài)和動態(tài)性能。為避免建模理想化,在狀態(tài)中考慮乘性噪聲和加性噪聲以反映存在的擾動[36-37]。實(shí)際系統(tǒng)一般還具有非線性特性,在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分析與綜合研究過程中,不可缺少對非線性的處理[38-39]。因此,非線性時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步及信道衰落估計,是符合工程需要和亟待解決的基礎(chǔ)研究課題。

    首先,介紹一類貼合實(shí)際的具有乘性噪聲和加性噪聲的時變離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的拓?fù)溥B接和內(nèi)耦合連接強(qiáng)度隨機(jī)變化,隨機(jī)性由馬爾可夫鏈刻畫,模態(tài)按照轉(zhuǎn)移概率隨機(jī)切換。其次,分析系統(tǒng)的同步性能和設(shè)計復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)H∞同步方法。再其次,基于更為一般化的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型,考慮實(shí)際測量傳輸時產(chǎn)生數(shù)據(jù)隨機(jī)缺失和延遲等,采用信道衰落的數(shù)學(xué)模型反映信息不完全現(xiàn)象,設(shè)計基于信道衰落的H∞狀態(tài)估計器;借助于計算遞歸矩陣不等式確定H∞估計器增益。最后,通過兩個仿真實(shí)例說明設(shè)計方法是可行的。

    1 問題描述

    在有限域[0,N0]上,考慮節(jié)點(diǎn)個數(shù)為Λ的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。節(jié)點(diǎn)i(i=1,2,…,Λ)動態(tài):

    (1)

    式中:xi(k)和zi(k)分別為節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)向量和輸出向量;?j(k)符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,即?j(k)~N(0,1);若γjq(k)≠0,則Γq(k)diag{γ1q(k),γ2q(k),…,γrxq(k)}≥0為連接第j(j=1,2,…,rx)個狀態(tài)變量的內(nèi)耦合矩陣;v(k)表示干擾;A0(k)、B0j(k)(j=1,2,…,a)、Gi(k)和E0(k)為已知且維數(shù)恰當(dāng)?shù)膮?shù)矩陣;非線性向量函數(shù)h(·)(h(0)=0)遵循約束條件:

    [h(x)-h(y)-H1(x-y)]T[h(x)-h(y)-H2(x-y)]≤0,?x,y∈Rrx,

    (2)

    式中:H1和H2為給定矩陣。馬爾可夫鏈q(k)(k≥0)在一個有限狀態(tài)空間{1,2,…,U}中取值。給定轉(zhuǎn)移概率矩陣Δ[πmn]U×U中的各個元素:

    Prob{q(k+1)=n|q(k)=m}=πmn,?m,n∈{1,2,…,U},

    注1受環(huán)境干擾或元件老化等影響,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部動態(tài)可能出現(xiàn)隨機(jī)特性。采用馬爾可夫鏈刻畫復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)變化耦合[19,22],并考慮乘性噪聲開展分析。

    (3)

    成立,那么離散時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為全局同步。

    2 同步分析

    (4)

    定理1在引理1情形下,如果存在常數(shù)c>0和矩陣Qm(k)>0,在初始條件

    (5)

    下,可保證遞歸矩陣不等式

    (6)

    成立,那么離散時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)為全局漸近同步,其中,

    證明根據(jù)式(1),可得xi(k)(i=1,2,…,Λ)的緊湊表達(dá)形式:

    h(x(k))+(Wm?Γm)x(k)+G(k)v(k)。

    (7)

    為簡便處理時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(7)的同步問題,選擇函數(shù):

    (8)

    式中:

    (9)

    (10)

    定義符號xir(k)xi(k)-xr(k)和hir(k)h(xi(k))-h(xr(k))。

    由約束條件(2)可得

    (11)

    借助于引理1并根據(jù)式(10)和(11),可得

    (12)

    考慮式(6),可得

    (13)

    對式(13)兩邊關(guān)于k由0至N0求和,可得

    進(jìn)而可得

    根據(jù)式(5),式(3)成立。

    注2受環(huán)境噪聲影響,在存在本質(zhì)非線性等工程的實(shí)際情況下,建立具有時變參數(shù)、隨機(jī)變化耦合、非線性、乘性噪聲和加性噪聲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)。在定理1中,給出使時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)實(shí)現(xiàn)同步的充分條件。計算遞歸矩陣不等式(6)的解集,使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)各個節(jié)點(diǎn)的輸出之差符合H∞性能指標(biāo)要求,即在任何干擾存在的情況下,不同節(jié)點(diǎn)的輸出之差仍低于給定的擾動衰減水平。

