基于命令濾波反步法的機(jī)械臂系統(tǒng)固定時間自適應(yīng)跟蹤控制

侯書超，趙 林

（青島大學(xué) 自動化學(xué)院，青島 266071）

在工業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，機(jī)械臂由于結(jié)構(gòu)簡單、易于操作和高效等優(yōu)點得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。機(jī)械臂的跟蹤控制問題一直以來就是人們的研究重點，因為這需要很高的控制精度和穩(wěn)定性[3-4]。近些年來，關(guān)于機(jī)械臂的跟蹤控制問題，提出了很多的控制方法，比如模型預(yù)測控制[5]、自適應(yīng)滑模控制[6]和迭代學(xué)習(xí)算法控制等。因為機(jī)械臂通常的工作環(huán)境比較復(fù)雜，在工作時可能會受到各種干擾的影響，其模型的系統(tǒng)參數(shù)難以獲得。反步法是一種迭代控制算法[7]，經(jīng)過多年的發(fā)展，目前已經(jīng)應(yīng)用到了很多領(lǐng)域，比如輸出調(diào)節(jié)、自適應(yīng)跟蹤控制[8]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[9]等。傳統(tǒng)的反步法需要模型的具體信息，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)不確定時，其應(yīng)用將受到限制。反步控制通常與自適應(yīng)神經(jīng)控制[10]或自適應(yīng)模糊控制[11]相結(jié)合，以處理非線性系統(tǒng)的未知動力學(xué)建模和參數(shù)不確定性問題。對于高階非線性系統(tǒng)，在反步設(shè)計過程中虛擬信號的重復(fù)微分會導(dǎo)致復(fù)雜性爆炸問題，這也限制了傳統(tǒng)反步設(shè)計在實踐中的進(jìn)一步發(fā)展。為了消除復(fù)雜性爆炸的影響，文獻(xiàn)[12]提出了動態(tài)面控制，引入了一階濾波器來解決虛擬信號的重復(fù)微分問題。當(dāng)動態(tài)面控制與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊邏輯系統(tǒng)逼近技術(shù)相結(jié)合時，它可以用于處理非線性系統(tǒng)，比如機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤問題[13-14]。然而，一階濾波器的引入將會帶來濾波誤差。在文獻(xiàn)[15]中首次提出了命令濾波反步法，這是一種改進(jìn)的反步控制方法，它將虛擬信號的導(dǎo)數(shù)近似代替命令濾波器的輸出。命令濾波反步法不僅可以解決復(fù)雜性爆炸問題，還可以通過結(jié)合補償信號來消除濾波誤差。雖然這些控制算法在理論上已經(jīng)取得了成功，但它們大多都是漸近穩(wěn)定，跟蹤誤差的上界無法確定。

對于機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤問題，收斂時間是一個非常重要的指標(biāo)，因此漸近收斂存在明顯的缺陷?；谶@個考慮，有學(xué)者提出了有限時間控制方法[16]，可以使系統(tǒng)狀態(tài)在預(yù)期時間內(nèi)快速收斂。當(dāng)初始狀態(tài)接近平衡狀態(tài)時，有限時間控制比漸近收斂具有更好的控制性能，如收斂速度更快和更好的抗干擾能力。近些年來，有限時間機(jī)械臂控制研究[17-18]受初始值影響較大，當(dāng)初始值遠(yuǎn)離平衡態(tài)時，收斂時間會變慢。固定時間控制[19]的收斂時間是預(yù)先確定的，與初始狀態(tài)無關(guān)。固定時間機(jī)械臂控制考慮[20-21]最終的跟蹤誤差收斂到原點附近期望的領(lǐng)域內(nèi)。但齒隙廣泛存在于物理系統(tǒng)和設(shè)備中，比如電磁、機(jī)械等領(lǐng)域執(zhí)行器和機(jī)械手系統(tǒng)。雖然目前已經(jīng)有了針對齒隙問題的控制方案，但是對于不確定的機(jī)械臂系統(tǒng)，同時考慮齒隙和固定時間的研究很少?；诖丝紤]，本文將對帶有齒隙的不確定機(jī)械臂系統(tǒng)，提出一種固定時間命令濾波反步方法。相比于其他方法，本文主要優(yōu)點如下所示：

（1）對比于文獻(xiàn)[17-18]中的有限時間機(jī)械臂系統(tǒng)，本文使用固定時間控制，不受系統(tǒng)初始狀態(tài)影響，最后的收斂速度也會更快且更加穩(wěn)定；

（2）對比于文獻(xiàn)[20-21]中的固定時間機(jī)械臂系統(tǒng)，本文使用命令濾波反步法，不僅避免了復(fù)雜性爆炸問題，而且結(jié)合補償信號消除了濾波誤差的影響，跟蹤誤差收斂到原點附近期望的足夠小的鄰域。

