基于邊長漸變多邊形平面螺旋電感的數(shù)學(xué)模型分析

劉勇 邱宇

(1、中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所,安徽 合肥 230088 2、安徽省天線與微波工程實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230088)

1 概述

在當(dāng)今世界,隨著全球信息化、網(wǎng)絡(luò)化和智能化的飛速發(fā)展,集成電路產(chǎn)業(yè)在國民經(jīng)濟(jì)中的地位越來越重要,它以其無窮的變革、創(chuàng)新和極強(qiáng)的滲透力,推動(dòng)著軍用裝備、移動(dòng)通信、智能終端等產(chǎn)業(yè)的發(fā)展進(jìn)程[1-3]。

電感是集成電路中的基本元件之一。由于集成度要求及工藝限制,集成電路中的電感通常設(shè)計(jì)為平面螺旋結(jié)構(gòu)[4-5]。平面螺旋電感通過后道工藝與集成電路制作在同一塊襯底上形成IC 芯片,如硅CMOS 芯片[6]、砷化鎵MMIC 芯片[7]。也可以在低損耗襯底上制作成嵌入式器件,形成功能化襯底,進(jìn)一步進(jìn)行系統(tǒng)封裝,如集成無源器件技術(shù)(IPD)技術(shù)[8-9]。值得一提,低溫共燒陶瓷(LTCC)技術(shù)[10]也可以制作平面螺旋電感。平面螺旋電感有兩個(gè)端口,采用垂直過渡、絕緣層隔離技術(shù),可將兩個(gè)端口分別引出與外部電路相連。

此前大多數(shù)研究者均旨在優(yōu)化平面螺旋電感結(jié)構(gòu)對電感性能的影響,并未涉及到平面螺旋電感的數(shù)學(xué)模型分析；此外,在現(xiàn)有版圖設(shè)計(jì)軟件中,一些電感模型并不能完全滿足設(shè)計(jì)需要,且一般是四邊形和八邊形,品種相對單一；三維電磁仿真中,往往沒有電感模型,需要自行設(shè)計(jì)平面螺旋電感,因此本文結(jié)合任意多變形的邊長漸變多邊形平面螺旋電感模型推導(dǎo)出精確的數(shù)學(xué)關(guān)系,為后續(xù)平面螺旋電感模型的設(shè)計(jì)提供一定的參考意義。

2 數(shù)學(xué)模型分析

首先生成螺旋電感的中心線結(jié)構(gòu),通過對各段中心線分別向兩邊垂直平移W/2 距離,生成線寬為W 的螺旋線圈。圖2 為邊長漸變多邊形平面螺旋電感中心線結(jié)構(gòu)的示意圖,頂點(diǎn)0 和頂點(diǎn)1 連線構(gòu)成初始線段[0,1],以此類推,即頂點(diǎn)k-1 和頂點(diǎn)k 連線構(gòu)成線段[k-1,k],k是≥0 的整數(shù)。線段[k-1,k]的長度由lk表示。邊長漸變量為δ,則lk+1-lk=δ。當(dāng)n 確定后,由于線段[k-1,k]與線段[k,k+1] 所夾內(nèi)角為固定值θ,因此繞線一周后線段[k-1,k]與線段[0,1]平行,其中k=n+1。令線段[k-1,k]與線段[0,1]間距為P。令線段[0,1]呈水平方向,以頂點(diǎn)1 作為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,水平方向?yàn)閤 軸,垂直方向?yàn)閥軸。頂點(diǎn)k 在x 軸上坐標(biāo)值為kx,在y 軸上坐標(biāo)值為ky。由于線段[k-1,k]與線段[0,1]平行,則頂點(diǎn)k 的y 軸坐標(biāo)值ky 即為P 值。

圖2 邊長漸變平面螺旋電感中心線結(jié)構(gòu)示意圖

計(jì)算P 值,可以通過計(jì)算ky 值來實(shí)現(xiàn)。圖3 展示邊長為常數(shù)l0的平面螺旋電感中心線結(jié)構(gòu)示意圖,圖2 中線段[1,2]與x 軸構(gòu)成的內(nèi)角-2π/n,線段[2,3]與x 軸構(gòu)成的內(nèi)角為-4π/n,并顯然有線段[k,k+1]與x 軸構(gòu)成的內(nèi)角為-i*2π/n；那么同理圖3 中,線段[k’,k’+1] 與x軸構(gòu)成的內(nèi)角也為-i*2π/n。

圖3 邊長為常數(shù)l0 的平面螺旋電感中心線結(jié)構(gòu)示意圖

從圖中可以看出頂點(diǎn)k 與頂點(diǎn)k’的坐標(biāo)偏差均由于邊長漸變量δ 的出現(xiàn)。進(jìn)一步分析,線段[1,2]及線段[1’,2’]與x 軸內(nèi)夾角均為-2π/n,結(jié)合三角函數(shù)定義,則此段位移在x 方向產(chǎn)生了δ*cos(-2π/n)增量,在y 方向上產(chǎn)生了δ*sin(-2π/n)增量。同理線段[2,3]及線段[2’,3’] 與x 軸內(nèi)夾角均為-2*2π/n,位移在x 方向產(chǎn)生了2δ*cos (-2*2π/n) 增量,在y 方向上產(chǎn)生了2δ*sin(-2*2π/n)增量。

