基于三維極限分析法的GIM和SRM邊坡安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

洪 勇，邵珠山，石廣斌，聶興信

(1.西安建筑科技大學(xué)資源工程學(xué)院，陜西 西安 710055；2.西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055； 3.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710055)

自然界以及工程邊坡更多的具有三維空間特性，運(yùn)用三維穩(wěn)定性分析方法研究邊坡穩(wěn)定性更符合實(shí)際情況。目前三維邊坡穩(wěn)定性分析方法主要有極限平衡法、數(shù)值分析法和極限分析法[1]。極限平衡法是三維邊坡穩(wěn)定性分析中使用最為廣泛的方法，但大多數(shù)研究和應(yīng)用是從二維平面向三維空間的拓展和修正，使用中需對(duì)靜力平衡和滑動(dòng)面等做出許多假定，導(dǎo)致二維極限平衡法固有的一些缺陷和弊端在三維分析中依然沒有得到解決，有些不足甚至得到放大，對(duì)三維邊坡穩(wěn)定性分析結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生了一定的影響。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)值方法的發(fā)展，三維數(shù)值方法能夠準(zhǔn)確直觀地反映邊坡三維幾何形狀、邊界條件、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系等信息，模擬邊坡破壞漸進(jìn)過程，越來越廣泛地應(yīng)用于三維邊坡穩(wěn)定性分析，但工程人員熟練掌握還存在一定的困難，此外，分析和研究過程中存在邊坡破壞臨界標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一以及數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)結(jié)果存在差異等問題，在實(shí)際工程中應(yīng)用較少。極限分析法具有嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，且求解過程簡(jiǎn)便。2009年，Michalowski等[2]提出了一種三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型，基于該牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型，相關(guān)學(xué)者開展了大量的采用極限分析法的三維邊坡穩(wěn)定性的相關(guān)研究。

目前常用的計(jì)算邊坡安全系數(shù)FS的方法有強(qiáng)度折減法(strength reduction method，SRM)和容重增加法(gravity increase method，GIM)[3]。這兩種方法在運(yùn)用有限元法計(jì)算FS中研究較多。Zhang等[4-7]認(rèn)為SRM和GIM定義安全系數(shù)方式不同，使用范圍也略有不同。GIM定義簡(jiǎn)單明確，計(jì)算表達(dá)式為顯性；SRM由于其為隱式表達(dá)式需迭代計(jì)算，但在有限元計(jì)算中基于已有程序?qū)嵤┖?jiǎn)單而被普遍使用。Michalowski等[2]在其首次提出的三維牛角破壞模型極限分析上限理論中采用SRM計(jì)算FS，并從理論上分析了結(jié)果為最優(yōu)上限解時(shí)，對(duì)比其他研究結(jié)果僅是特定邊坡參數(shù)下的特定值。

基于三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型，國內(nèi)外眾多學(xué)者研究了不同破壞模式(坡趾破壞、坡面破壞、坡底破壞)[8]、邊坡幾何形態(tài)[9]、考慮土體非均質(zhì)性和各向異性[10]、邊坡裂縫[11]、加固形式[12]、孔隙水壓力[13]、地震荷載[3]、巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析[14]等復(fù)雜情況下邊坡三維極限分析，拓展了邊坡三維極限分析的應(yīng)用范圍，與其他研究結(jié)果比較表明，基于三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型的極限分析法可以用于邊坡穩(wěn)定性分析，但是計(jì)算FS時(shí)，主要基于SRM。Wang等[13]基于極限分析法，提出了一種分層總和法計(jì)算邊坡重力功率和內(nèi)能耗散，并結(jié)合極限分析理論和GIM的特點(diǎn)，在其相關(guān)研究中均采用GIM法計(jì)算FS；Yang等[3]分析探討了SRM和GIM在不同參數(shù)下的敏感性規(guī)律，并總結(jié)得出兩者經(jīng)驗(yàn)關(guān)系：SRM計(jì)算FS值為GIM的2/3次方；Saada等[14]采用GIM計(jì)算巖石FS，結(jié)果表明采用GIM與傳統(tǒng)的最大剪應(yīng)力與滑面剪應(yīng)力之比定義安全系數(shù)具有等效性。

由以上分析可知，SRM和GIM相關(guān)研究更多見于有限元法計(jì)算FS的研究中，而隨著極限分析法的快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，兩種方法在極限分析法中計(jì)算FS還需深入研究。鑒于此，本文建立了考慮坡頂傾角的三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型，基于極限分析理論構(gòu)建功率平衡方程，利用滿足約束條件的窮舉法優(yōu)化求解FS最小值，在考慮參數(shù)c/γH、內(nèi)摩擦角φ、坡頂傾角α以及邊坡傾角β的情況下，定量對(duì)比分析了SRM和GIM計(jì)算的邊坡安全系數(shù)，可為邊坡工程穩(wěn)定性分析、設(shè)計(jì)與施工提供參考。