1 理論準(zhǔn)備

引理1[9]：對于正數(shù)λ1＞0，λ2＞0，γ∈（0，∞），如果一個連續(xù)函數(shù)滿足條件V˙（T）≤-λ1Va（t）-λ2Vb（t）+γ，存在?∈（0，1），那么V（t）將在時間Tr內(nèi)收斂到平衡點，Tr≤Tmax=

引理2[9]：存在一個正常數(shù)h＞0，r＞0 而且?（m，j）＞0 滿足以下不等式：

引理3：對于xi∈R，i=1，…，N，0＜q≤1，有以下不等式：

2 機(jī)械臂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本文所研究的機(jī)械臂的動力學(xué)模型如下：

式中：q∈Rn，∈Rn，∈Rn分別表示關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度；M（q）∈Rn×n為對稱正定慣性矩陣；C（q，）∈Rn×n為科里奧利向心矩陣；G（q）∈Rn為模型的重力力矩；ψ=?（τ）為關(guān)節(jié)力矩，由齒隙特征描述，τ= [τ1，…，τn]T∈Rn，?（τ）= [?1（τ1），…，?n（τn）]T∈Rn×n，而且有

式中：D＞0 代表直線的恒定斜率，Sr＞0，Sl＜0 是恒定參數(shù)，?i（t_）則代表?i（τi）沒有變化。

假設(shè)1：齒隙參數(shù)在已知范圍內(nèi)

然后，將?（τ）改寫為

式中：d（τ）= [d1（τ1），…，dn（τn） ]T，而且有

假設(shè)2：根據(jù)上述等式（5）和假設(shè)1，di（τi）滿足，其中λ 可表示為

注1：式（2）中的D 表示斜率，Sl和Sr表示非光滑齒隙非線性的寬度，所以在假設(shè)1 中的有界性假設(shè)是合理的。根據(jù)式（5）中di（τi）的定義，知道di（τi）是有界的，而控制器設(shè)計中不需要有界的λ。

關(guān)于動力學(xué)模型，如式（1），進(jìn)一步給出了以下性質(zhì)：

性質(zhì)1：0＜km1In＜M（q）＜km2In，其中km1，km2都是已知的正常數(shù)。

性質(zhì)2：動力學(xué)模型，如式（1），是具有未知動力學(xué)參數(shù)θ∈Rr1的線性參數(shù)。

性質(zhì)3：對于任何x∈Rn，都有xT（M˙（q）-2C（q，q˙））x=0。定義新的變量為

然后等式（1）可以被改寫為

式中：y∈Rn是系統(tǒng)的輸出。

3 控制器設(shè)計

將跟蹤誤差信號定義為

式中：xd是期望的輸 出信號；xi，c是 固定時間命令濾波器的輸出：

式中：αi-1是命令濾波器的輸入，i=2，…，n，ηi＞0 是一個小的常數(shù)，0＜p＜1，q＞1。

定義虛擬控制信號α1和控制器τ 分別為

式中：k1，k2，c11，c12，c21，c22均為正常數(shù)，關(guān)于自適應(yīng)更新律的定義如下：

式中：ρ＞0，Γ 是一個正定對稱矩陣。定義補償跟蹤誤差信號如下：

式中：ξ1是誤差補償，而且：

定理1：對于機(jī)械臂系統(tǒng)來說，如式（1），如果虛擬控制信號α1和控制力矩τ 選取類似于式（12），誤差補償機(jī)制如式（15），自適應(yīng)更新律如式（13），那么跟蹤誤差會在固定時間內(nèi)收斂到原點附近的一個很小的期望鄰域內(nèi)，而且閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號都有界。

證明：選擇李雅普諾夫函數(shù)為

對V1進(jìn)行求導(dǎo)得到：

接下來把α1和代入式（17），得到：

選擇另一個李雅普諾夫函數(shù)：

同樣對V2求導(dǎo)得到：

根據(jù)性質(zhì)2 和性質(zhì)3 可得：

根據(jù)楊氏不等式，有：

代入式（22）可得：

根據(jù)引理2，可以得到以下不等式：

將式（25）的結(jié)果代入式（24）中，得到：

接下來考慮補償系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)：

對式（27）求導(dǎo)得到：

根據(jù)有界性原則，有以下不等式：

代入可得：

設(shè)計李雅普諾夫函數(shù)

選擇李雅普諾夫函數(shù)

有：

根據(jù)不等式的性質(zhì)，可以得到：

C1，C2都是設(shè)計的參數(shù)而且都大于0，根據(jù)前文的引理2，得到以下兩個不等式：

所以可得到：

令

則不等式（40）可以轉(zhuǎn)化為

其中：

根據(jù)以上的分析，存在一個常數(shù)0＜?＜1，使得?i最終在固定時間內(nèi)收斂到：

而且ξi在固定時間內(nèi)收斂到：

固定時間

注2：式（12）中的虛擬信號α1用來保證等式（9）中的第1 個子系統(tǒng)在第1 步的反步設(shè)計過程中有期望的性能。然而傳統(tǒng)的反步法對需要α1反復(fù)求導(dǎo)，這會導(dǎo)致復(fù)雜性爆炸問題，如式（20）及式（22～26）所示。本文中使用命令濾波器的輸出來代替虛擬信號的導(dǎo)數(shù)α˙1，可以簡化計算過程。在濾波器如式（11）達(dá)到穩(wěn)定之前，濾波誤差（x2，c-α1）都會存在并且影響控制質(zhì)量。等式（15）的誤差補償機(jī)制可以消除濾波誤差帶來的影響，提高系統(tǒng)控制質(zhì)量，保證所需的控制性能。

