基于互質(zhì)多載頻MIMO雷達(dá)的DOA估計(jì)

劉愛(ài)華,楊 娜,占 凱,黃 飛,周 焯

(上海無(wú)線設(shè)備研究所,上海 201109)

0 引言

多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達(dá)發(fā)射正交波形,在空間實(shí)現(xiàn)寬波束覆蓋,在接收端采用匹配濾波實(shí)現(xiàn)正交波形分離,形成虛擬通道,提升系統(tǒng)的自由度。MIMO 雷達(dá)通過(guò)對(duì)虛擬接收通道的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行波束形成處理,可進(jìn)行空間同時(shí)多波束接收,實(shí)現(xiàn)大空域多目標(biāo)測(cè)角。利用陣列波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)方法,可實(shí)現(xiàn)主瓣內(nèi)目標(biāo)角度超分辨處理。相比于陣元數(shù)相同的相控陣?yán)走_(dá),MIMO 陣列雷達(dá)具有更多的接收通道、更大的有效孔徑、更高的測(cè)向精度和角度分辨力,因而在波束形成與DOA 估計(jì)領(lǐng)域受到廣泛的關(guān)注。

經(jīng)典的陣列DOA 估計(jì)方法有兩大類:一類為傳統(tǒng)的子空間方法,典型的為多信號(hào)分類(multiple signal classification,MUSIC)算法及其變體,該類算法需要信號(hào)有多次快拍,不能處理單次快拍數(shù)據(jù)；另外一類算法為壓縮感知方法,該類算法可以處理單次快拍數(shù)據(jù),其中基于網(wǎng)格的壓縮感知方法存在網(wǎng)格失配問(wèn)題,而無(wú)網(wǎng)格的壓縮感知方法可以避免網(wǎng)格失配問(wèn)題。

另外,可以通過(guò)互質(zhì)陣列提升陣列雷達(dá)的孔徑和陣列自由度?；ベ|(zhì)陣列本質(zhì)上是一種非均勻直線陣列,可將其分解成兩個(gè)稀疏均勻直線陣列。稀疏陣列的陣元間距大于工作頻率的半波長(zhǎng),且兩個(gè)稀疏均勻直線陣列的歸一化陣元間距互為質(zhì)數(shù)。為了避免稀疏帶來(lái)的角度模糊問(wèn)題,一般利用互質(zhì)空間的解模糊特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)角度估計(jì)的解模糊。利用互質(zhì)陣列,在使用個(gè)陣元的情況下,最多能獲得個(gè)自由度。對(duì)于一個(gè)由個(gè)陣元組成的均勻直線陣列,其陣列自由度為1。相比均勻直線陣列,互質(zhì)陣列的自由度得到了較大的提升。另外由于其陣元間距大于半波長(zhǎng),其陣列孔徑更大,角度分辨力更高。

為了進(jìn)一步提升MIMO 雷達(dá)陣列的等效孔徑和自由度,可以在MIMO 雷達(dá)中采用互質(zhì)多載頻模式,通過(guò)將MIMO 等效陣列的陣元間距設(shè)置為大于半波長(zhǎng),提升等效陣列的等效孔徑。通過(guò)采用互質(zhì)載頻,即發(fā)射的多個(gè)載頻歸一化后兩兩互質(zhì),實(shí)現(xiàn)角度解模糊處理,同時(shí)在互質(zhì)空間形成具有更多等效陣元的虛擬陣列,進(jìn)一步提升MIMO 雷達(dá)的自由度。

本文給出了互質(zhì)多載頻MIMO 雷達(dá)陣列的信號(hào)模型與等效陣列DOA 估計(jì)方法,并仿真分析了信噪比對(duì)互質(zhì)空間DOA 估計(jì)精度的影響。

1 互質(zhì)多載頻MIMO 信號(hào)模型

1.1 互質(zhì)多載頻MIMO 等效虛擬陣列原理

考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的MIMO 雷達(dá)模型,發(fā)射和接收陣列都為均勻直線陣列,兩個(gè)陣列都位于軸上。發(fā)射陣列由個(gè)發(fā)射陣元組成,陣元之間的間距為,接收陣列由個(gè)接收陣元組成,陣元之間的間距為,其中=。發(fā)射陣列中每個(gè)輻射單元都能同時(shí)發(fā)射個(gè)互質(zhì)載頻f =M f(=1,2,…,),其中M 為兩兩互質(zhì)的整數(shù),為參考頻率。