1 三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型

圖1 三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型Fig.1 Horn-like rotational failure model of three-dimensional slope

r=r0e(θ-θ0)tanφ

(1)

(2)

圖1(a)中，過O軸任意平面與三維牛角相交所得剖面均為圓形，剖得所有圓心的連線為三維牛角狀圓錐面的中心軸線rm，如圖1(a)中虛線所示，可以表示為

(3)

過O軸所作平面與三維牛角狀曲面相交所得剖面圓半徑R可以表示為

(4)

對(duì)于寬度很大的邊坡，考慮模擬破壞的實(shí)際狀態(tài)，在三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型對(duì)稱面處插入寬度為b的塊體，如圖1(b)所示，隨著b的逐漸增大，插入段在組合破壞模型中逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，當(dāng)b→+∞時(shí)，邊坡三維穩(wěn)定性問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題。

2 邊坡三維穩(wěn)定性極限分析

極限分析上限理論可以表述為：在一個(gè)假設(shè)的運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)中，在滿足速度邊界條件和應(yīng)變與速度相容條件下，外力所做功率小于或等于內(nèi)部耗散功率。本文三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型的能耗計(jì)算包括重力產(chǎn)生功率和滑面內(nèi)能耗散。計(jì)算中，分別計(jì)算邊坡的三維牛角狀破壞部分和中間插入段能耗，然后統(tǒng)一建立三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型下的功能平衡方程。

2.1 外功率

邊坡外功率是由邊坡材料重力產(chǎn)生的功率。按照坡面形態(tài)，滑動(dòng)體由θ0-θB、θB-θC、θC-θh三部分組成，由這三部分產(chǎn)生的重力功率Wγ-3D計(jì)算表達(dá)式為

(5)

a、d和k分別為三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型中心軸線至坡頂AB、坡面BC和坡底CD的最短距離，可表達(dá)為

(6)

(7)

(8)

OB和OC對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角θB、θC由三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算可得：

(9)

(10)

(11)

式中L為AB段長度。

對(duì)重力功率計(jì)算式進(jìn)行解析積分可得：

(12)

平面插入段重力功率的計(jì)算與二維破壞模型類似，只需再乘以平面插入端的寬度b即可：

(13)

外功率總和為

W=Wγ-3D+Wγ-insert

(14)

2.2 內(nèi)能耗散率

破壞模型的內(nèi)能耗散率也由θ0-θB、θB-θC、θC-θh三部分組成，可以計(jì)算得到不含插入塊體的三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型的內(nèi)能耗散率為

(15)

平面插入段的內(nèi)能耗散率也可以分為三部分，平面插入段的內(nèi)能耗散率為

(16)

因此，破壞模型總的內(nèi)能耗散率為

DV=DV-3D+DV-insert

(17)

2.3 邊坡三維安全系數(shù)求解

根據(jù)虛功率原理，令整個(gè)三維牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型外功率與內(nèi)能耗散率相等，有：

Wγ-3D+Wγ-insert=DV-3D+DV-insert

(18)

將式(14)(17)代入公式(18)并化簡(jiǎn)可得：

(19)

3 安全系數(shù)求解

3.1 GIM

根據(jù)GIM的定義，F(xiàn)S為增加后的外力與初始外力之比，即

FS=kcr/k=qcr/q

(20)

式中：k、q分別為土體初始重力和荷載；kcr、qcr分別為增加后的重力和荷載。根據(jù)功率計(jì)算公式，功率與外力呈線性關(guān)系，因此，F(xiàn)S等于臨界外力功率Wcr除以實(shí)際外力功率W，即：

Wcr=WFS

(21)

基于極限分析上限理論，當(dāng)內(nèi)能耗散率等于增加外力所做功率時(shí)，三維邊坡處于極限平衡狀態(tài)，此時(shí)：

D=Wcr

(22)

聯(lián)合式(21)(22)可得：

FS=D/W

(23)

由式(23)可知，F(xiàn)S定義為內(nèi)能耗散率與外力做功功率之比，即

(24)

3.2 SRM

SRM基本原理是將土體強(qiáng)度參數(shù)(c、φ)同時(shí)除以折減系數(shù)F，將該組新參數(shù)作為土體強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，直至邊坡達(dá)到臨界破壞狀態(tài)，此時(shí)的F為邊坡安全系數(shù)FS，計(jì)算過程為

cm=c/F

(25)

tanφm=tanφ/F

(26)