注3：為了實現(xiàn)定理1，在參數(shù)選擇上，需要滿足以下要求：

由式（14）和式（46）～式（47）可得，跟蹤誤差的半徑由Δ1和Δ2決定，Δ1，Δ2的取值越大，跟蹤誤差的半徑就會越小。同理，固定時間控制的收斂時間Tr也和Δ1，Δ2有關(guān)，Δ1，Δ2的取值越大，收斂時間越短，收斂速度就越快。

4 仿真結(jié)果與分析

在本節(jié)中，將提出的算法應(yīng)用到單連桿機(jī)械臂系統(tǒng)中，利用Matlab 軟件進(jìn)行仿真分析，來證明此算法的有效性。單連桿關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的動態(tài)方程如下：

根據(jù)式（9），將下列方程作為本次仿真的研究對象：

式中：M=0.5，g=10，L=1，P=1，J=1。在仿真程序中，定義初始值為q（0）=0.159π rad，期望的輸出信號為xd=sin（t）rad。在參數(shù)選擇上，c11=c12=4，c21=c22=4，0.2，0.2｝。關(guān)于齒隙參數(shù)，選擇D=1，Sr=1，Sl=1。對于前文的性質(zhì)2 來說：

選擇動態(tài)回歸矩陣和θ：

虛擬控制信號α1和控制器τ 分別為

補償信號為

通過仿真得到的響應(yīng)曲線，如圖1～圖5所示。圖1展示了在固定時間控制下，關(guān)節(jié)構(gòu)型向量q 和期望輸出信號xd的跟蹤曲線圖，從圖中可以看出跟蹤效果良好。圖2是自適應(yīng)律?^的響應(yīng)曲線圖，可以看出，機(jī)械臂的關(guān)節(jié)配置向量最終在固定時間內(nèi)以足夠的精度收斂到參考信號，這意味著盡管存在不確定參數(shù)和未知齒隙，但仍能保證期望的跟蹤誤差。圖3是固定時間下濾波器輸出x2，c和虛擬控制信號α1的響應(yīng)曲線圖，可以看出在固定時間濾波器的作用下，虛擬控制信號被快速濾波。圖4和圖5分別是在固定時間控制和有限時間控制下，通過改變關(guān)節(jié)構(gòu)型向量的初始值q（0）來驗證固定時間的控制效果，以及對比有限時間控制的優(yōu)點。從這兩張圖可以看出，相比于有限時間控制，固定時間控制的收斂速度更快，而且不受初始狀態(tài)的影響，隨著時間的推移，最后的跟蹤誤差也更小，精確度更高。

圖1 機(jī)械臂系統(tǒng)的q 和xd 跟蹤響應(yīng)曲線Fig.1 Tracking response curve of q and xd of manipulator system

圖2 固定時間控制下（z=1，2，3，…）的響應(yīng)曲線Fig.2 Response curve of （z=1，2，3，…） under the fixed-time control

圖3 固定時間控制下的x2，c 和α1 的響應(yīng)曲線Fig.3 Response curve of x2，c and α1 under the fixed-time control

圖4 固定時間控制下改變初始值q（0）的響應(yīng)曲線Fig.4 Response curve of changing initial value q（0）under fixed time control

圖5 有限時間控制下改變初始值q（0）的響應(yīng)曲線Fig.5 Response curve of changing initial value q（0）under finite time control

5 結(jié)語

針對參數(shù)不確定、齒隙未知的機(jī)械臂系統(tǒng)，本文提出了一種自適應(yīng)固定時間命令濾波反步法來實現(xiàn)跟蹤控制。在高階非線性系統(tǒng)中，由于傳統(tǒng)反步法對虛擬控制信號的反復(fù)求導(dǎo)會導(dǎo)致復(fù)雜性爆炸，本文引入固定時間命令濾波器，用濾波器的輸出來代替虛擬控制信號的導(dǎo)數(shù)，以此來避免復(fù)雜性爆炸問題。而且，提出的誤差補償機(jī)制可以補償濾波誤差，得到更好的控制質(zhì)量。因為固定時間控制的收斂時間是預(yù)先確定的，所以本文所使用的固定時間控制算法，可以不受初始狀態(tài)的影響。最終，閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號都有節(jié)且收斂，跟蹤誤差也在固定時間內(nèi)收斂到原點附近的期望領(lǐng)域內(nèi)。