    3 估計器設(shè)計

    基于式(1),考慮表達(dá)形式更為一般的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)估計:

    (14)

    在傳感器測量信號經(jīng)由通信網(wǎng)絡(luò)傳輸至接收裝置(估計器)的過程中,發(fā)生信道衰落現(xiàn)象,使實(shí)際被接收到的信號不再是原測量信號,而是來源于多路徑且有強(qiáng)度差異的各信號分量相迭加。采用數(shù)學(xué)表達(dá)形式描述信道衰落信號:

    (15)

    注3不充分信息現(xiàn)象一方面來自于傳感器本身的特性(傳感器非線性、量化、飽和、傳感器分辨率引起的不確定性),另一方面來自于測量信號經(jīng)由網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中受外部環(huán)境和擾動等因素的影響,使原信號發(fā)生失真(信道衰落、測量丟失、誤碼、數(shù)據(jù)包錯序)。在信道衰落信號(15)中,被接收的信號為來自多個不同路徑的子信號的迭加。區(qū)間[0,1]上,按照概率密度函數(shù)隨機(jī)取值的信道系數(shù),反映各個信道中信號幅值的衰減。測量信號時滯描述由不同傳輸路徑的傳輸距離帶來的通信延遲。當(dāng)ε=0,δis(k)=1且Li(k)=0時,式(15)與理想測量信號相同。

    基于信道衰落信號(15),采用時變狀態(tài)估計器得到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(14)各節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)估計:

    (16)

    定義OmO(q(k))(O=Γ,ωir,Ki(k))和令和分別描述狀態(tài)與輸出的估計誤差。由式(14)和(16)可得:

    (17)

    為了數(shù)學(xué)表示簡便,定義變量:

    X(k)diag{X1(k),X2(k),…,XΛ(k)}(X=A,C,E),Bj(k)diag{B1j(k),B2j(k),…,BΛj(k)},

    根據(jù)式(14)和(17),可得xi(k+1)、ei(k+1)和zei(k)的緊湊形式:

    (18)

    (19)

    (20)

    設(shè)計復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(14)的時變狀態(tài)估計器(16)的增益參數(shù),使增廣估計誤差動態(tài)系統(tǒng)(20)滿足H∞性能指標(biāo)要求:

    當(dāng)k=-ε,-ε+1,…,-2,-1時,η(k)≠0,

    (21)

    式中:γ為已知的干擾抑制水平;Zζ(ζ=-ε,-ε+1,…,0)為已知的正定矩陣。

    分析增廣估計誤差動態(tài)系統(tǒng)(20)的有限域H∞性能,給出時變狀態(tài)估計器(16)的存在條件。利用遞歸矩陣不等式方法計算估計器(16)的未知增益。

    定理2給定干擾抑制水平γ>0及估計器增益參數(shù)Kim(k)(i=1,2,…,Λ)。如果存在正定矩陣Rm(k+1)>0,Pv(k)>0(v=1,2,…,ε)及正常數(shù)t,在初始條件

    (22)

    下,滿足不等式:

    (23)

    那么增廣估計誤差動態(tài)系統(tǒng)(20)滿足H∞性能指標(biāo)要求,其中,

    證明定義函數(shù):

    V(k,η(k),q(k))V1(k,η(k),q(k))+V2(k,η(k)),

    (24)

    為簡化表達(dá),令Rm(k)R(k,q(k)=m),計算V(k,η(k),q(k))的差分的數(shù)學(xué)期望:

    E{ΔV1(k,η(k),q(k))}=E{V1(k+1,η(k+1),q(k+1)=n)|η(k),q(k)=m}-V1(k,η(k),m)=

    ηT(k)Rm(k)η(k)。

    (25)

    式中:

    (26)

    考慮非線性約束條件(2),可得

    (27)

