基于最小二乘法的有源相控陣幅相校準(zhǔn)方法

黃 斌，尹 光，張 昊

（1 解放軍92941 部隊，遼寧 葫蘆島 125000；2 南京長峰航天電子科技有限公司，南京 210018）

0 引言

隨著雷達(dá)系統(tǒng)和數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展，雷達(dá)系統(tǒng)的功能更加復(fù)雜，系統(tǒng)集成度越來越高。模擬器件固有的幅相誤差，不可避免地會帶來相控陣?yán)走_(dá)各收發(fā)通道間的幅相特性不一致，從而導(dǎo)致相控陣?yán)走_(dá)性能下降等問題。為此，相關(guān)人員對雷達(dá)收發(fā)通道幅相一致性校準(zhǔn)問題進(jìn)行了研究。如：文獻(xiàn)［2］中通過構(gòu)造以陣列幅相誤差為未知量的代價函數(shù)，利用迭代的方法求取未知量的估計值，但該方法初始迭代值的選擇會對迭代收斂速度和結(jié)果造成了一定影響。文獻(xiàn)［3-5］采用最大似然原理構(gòu)建非線性的代價函數(shù)，得到了一種幅相誤差的自校正算法。雖然該方法估計精度高，但計算量較大。文獻(xiàn)［6-8］中提出根據(jù)通道幅相數(shù)據(jù)的希望權(quán)值，對通道幅相誤差進(jìn)行估計，按照不同的頻點進(jìn)行通道校準(zhǔn)。文獻(xiàn)中采用頻域校準(zhǔn)方法，需要將一定帶寬的接收通道劃分成帶寬較窄的多個子通道，同時對各個子通道接收到的數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT 變換，在頻域提取對應(yīng)的幅度信息和相位信息。針對具有一定帶寬的信號（接收通道），該方法仍無法精確計算其通道之間的幅度差和相位差，計算時間明顯加長。由此可以看出，目前陣列幅相誤差的物理測量或自校正算法仍存在不足，亟待后續(xù)改進(jìn)。

本文研究從時域信號出發(fā)，在時域完成延時和初相誤差的估計；采用過門限檢測技術(shù)，完成信號幅度校準(zhǔn)計算。相位提取時，利用寬帶信號的瞬時窄帶特性，構(gòu)造初相和觀測信號模型，采用最小二乘法實現(xiàn)相位特征參數(shù)的提取，并對其進(jìn)行優(yōu)化、轉(zhuǎn)化為二位矩陣計算；利用FFT 計算包絡(luò)自相關(guān)。因此，該方法不僅適用于任意樣式的雷達(dá)發(fā)射信號，而且由于所采用的方法均對噪聲有一定的適應(yīng)性，能夠?qū)π旁氡鹊陀?0 dB 以下的系統(tǒng)進(jìn)行校準(zhǔn)，適用于大多數(shù)的雷達(dá)發(fā)射系統(tǒng)。此外，算法還具有易于硬件實現(xiàn)、計算復(fù)雜度低、計算速度快等優(yōu)勢。

1 通道幅相校準(zhǔn)

基于最小二乘法的有源相控陣幅相校準(zhǔn)流程中，首先選定參考通道，采用希爾伯特變換，將采集的信號變換為解析信號；采用包絡(luò)檢波模塊提取信號包絡(luò)，利用過門限檢測電路計算幅度校準(zhǔn)系數(shù)，完成信號幅度校準(zhǔn)；對幅度校準(zhǔn)后的信號，利用包絡(luò)相關(guān)法計算各待校準(zhǔn)通道相對于參考通道的傳輸延時，并通過拋物線插值計算精延時，根據(jù)得到的傳輸延時，進(jìn)行待校準(zhǔn)通道的信號延時校準(zhǔn)；在完成各待校準(zhǔn)通道的延時校準(zhǔn)后，選取一定的信號樣本，采用最小二乘法計算各待校準(zhǔn)通道的初相，從而確定待校準(zhǔn)通道與參考通道之間的相位差，根據(jù)計算得到的相位差進(jìn)行各待校準(zhǔn)通道的相位差異校準(zhǔn)，使得各信號通道的幅相特性保持一致。

1.1 通道幅度校準(zhǔn)