將式(25)(26)代入式(24)可知：

(27)

式(27)是FS的隱函數(shù)。

3.3 最小安全系數(shù)

基于上述分析，將式(24)(27)轉(zhuǎn)化為求解：

minFS=FS(θ0,θh,β′,r0′/r0,b/H)

(28)

約束條件為

(29)

式中：b′為三維邊坡牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型的牛角部分最大寬度；B為邊坡總寬度。

3.4 對(duì)比驗(yàn)證

自然狀態(tài)下的邊坡驗(yàn)證，是對(duì)一般黏性土三維邊坡進(jìn)行臨界高度及安全系數(shù)驗(yàn)證。眾所周知，當(dāng)具有臨界高度的三維邊坡處于極限狀態(tài)時(shí)，其安全系數(shù)等于1.0。Taylor[15]最早定義無量綱參數(shù)γH/c為邊坡穩(wěn)定性系數(shù)NS，現(xiàn)有相關(guān)研究沿用該定義方式[2]，NS能反映邊坡的安全狀態(tài)?；谖墨I(xiàn)[2，8-9]中γH/c值，分別采用SRM和GIM計(jì)算FS，以驗(yàn)證本文方法及程序的正確性，驗(yàn)證結(jié)果如表1所示。

表1 本文研究與現(xiàn)有研究結(jié)果對(duì)比

圖2 邊坡安全系數(shù)優(yōu)化求解流程Fig.2 Optimization solving process of slope safety factor

4 邊坡三維效應(yīng)及參數(shù)分析

4.1 邊坡案例

為分析兩種方法計(jì)算FS結(jié)果的不同，以某一均質(zhì)邊坡進(jìn)行參數(shù)分析，該邊坡主要參數(shù)為：φ=15°，β=60°，在參數(shù)c/γH=0.116以及B/H=1.0時(shí)，相關(guān)學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究。計(jì)算結(jié)果表明該邊坡二維情形下FS為1.0，其中基于極限分析法的上限法和下限法計(jì)算結(jié)果分別為1.02和0.98[16]，二維分析時(shí)各方法一致性較好；三維分析時(shí)，本文計(jì)算結(jié)果分別為1.484(GIM)和1.325(SRM)，而盧坤林[16]、Hungr等[17]、Leshchinski等[18]、Hovlan[19]計(jì)算結(jié)果分別為1.26、1.23、1.25和1.189，Huang等[20]等基于簡(jiǎn)化和嚴(yán)格的三維極限平衡法計(jì)算結(jié)果分別為1.204和1.243，Li[21]等基于上限法和下限法計(jì)算結(jié)果分別為1.44和1.27。

對(duì)比已有研究，本文采用GIM和SRM兩種方法求解FS結(jié)果與上限法計(jì)算結(jié)果接近，而相比其他學(xué)者計(jì)算結(jié)果均偏大。與上限法計(jì)算結(jié)果接近原因?yàn)檠芯坷碚撓嗤?，都基于極限分析法上限理論。相比于其他文獻(xiàn)，本文計(jì)算結(jié)果偏大的原因是三維牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型計(jì)算邊坡安全系數(shù)時(shí)，假定邊坡滑體形態(tài)為兩端牛角狀三維錐體+中間平面插入段，與文獻(xiàn)[16]中圓柱+錐體形態(tài)滑體類似，計(jì)算規(guī)律與文獻(xiàn)[16]規(guī)律一致。對(duì)于二維均質(zhì)邊坡，Leshchinsky等[18]采用變分法嚴(yán)格證明了對(duì)數(shù)螺旋線(牛角轉(zhuǎn)動(dòng)破壞模型上下邊界線)破壞模型是邊坡極限平衡閉合解對(duì)應(yīng)的最危險(xiǎn)破壞機(jī)制，且與極限分析法上限解等效，但是拓展至三維空間，對(duì)數(shù)螺旋破壞模型是否為均質(zhì)邊坡最危險(xiǎn)破壞機(jī)制還需進(jìn)一步研究。但無論采用哪一種破壞模型，只要與邊坡最危險(xiǎn)破壞機(jī)制接近，該破壞模型下邊坡相關(guān)參數(shù)就能定量反映邊坡穩(wěn)定性影響規(guī)律，即滑體形態(tài)不影響邊坡參數(shù)對(duì)邊坡穩(wěn)定性的規(guī)律。