    則得

    根據(jù)式(23)和初始條件(22),可得式(21)成立。

    討論時變H∞狀態(tài)估計器(16)的增益參數(shù)Ki(k,q(k))的求解方法。

    定理3給定干擾抑制水平γ>0。若存在正定矩陣Rm(k+1)diag{R1m(k+1),R2m(k+1)}>0(R1m(k+1)diag{R11m(k+1),R12m(k+1),…,R1Λm(k+1)},R2m(k+1)diag{R21m(k+1),R22m(k+1),…,R2Λm(k+1)}),Pv(k)>0(v=1,…,ε),矩陣Φm(k)diag{0,Φ2m(k)}(Φ2m(k)diag{Φ21m(k),Φ22m(k),…,Φ2Λm(k)})和正常數(shù)t,在初始條件下,滿足遞歸矩陣不等式:

    (28)

    則增廣估計誤差動態(tài)(20)達(dá)到H∞性能指標(biāo)要求(21),其中,

    狀態(tài)估計器(16)的增益參數(shù)為

    證明式(23)與不等式等價:

    (29)

    根據(jù)Schur補(bǔ)引理,可得

    (30)

    時變狀態(tài)估計器(16)的設(shè)計算法:

    步驟4結(jié)束。

    注4基于定理2的H∞性能分析結(jié)果,在定理3中,對時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(14)提出有限域H∞狀態(tài)估計器(16)的設(shè)計方法。由遞歸矩陣不等式(28)可知,估計器設(shè)計方法形式簡單,易于實(shí)現(xiàn)。采用定理3的算法,可以在估計誤差達(dá)到H∞性能指標(biāo)要求(21)下,通過計算遞歸矩陣不等式的解,求出估計器(16)的增益參數(shù),可得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(14)的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的近似值。在有限域H∞性能指標(biāo)(21)的約束下,即使面對強(qiáng)烈噪聲,估計誤差也被限制在給定的干擾衰減水平下。定理3結(jié)果包括復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時變參數(shù)、非線性約束條件中的矩陣、描述隨機(jī)變化耦合強(qiáng)度切換的馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率、信道系數(shù)的均值和均方差。

    4 仿真實(shí)例

    例1考慮有限域[0,30],選擇復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(Λ=4)的參數(shù):

    給出非線性函數(shù)

    圖1 仿真實(shí)例1模態(tài)切換Fig.1 Mode switching of simulation example 1

    圖2 仿真實(shí)例1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步誤差Fig.2 The synchronization error of complex network in simulation example 1

    圖1為馬爾可夫鏈q(k)在轉(zhuǎn)移概率矩陣Δ下,隨時間在2個模態(tài)q(k)=1和q(k)=2之間的隨機(jī)切換情況。圖2為節(jié)點(diǎn)1的輸出z1(k)分別與其余3個節(jié)點(diǎn)的輸出z2(k)、z3(k)、z4(k)之間的同步誤差曲線。由圖2可知,在第0~13 s之間,節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的最大同步誤差是0.010,節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)3的最大同步誤差是0.026,節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)4的最大同步誤差是0.045;從第14 s開始,節(jié)點(diǎn)1與其余3個節(jié)點(diǎn)之間的輸出同步誤差開始趨于0。

    例2在有限域[0,30]上,選擇復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(Λ=4)的參數(shù):

    其他參數(shù)和非線性函數(shù)的選擇見例1。

    關(guān)于信道衰落信號(15),給出ε=2,選擇信道系數(shù)的概率密度函數(shù):

    表1 仿真實(shí)例2的時變狀態(tài)估計器增益參數(shù)

    圖3 仿真實(shí)例2輸出估計誤差Fig.3 Output estimation error of simulation example 2

    圖4 仿真實(shí)例2估計性能Fig.4 The estimation performance of simulation example 2

    5 結(jié)論

    (1)對于考慮時變參數(shù)、隨機(jī)變化耦合、非線性、乘性噪聲和加性噪聲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),設(shè)計H∞同步方法與基于信道衰落的H∞狀態(tài)估計器。

    (2)分別基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限域同步與估計性能分析,以遞歸矩陣不等式表示使同步誤差與估計誤差具有H∞性能的充分條件。

    (3)仿真實(shí)例證明設(shè)計方法具有有效性,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達(dá)到H∞同步,并且設(shè)計的狀態(tài)估計器使得估計誤差系統(tǒng)滿足H∞性能要求。在后續(xù)研究中,將基于部分網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的測量,討論具有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)現(xiàn)象的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)非脆弱性狀態(tài)估計。

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