假設(shè)空域中存在個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)非相干目標(biāo),其對(duì)應(yīng)的波達(dá)方向角為=[θ],其中矩陣元素θ∈[0,π)(1,2,…,)為目標(biāo)回波與軸正向的逆時(shí)針?lè)较驃A角,MIMO 發(fā)射和接收陣列模型示意如圖1所示。

圖1 MIMO 發(fā)射和接收陣列模型示意

在MIMO 的發(fā)射陣列端,第個(gè)陣元輻射信號(hào)s ()(1,2,…,)被同時(shí)調(diào)制到個(gè)互質(zhì)載頻上,然后通過(guò)第個(gè)陣元輻射到空間；在接收陣列端,第個(gè)接收陣元首先通過(guò)混頻濾波,實(shí)現(xiàn)個(gè)載頻回波的分離,分離后的回波繼續(xù)與個(gè)正交參考信號(hào)進(jìn)行匹配處理,從而實(shí)現(xiàn)個(gè)發(fā)射正交回波的分離。接收端的每個(gè)接收陣元通過(guò)混頻濾波和匹配處理,都可以獲得個(gè)等效接收通道,即,接收端共計(jì)可以獲得個(gè)等效接收通道。傳統(tǒng)的相控陣采用個(gè)接收陣元,其自由度為1。采用多載頻MIMO 體制,系統(tǒng)的自由度可以增加到,極大地提高了雷達(dá)的陣列自由度。

通過(guò)以上分析可知,對(duì)于載頻f ,其接收信號(hào)模型為

式中:(f )=[(f ,θ)]是載頻為f 的MIMO等效陣列流型矩陣,其中(f,θ)=(f,θ)?(f,θ)是載頻為f的MIMO 等效接收陣列在θ方向上的陣列導(dǎo)向矢量,(f ,θ)和(f ,θ)分別是發(fā)射陣列和接收陣列在θ方向上的陣列導(dǎo)向矢量,運(yùn)算符?表示Kronecker 乘積；(f ,)[s (f,)]是個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)非相干目標(biāo)在載頻為f 的信號(hào)照射下的反射系數(shù)矩陣,其中s (f ,)為第個(gè)目標(biāo)的反射系數(shù),T 表示矩陣或者向量的轉(zhuǎn)置；(f ,)是方差為的高斯白噪聲矩陣。

采用參考頻率對(duì)載頻f 進(jìn)行歸一化處理,可以獲得載頻f 的等效接收陣列的陣元位置集合

式中:M =f /為一個(gè)與載頻和參考頻率相關(guān)的固定常數(shù)。通過(guò)分析式(2)可知,僅僅使用個(gè)物理陣元就能獲取一個(gè)孔徑大小為M [(1)+(1)]=M M Nd的等效虛擬陣列。由于=,載頻f 的等效陣列為一個(gè)均勻直線陣列。一般地,設(shè)置=/2,其中為參考頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng),此時(shí)載頻f 的等效陣列為陣元間距為M λ/2的稀疏均勻直線陣列。

利用MIMO 陣列雷達(dá)同時(shí)設(shè)置接收陣列陣元間距為發(fā)射陣列天線孔徑,每個(gè)載頻f 都可以獲得一個(gè)均勻直線等效陣列。該等效陣列單元數(shù)為,陣列導(dǎo)向矢量為

MIMO 等效接收陣列模型如圖2所示。

圖2 MIMO 等效接收陣列模型

1.2 單載頻自相關(guān)互質(zhì)空間等效陣列模型

載頻為f 的等效陣列接收信號(hào)矢量(f ,)的協(xié)方差矩陣為

其中

式中:(·)表示數(shù)學(xué)期望；H 表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置；R (f)為載頻f對(duì)應(yīng)目標(biāo)回波信號(hào)的協(xié)方差矩陣；為單位矩陣；σ為第個(gè)目標(biāo)在載頻f照射下的回波功率；diag(·)表示對(duì)角矩陣函數(shù)。通過(guò)對(duì)協(xié)方差矩陣R (f )進(jìn)行列向量化,可以獲得互質(zhì)空間接收信號(hào)矢量