在選定參考通道后，對各待校準(zhǔn)通道的幅度（增益）差異進(jìn)行校準(zhǔn)。將各通道模擬信號轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號，再利用Hilbert 變換，將其轉(zhuǎn)換成解析信號、即復(fù)信號。通過對各通道的解析信號進(jìn)行包絡(luò)檢波，從而計算得到復(fù)信號的幅度值，即：

其中，為復(fù)信號的實部；為復(fù)信號的虛部；為復(fù)信號的幅度值。

利用2 個通道過門限信號包絡(luò)幅度樣本點的平均值，計算幅度校準(zhǔn)系數(shù)。門限值通常設(shè)定為當(dāng)前接脈沖信號幅度最大值的0.2 倍。假定參考通道過門限信號包絡(luò)幅度的平均值為＿，待校準(zhǔn)通道過門限的信號包絡(luò)幅度的平均值為＿，則幅度校準(zhǔn)系數(shù)為：

根據(jù)求得的幅度校準(zhǔn)系數(shù)＿，對待校準(zhǔn)通道的信號包絡(luò)幅度和信號幅度進(jìn)行校準(zhǔn)。使得待校準(zhǔn)通道的信號包絡(luò)幅度和信號幅度與參考通道保持一致。在FPGA 中，采用一個復(fù)數(shù)乘法器即可完成校準(zhǔn)。

1.2 通道延時校準(zhǔn)

完成包絡(luò)幅度校準(zhǔn)后，待校準(zhǔn)通道信號包絡(luò)進(jìn)行自相關(guān)粗延時計算。為了避免快速傅里葉變換計算卷積帶來的疊加模糊問題，對計算輸入的信號包絡(luò)進(jìn)行擴(kuò)展延拓、即補(bǔ)零操作，使得2 個序列的長度相同。參考通道延拓后的序列可直接進(jìn)行快速傅里葉變換，而對于待校準(zhǔn)通道，則先將延拓后的信號包絡(luò)序列進(jìn)行翻轉(zhuǎn)后，再進(jìn)行快速傅里葉變換。該算法實現(xiàn)過程可詳述如下。

（1）將參考通道的傅里葉變換結(jié)果與待校準(zhǔn)通道的傅里葉變換結(jié)果依次相乘，并對相乘后的序列進(jìn)行傅里葉逆變換，得到變換后的序列，其幅度序列為（）。找到傅里葉逆變換后幅度序列幅度最大值對應(yīng)的位置，并將其投影到下標(biāo)投影序列上，從而可以計算得到待校準(zhǔn)通道相對于參考通道的粗延時。最大值對應(yīng)的位置為，下標(biāo)投影計算得到的位置對應(yīng)的投影序列值為（），則粗延時的值為：

其中，為信號AD 的采樣率。

（2）利用插值計算精延時計算方法如下：根據(jù)相關(guān)系列的幅度序列，計算最大幅度值（）、最大幅度值左側(cè)的幅度值（1）以及右側(cè)幅度值（1）。精延時計算公式如下：

其中，t為計算得到的精延時。

將信號粗延時與精延時相加，就會得到待校準(zhǔn)通道相對于參考通道的精確延時，即：

（3）延時校準(zhǔn)。根據(jù)計算得到的精確延時，對待校準(zhǔn)通道進(jìn)行信號延時校準(zhǔn)。校準(zhǔn)實現(xiàn)如下。

計算待校準(zhǔn)信號為：

進(jìn)行延時校準(zhǔn)后的信號為：

其中，為待校準(zhǔn)通道信號進(jìn)行幅度校準(zhǔn)后的數(shù)字信號。

1.3 相位差異校準(zhǔn)

在完成待校準(zhǔn)通道的信號延時校準(zhǔn)后，采用最小二乘法計算參考通道與待校準(zhǔn)通道的初相，從而得到待校準(zhǔn)通道與參考通道之間的相位差。構(gòu)建通道信號與其相位的數(shù)學(xué)模型為：

其中，表示通道信號的原始數(shù)據(jù)；為該通道信號的頻率值；［（1）（2）］，這里，（1）為通道信號初相對應(yīng)的余弦值，（2）為通道信號初相對應(yīng)的正弦值，即為該通道信號初相的正弦值和余弦值組成的二維向量。對此研究，擬展開研究論述如下。

（1）計算通道信號初相的正弦值和余弦值。根據(jù)通道信號與其相位的數(shù)學(xué)模型公式（8），可以按照公式（9）計算該通道信號初相的正弦值和余弦值，即：