4.2 邊坡三維效應(yīng)分析

上述算例中，邊坡二維和三維安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果相差較大，且三維相比二維計(jì)算結(jié)果偏大。以上限法為例，三維比二維計(jì)算結(jié)果大41.17%，表明邊坡具有明顯的空間效應(yīng)。對(duì)具有明顯空間效應(yīng)的邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，二維計(jì)算結(jié)果偏保守，按二維計(jì)算結(jié)果對(duì)邊坡進(jìn)行治理加固，其設(shè)計(jì)相對(duì)更安全，但一定程度上會(huì)帶來較大的經(jīng)濟(jì)和工程浪費(fèi)，反之，反演邊坡安全強(qiáng)度參數(shù)時(shí)會(huì)過高估計(jì)，使邊坡安全穩(wěn)定性評(píng)估和設(shè)計(jì)偏于不安全而產(chǎn)生隱患，因此邊坡穩(wěn)定性分析時(shí)需考慮邊坡空間效應(yīng)(寬高比B/H)的影響。為了研究不同B/H值時(shí)邊坡的三維穩(wěn)定性，分別選取邊坡不同B/H值，并采用GIM和SRM求解邊FS，如圖3所示。

圖3 不同寬高比下邊坡安全系數(shù)Fig.3 Safety factors of slope under different width to height ratio

由圖3可知，B/H對(duì)FS影響顯著，具體表現(xiàn)為：B/H<3時(shí)，邊坡三維效應(yīng)顯著，隨著B/H增加，F(xiàn)S急劇降低；B/H>3時(shí)，F(xiàn)S隨B/H增加而降低，但降低趨勢(shì)較緩，最終趨于1.0。從采用的計(jì)算方法分析，SRM所計(jì)算FS值小于GIM。隨著B/H減小，GIM所計(jì)算FS值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于SRM，而隨著B/H增加直至趨于二維分析時(shí)，兩種方法所計(jì)算FS值逐漸接近直至趨近1.0時(shí)相等。從FS具體數(shù)值分析，當(dāng)B/H=5時(shí)，GIM和SRM計(jì)算結(jié)果分別為1.073和1.048，相比二維平面計(jì)算結(jié)果分別大7.3%和4.8%，三維計(jì)算結(jié)果與二維計(jì)算結(jié)果相差分別在10%和5%以內(nèi)，可知B/H=5時(shí)邊坡穩(wěn)定性分析三維結(jié)果和二維結(jié)果相差較少，尤其采用SRM分析時(shí)。此外，絕大多數(shù)邊坡失穩(wěn)案例其寬高比B/H<5[16]，基于此，以前述邊坡案例B/H=5為例，分別采用GIM和SRM，研究不同參數(shù)c/γH、φ、α和β下FS變化規(guī)律。

4.3 參數(shù)分析與討論

圖4反映了不同參數(shù)c/γH、φ、α及β下采用GIM和SRM對(duì)FS的影響規(guī)律。由圖4可知，隨著c/γH和φ增大，F(xiàn)S提高，而隨著α和β增大，F(xiàn)S降低。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)FS=1時(shí)，兩種方法計(jì)算結(jié)果接近且近似都等于1；FS>1時(shí)，GIM計(jì)算結(jié)果大于SRM，且FS越高，GIM計(jì)算結(jié)果相對(duì)越大；FS<1時(shí)，SRM計(jì)算結(jié)果大于GIM，且FS越小，SRM計(jì)算結(jié)果相對(duì)越大。此外，F(xiàn)S>1表示邊坡穩(wěn)定，F(xiàn)S=1表示邊坡處于極限平衡狀態(tài)，F(xiàn)S<1表示邊坡不穩(wěn)定，與一般規(guī)律一致。

圖4 不同邊坡參數(shù)下邊坡安全系數(shù)Fig.4 Safety factors of slope under different slope parameters

具體而言，c/γH與FS呈線性關(guān)系，即隨著c/γH增大，F(xiàn)S線性提高。φ增大，F(xiàn)S增加，符合一般規(guī)律。當(dāng)FS>1時(shí)，隨著φ增大，GIM相比SRM計(jì)算結(jié)果呈顯著增加，這與兩種方法計(jì)算FS的原理一致。α增大時(shí)，F(xiàn)S減小，當(dāng)α逐漸增加至等于邊坡傾角時(shí)，邊坡可視為二級(jí)邊坡，符合隨邊坡傾角增加邊坡安全系數(shù)降低的一般規(guī)律。β越大，F(xiàn)S越小，且隨β增大呈顯著降低趨勢(shì)。