采用互質(zhì)空間處理,每個(gè)載頻可以獲得的等效陣列陣元數(shù)目最大為21,進(jìn)一步提升了系統(tǒng)的自由度。

1.3 多載頻互相關(guān)互質(zhì)空間等效陣列模型

根據(jù)以上分析,對(duì)兩個(gè)載頻f ,f 的等效陣列的接收信號(hào)矢量(f ,),(f ,)求取互協(xié)方差矩陣

其中

式中:為第個(gè)目標(biāo)在載頻f,f照射下的回波信號(hào)的互協(xié)方差矩陣。通過(guò)對(duì)協(xié)方差矩陣(f ,f )進(jìn)行列向量化,可以獲得互質(zhì)空間接收信號(hào)矢量

由于MIMO 系統(tǒng)采用了個(gè)互質(zhì)載頻,M ,M 兩兩互質(zhì),可最大程度減少重合位置。利用個(gè)互質(zhì)載頻,共計(jì)形成(-1)/2個(gè)互質(zhì)載頻組合,可以獲得的互質(zhì)空間等效陣列的最大自由度,即等效陣列的陣元數(shù)滿足

例如,取3,2,3,3,4,5時(shí),MIMO 等效接收陣列的陣元數(shù)為6,多載頻互質(zhì)空間等效陣列的陣元數(shù)39,進(jìn)一步提高了MIMO 系統(tǒng)的陣列自由度。圖3給出了各種等效接收陣列陣元位置,其中歸一化位置因子=/2。圖3(a)為MIMO 等效接收陣列陣元位置集合,表明每個(gè)載頻的等效陣列均為稀疏均勻陣列,單獨(dú)對(duì)各個(gè)載頻的接收信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)將存在空間角度模糊問(wèn)題。圖3(b)和圖3(c)分別為多載頻自相關(guān)及互相關(guān)等效稀疏非均勻直線陣列陣元位置集合,表明互質(zhì)空間的等效陣列為稀疏非均勻直線陣列。該類陣列可以看作一個(gè)均勻直線陣列的子陣列,由于其內(nèi)部存在不大于半波長(zhǎng)的陣元間距,可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的無(wú)模糊角度估計(jì)。

圖3 MIMO 等效接收陣列模型

2 多載頻互質(zhì)空間DOA 估計(jì)

2.1 稀疏非均勻直線陣列單快拍DOA估計(jì)

通過(guò)以上分析可知,單載頻自相關(guān)等效接收陣列和多載頻互相關(guān)等效陣列的信號(hào)模型都為單快拍稀疏非均勻陣列接收信號(hào)模型。適應(yīng)單次快拍的DOA 估計(jì)方法主要有前后向平滑(forwardbackward spatial smoothing,FBSS)方法、基于網(wǎng)格劃分的壓縮感知(compressive sensing,CS)方法以及無(wú)網(wǎng)格壓縮感知(off-grid CS)方法。

FBSS方法只能利用稀疏非均勻等效陣列中的均勻子陣列部分,一方面使用的有效口徑受限,角度分辨力差；另一方面,可用的陣列單元數(shù)少,不能充分利用等效陣列的孔徑和自由度。

基于網(wǎng)格劃分的壓縮感知DOA 估計(jì)方法,如基追蹤(basis pursuit,BP)方法、正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)方法等,不需要進(jìn)行空間平滑處理,不受陣列形式限制,可以充分利用等效陣列的孔徑和陣列自由度。但是該類算法需要對(duì)角度空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分,同時(shí)假定目標(biāo)的來(lái)波方向位于預(yù)先劃分的網(wǎng)格上,受限于壓縮感知的有限等距性質(zhì)(restricted isometry property,RIP),網(wǎng)格的間隔不能太小,當(dāng)目標(biāo)不在網(wǎng)格上時(shí),該類方法存在網(wǎng)格失配問(wèn)題,其角度估計(jì)精度受限。

無(wú)網(wǎng)格壓縮感知方法利用原子范數(shù)模型,不需要進(jìn)行網(wǎng)格劃分,從而解決了網(wǎng)格失配問(wèn)題。該方法利用原子范數(shù)的最小化條件,將元均勻直線陣列單快拍DOA 估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成半正定規(guī)劃(semidefinite programming,SDP)問(wèn)題。其優(yōu)化模型為