（2）計算通道信號的初相。根據(jù)通道信號的初相的正弦值和余弦值，可以計算得到通道信號S 對應(yīng)的初相，即：

利用解模糊算法，計算得到對應(yīng)時刻通道信號的相位值。算法如下：

由于通道信號已經(jīng)過翻轉(zhuǎn)處理，因此需要對初相值進(jìn)行校準(zhǔn)。校準(zhǔn)后的通道信號的初相為360。

根據(jù)上述流程，分別計算得到參考通道信號的初相值與待校準(zhǔn)通道信號的初相值，即計算待校準(zhǔn)通道信號與參考通道信號的相位差為。

（3）相位差異校準(zhǔn)。在得到2 個通道的相位差后，利用公式來進(jìn)行待校準(zhǔn)通道信號相位差異校準(zhǔn)。此處需用到的公式為：

其中，＿為完成延時校準(zhǔn)后的信號，＿＿為完成幅度、延時和相位校準(zhǔn)后的待校準(zhǔn)通道輸出信號。

2 仿真實現(xiàn)

為了驗證本文校準(zhǔn)方法的性能，對多通道射頻信號的幅相延時特性差異校準(zhǔn)進(jìn)行仿真分析。由于多通道的校準(zhǔn)與雙通道類似，均以其中一個通道為參考，剩余通道以此為基準(zhǔn)校準(zhǔn)。因此，本文僅對選取其中2 個信號通道的校準(zhǔn)過程和結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)討論。

仿真實驗中，相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：射頻校準(zhǔn)信號的中心頻率為2 GHz，脈寬為5 us，脈沖重復(fù)周期為100 us。采集數(shù)據(jù)板的中頻頻率為250 MHz，A／D 采樣頻率為1 GHz，校準(zhǔn)信號樣本點數(shù)為8 192 點，采集起始距脈沖前沿800 ns，發(fā)射信號信噪比15 dB。

在系統(tǒng)通道校準(zhǔn)過程中，由信號源提供中頻測試信號，測試信號通過功分網(wǎng)絡(luò)分成多路，分別注入到相控陣?yán)走_(dá)系統(tǒng)的各個發(fā)射通道中，完成發(fā)射通道對應(yīng)的變頻、放大等發(fā)射處理。在射頻輸出端，采用多通道數(shù)采器對相控陣?yán)走_(dá)發(fā)射輸出端的多路射頻信號進(jìn)行采集，選取其中一路通道作為參考通道、即通道1，其余通道作為待校準(zhǔn)通道。數(shù)采器對經(jīng)過各通道的信號進(jìn)行采集，并將輸入的射頻信號進(jìn)行下變頻，得到250 MHz 的中頻信號，再通過A／D 模塊采集信號中頻、數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)采樣率為1 GHz。利用本文的幅相校準(zhǔn)方法，對中頻信號進(jìn)行Hilbert 變換后，采用相關(guān)法計算待校準(zhǔn)通道信號相對于參考通道信號的幅度差異及延時差異，并進(jìn)行校準(zhǔn)；再利用最小二乘法，分別估計2 個通道的相位差，并對待校準(zhǔn)通道的信號進(jìn)行相位補(bǔ)償。對于多個射頻通道，實現(xiàn)方式采用兩兩校準(zhǔn)，完成整個系統(tǒng)差異性補(bǔ)償。

2.1 采集校準(zhǔn)參考信號

經(jīng)過不同通道的信號時域圖及信號包絡(luò)圖如圖1、圖2 所示。由圖1、圖2 可知，不同發(fā)射通道之間，由于器件特性存在差異，經(jīng)過通道后輸出的射頻信號在幅度增益、鏈路延時和信號初相之間存在一定的差異。

圖1 經(jīng)過不同通道后的信號時域圖Fig.1 Time-domain signals after different channels

圖2 經(jīng)過不同通道后的信號包絡(luò)圖Fig.2 Envelope diagram of signals after different channels

2.2 幅度延時校準(zhǔn)