當(dāng)繞周一圈后,在x 方向產(chǎn)生了累加增量

由上述推導(dǎo)可知P 值只與n、δ 有關(guān),與初始邊長無關(guān)。那么從頂點(diǎn)2 出發(fā)繞線一圈到達(dá)頂點(diǎn)k+1,亦有[k,k+1]與線段[1,2]平行且間距為P,以此類推。至此,證明得到邊長漸變多邊形平面螺旋電感的相鄰線圈中心線間距為固定值P。結(jié)合圖1 及圖2,有P= W+S,當(dāng)取固定值W 時(shí),S 也為固定值。

圖1 任意n 多邊形的邊長漸變平面螺旋電感模型的結(jié)構(gòu)俯視圖

3 幾何解析方法

當(dāng)n 的基數(shù)特別大時(shí),利用公式(1)和(2)去計(jì)算kx與ky 值變得異常繁瑣,顯然需要更進(jìn)一步的簡化。針對公式(1)和(2)固然可以通過數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)進(jìn)一步計(jì)算出kx 與ky。但為了直觀易懂,本文利用幾何解析的方法進(jìn)行簡化kx 與ky 值。如圖2 所示,過頂點(diǎn)1 向線段[k-1,k]做垂線交于M 點(diǎn),過頂點(diǎn)1 向線段[k,k+1] 做垂線交于N 點(diǎn)；過頂點(diǎn)2 向線段[k,k+1] 做垂線交與Q 點(diǎn)。由公式(1)和(2)可知,n、δ 確定后,kx 與ky 值均是固定值,與初始線段長度無關(guān)。則有線段[M,k]與線段[Q,k+1]的長度值均為kx。

由于線段[1,M]與線段[1,N]長度相等,均為P,即ky。容易得出由點(diǎn)1、點(diǎn)M、點(diǎn)k 構(gòu)成的△1Mk 與由點(diǎn)1、點(diǎn)N、點(diǎn)k 構(gòu)成的△1Nk 對稱全等。線段[N,k]長度等于線段[M,k] 長度,長度值為kx；且α 角與β 角相等,即α=β=θ/2?！?Mk 中,有ky=kx*tanα= kx*tanθ/2=kx*ctan(π/n)。

比較線段[k,k+1]與線段[1,2],兩者長度差為線段[k,N]與線段[Q,k+1]的長度和,即2kx；又因?yàn)楸景l(fā)明采用的是邊長漸變繞線方法,線段[k+1,k+2]與線段[1,2]長度差為nδ。因而有2kx=nδ。

4 數(shù)學(xué)附加結(jié)論

本文已然利用解析方法從側(cè)面證明出等式(8)和(9)的成立,感興趣的讀者也可以試著從正面進(jìn)行推導(dǎo)。

5 應(yīng)用與分析

根據(jù)公式(7)可知在線寬W、線圈間距S 確定后,多邊形邊數(shù)n 與邊長漸變量δ 值成反比,即平面螺旋電感的邊數(shù)越多,則需要相應(yīng)地減小邊長漸變量。此外,還可以利用公式(3)和公式(7)對平面螺旋電感進(jìn)行多圈數(shù)的延伸設(shè)計(jì)。例如,按照所述方法生成W=10μm、S=10μm的邊長漸變八邊形平面螺旋電感(n=8)。令模型初始邊長l0=50μm,電感線圈為2 圈。由公式(7)可知,δ=2.07μm。生成的邊長漸變八邊形平面螺旋電感如圖4 所示,線寬W=10μm、線圈間距S=10μm；初始邊長l0=50μm、邊長漸變量δ=2.07μm、末端邊長為83.12μm。初始邊長及末端邊長可進(jìn)行修改,以滿足版圖設(shè)計(jì)中的電感端口位置。本實(shí)施案例中,修改初始邊長至34μm,修改末端邊長至48μm。

圖4 一種邊長漸變八邊形平面螺旋電感模型

結(jié)束語

本文在利用任意多邊形的邊長漸變平面螺旋電感的結(jié)構(gòu)模型下分析出多邊形邊數(shù)、線寬、線圈間距以及邊長漸變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,并對其進(jìn)行簡化,解決了現(xiàn)有版圖設(shè)計(jì)軟件品種相對單一的問題,結(jié)構(gòu)變量參數(shù)設(shè)置簡單。此外還利用數(shù)學(xué)關(guān)系設(shè)計(jì)了一種邊長漸變八邊形平面螺旋電感的結(jié)構(gòu),對初始邊長及末端邊長進(jìn)行適當(dāng)修改,滿足實(shí)際產(chǎn)品中平面螺旋電感的版圖設(shè)計(jì)。通過此方法可以制作相應(yīng)的寬帶電感,為光調(diào)制器作為扼流電感等用途。隨著集成電路向小型化和多尺度發(fā)展,本文可以為平面螺旋電感向三維方向進(jìn)行發(fā)展提供一定的解決思路。