基于極限分析法分析邊坡安全穩(wěn)定性時(shí)，GIM和SRM計(jì)算FS存在差異，與兩種方法的計(jì)算原理不同有關(guān)。使用GIM時(shí)，增加巖土材料容重在增加下滑力的同時(shí)，也增加了抗滑力，從而使得FS計(jì)算值偏大，對(duì)于強(qiáng)度參數(shù)較大的邊坡尤甚，圖4(b)GIM計(jì)算所得FS曲線呈拋物線形，明顯反映了這一規(guī)律。使用SRM時(shí)，同時(shí)對(duì)邊坡巖土黏聚力和內(nèi)摩擦角進(jìn)行折減，再代入巖土模型進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算所得FS相對(duì)較小，計(jì)算結(jié)果相對(duì)保守，但結(jié)果樂于被工程技術(shù)人員接受。

FS計(jì)算結(jié)果對(duì)工程設(shè)計(jì)影響較大，GB 50330—2013《建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范》規(guī)定，對(duì)于一般工況下的永久邊坡，等級(jí)為一級(jí)、二級(jí)和三級(jí)時(shí)對(duì)應(yīng)安全系數(shù)分別為1.35、1.30和1.25，即相應(yīng)等級(jí)和工況邊坡的安全系數(shù)應(yīng)不小于規(guī)范規(guī)定值，不滿足時(shí)應(yīng)對(duì)邊坡進(jìn)行處理。以此規(guī)范為例，采用GIM和SRM取FS<1.35進(jìn)行分析，兩種方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖5所示。

圖5 SRM與GIM邊坡安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Result comparison of slope safety factor using SRM and GIM

由圖5可知，GIM和SRM計(jì)算結(jié)果誤差最大為10.46%，最小為0.09%，除最大誤差外其余均在10%以內(nèi)。FS<1.2時(shí)，兩種方法計(jì)算結(jié)果誤差均在5%以內(nèi)，整體呈現(xiàn)邊坡越穩(wěn)定(FS越大)，計(jì)算誤差越大；邊坡越趨于極限狀態(tài)(FS=1)，誤差越小甚至計(jì)算結(jié)果相等。對(duì)于按規(guī)范需加固邊坡，采用SRM計(jì)算FS結(jié)果偏保守，而GIM計(jì)算結(jié)果相對(duì)偏大，但誤差均在5%以內(nèi)，且邊坡越趨于極限狀態(tài)，兩種方法計(jì)算FS結(jié)果誤差越小甚至相等。對(duì)于穩(wěn)定性好以及非常穩(wěn)定的邊坡計(jì)算FS時(shí)，除了考慮邊坡荷載、幾何形態(tài)以及巖土體參數(shù)等因素外，還需關(guān)注計(jì)算方法對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。

5 結(jié) 論

a.基于極限分析理論所推導(dǎo)含坡頂傾角的邊坡安全系數(shù)FS計(jì)算表達(dá)式，利用MATHEMATICA軟件編寫的優(yōu)化計(jì)算程序計(jì)算邊坡的安全系數(shù)，對(duì)比已有研究結(jié)果表明，本文推導(dǎo)公式及編寫程序是正確有效的，且求解相對(duì)更優(yōu)。

b.寬高比B/H越小，邊坡三維效應(yīng)越顯著，反之，B/H越大，邊坡二維特性越明顯。B/H>5時(shí)，相比二維計(jì)算結(jié)果，GIM和SRM計(jì)算FS三維結(jié)果誤差分別在10%和5%以內(nèi)；B/H<5尤其當(dāng)B/H<3時(shí)，邊坡三維效應(yīng)不容忽視，采用三維模型及參數(shù)計(jì)算更符合邊坡工程實(shí)際情況。

c.安全系數(shù)FS隨參數(shù)c/γH和內(nèi)摩擦角φ的增大而提高，隨坡頂傾角α和邊坡傾角β的增大而降低。當(dāng)FS=1時(shí)，GIM和SRM計(jì)算結(jié)果接近且近似都等于1；FS>1時(shí)，GIM計(jì)算結(jié)果大于SRM，且FS越大，GIM計(jì)算結(jié)果相對(duì)越大；FS<1時(shí)，SRM計(jì)算結(jié)果大于GIM，且FS越小，SRM計(jì)算結(jié)果相對(duì)越大。對(duì)于FS在1.2以下的穩(wěn)定邊坡，GIM和SRM計(jì)算結(jié)果誤差在5%以內(nèi)，邊坡越接近極限穩(wěn)定狀態(tài)，兩種方法計(jì)算結(jié)果誤差越小。