計算參考通道信號與待校準(zhǔn)通道信號的幅度差異和延時差異。其中，幅度差異由包絡(luò)均值對比得到，而高精度延時差異值則采用包絡(luò)相關(guān)和多項式插值法計算得到，并對幅度延時進(jìn)行補(bǔ)償。與傳統(tǒng)相關(guān)法相比，采用包絡(luò)相關(guān)法可以有效避免信號周期起伏帶來的峰值穩(wěn)定性差異，使該求解方法能夠適用于較低的信噪比環(huán)境；采用拋物線插值可以提高延時求解的精度。對于傳統(tǒng)相關(guān)法，求解精度為1（為采樣率）。本次仿真中，傳統(tǒng)相關(guān)法求解精度只能達(dá)到1 ns，而采用插值后，求解精度能到達(dá)到0.1 ns。對于上述校準(zhǔn)信號，計算得到延時差異為1.416 428 077 101 513e-08 s，即14.164 280 771 ns，其延時精度為0.1 ns。根據(jù)計算得到的延時差對通道2的信號進(jìn)行補(bǔ)償，結(jié)果如圖3 和圖4 所示。

圖3 經(jīng)過幅度延時校準(zhǔn)后的2 個通道信號時域Fig.3 Time-domain signals of two channels after amplitude error and time delay calibration

圖4 經(jīng)過幅度延時校準(zhǔn)后的2 個通道信號包絡(luò)Fig.4 Envelope diagram of signals after amplitude error and time delay calibration

由圖3～圖4 中可見，經(jīng)過幅度和延時校準(zhǔn)后，兩通道信號的延時已經(jīng)完全消除，不同發(fā)射通道的輸出信號在時域上已經(jīng)能夠完全重合。

2.3 相位差異校準(zhǔn)

經(jīng)過延時幅度校準(zhǔn)后，通道1 信號與通道2 信號的包絡(luò)完全重合，幅度延時誤差已經(jīng)完全校準(zhǔn)。由信號的時域圖可以看出，信號并不能夠重合，因為不同發(fā)射通道的鏈路對信號初相的影響存在一定的差異，需要求解不同信號通道差異帶來的相位誤差，并對相位誤差進(jìn)行補(bǔ)償。在本次校準(zhǔn)實驗中，采用200 個樣本點計算一次相位差，得到的相位差為：-2.413 519 811 395 667e+02°，即通道2 信號與通道1 信號由于發(fā)射鏈路帶來的初相誤差為-241.351 98°。得到相位誤差后，再對信號通道的相位差異性進(jìn)行補(bǔ)償，最終的校準(zhǔn)結(jié)果如圖5 所示。

圖5 完成幅相一致性校準(zhǔn)后的2 個通道信號Fig.5 Two channel signals with completed amplitude-phase calibration

對2 個通道完成幅相誤差校準(zhǔn)后，又利用數(shù)采器對2 個通道的信號進(jìn)行采集，不進(jìn)行任何處理，直接提取校準(zhǔn)通道后的兩通道信號的幅度、延時和相位差異，并與未校準(zhǔn)前對比，對比結(jié)果見表1。

表1 通道校準(zhǔn)前、后提取幅相差異對比Tab.1 Comparison of amplitude and phase differences before and after channels calibration

根據(jù)校準(zhǔn)前、后提取的兩通道幅相差異對比分析可知，采用本文方法進(jìn)行相控陣?yán)走_(dá)發(fā)射通道信號校準(zhǔn)后，通道差異性大大降低，具有較高的校準(zhǔn)精度。

3 結(jié)束語

本文針對相控陣?yán)走_(dá)多個發(fā)射通道的幅相特性差異，以及DBF（Digital Beam Forming）接收整列多通道的幅相差異，避免時域?qū)拵盘栃?zhǔn)困難的問題，提出了基于最小二乘法的幅相校準(zhǔn)方法。在提取相位時，利用寬帶信號的瞬時窄帶特性，采用最小二乘法實現(xiàn)相位特征參數(shù)的提取，由于相位提取時只需要少數(shù)采樣點參與計算，使其能夠應(yīng)用于任何形式的雷達(dá)信號。采用一塊獨立的校準(zhǔn)單元，配置相關(guān)通道數(shù)，即可完成對應(yīng)通道數(shù)目的發(fā)射鏈路通道校準(zhǔn)。在多個項目的陣列通道校準(zhǔn)工作中，已經(jīng)驗證本文的校準(zhǔn)方法具有較高的信噪比容忍度，在10 dB 以下信噪比仍然具有較高的校準(zhǔn)精度。因此，該方法還可應(yīng)用于接收通道的校準(zhǔn)，目前已在部分DBF 項目中進(jìn)行應(yīng)用。