式中:max(·)為取最大值函數(shù)；Re(·)為取實(shí)部函數(shù)；為待優(yōu)化的參數(shù)向量；為等效陣列單次快拍數(shù)據(jù)；為待優(yōu)化的矩陣；Q 為矩陣的第行第列元素。

其中

式中:,r 為求根多項(xiàng)式系數(shù)。通過(guò)求解()0,獲取單位圓內(nèi)部最靠近單位圓的個(gè)根,就能獲得目標(biāo)的DOA 估計(jì)值。

對(duì)于非均勻稀疏陣列,可將其看作均勻直線陣列的一部分,并對(duì)其空缺的位置進(jìn)行置零處理。此時(shí)的優(yōu)化模型可以改成

式中:為待優(yōu)化的參數(shù)向量中缺失位置對(duì)應(yīng)的元素。

采用與式(16)中同樣的方式,可以求取稀疏非均勻直線陣列的個(gè)目標(biāo)的DOA 估計(jì)值。

2.2 互質(zhì)多載頻等效陣列DOA估計(jì)

單個(gè)載頻f 的自相關(guān)等效陣列接收信號(hào)(f )和載頻f ,f 的互相關(guān)等效陣列接收信號(hào)(f ,f ),均可用無(wú)網(wǎng)格壓縮感知算法進(jìn)行DOA 估計(jì)。由于自相關(guān)等效陣列中陣元間距大,容易產(chǎn)生角度模糊問(wèn)題。同時(shí)利用自相關(guān)等效陣列和互相關(guān)等效陣列接收的信息,可以消除空間模糊,同時(shí)提升DOA 估計(jì)性能。文獻(xiàn)[8]采用了塊壓縮感知方法對(duì)所有的等效陣列進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化求解,利用頻率之間的聯(lián)合稀疏特性提高DOA估計(jì)性能。這種方法主要的缺點(diǎn)是運(yùn)算量大,存在網(wǎng)格失配問(wèn)題。

為了解決分塊壓縮感知的網(wǎng)格失配問(wèn)題,對(duì)稀疏非均勻直線陣列無(wú)網(wǎng)格壓縮感知DOA 估計(jì)算法進(jìn)行了拓展,提出一種多載頻聯(lián)合無(wú)網(wǎng)格壓縮感知DOA 估計(jì)算法。其基本思路如下:首先利用稀疏非均勻直線陣列無(wú)網(wǎng)格DOA 估計(jì)方法中的優(yōu)化步驟,求取所有自相關(guān)等效陣列和互相關(guān)等效陣列的參數(shù)向量,分別構(gòu)建對(duì)應(yīng)的求根多項(xiàng)式；再對(duì)所有的求根多項(xiàng)式求和,并對(duì)求和后的多項(xiàng)式進(jìn)行求根處理,獲取單位圓內(nèi)部最靠近單位圓的個(gè)根,最終獲得目標(biāo)的DOA 估計(jì)值。

由于每個(gè)稀疏非均勻直線陣列的陣元數(shù)目不一樣,有效孔徑不一致,其求得的參數(shù)向量的階數(shù)不同,不能直接對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行求和處理。此時(shí)可將所有的等效稀疏非均勻直線陣列看成同一個(gè)均勻直線陣列的子陣列,在此基礎(chǔ)上重新構(gòu)建優(yōu)化函數(shù),使得各個(gè)陣列對(duì)應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)具有相同的階數(shù),從而實(shí)現(xiàn)求根多項(xiàng)式的有效求和。采用與式(14)中同樣的方式,可以求取稀疏非均勻直線陣列的個(gè)目標(biāo)的DOA 估計(jì)值。

2.3 仿真分析

通過(guò)仿真驗(yàn)證所提方法的有效性。設(shè)MIMO 雷達(dá)的發(fā)射陣列陣元數(shù)3,接收陣列陣元數(shù)2,互質(zhì)載頻數(shù)=3,且3,4,5。所得到的3個(gè)自相關(guān)等效稀疏非均勻直線陣列陣元位置集合如圖3(b)所示,得到的3個(gè)互相關(guān)等效稀疏非均勻直線陣列陣元位置集合如圖3(c)所示。設(shè)置空域中6個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)非相干源,對(duì)應(yīng) 的DOA 為[-60.3°,-36.2°,-12.1°,12.5°,36.5°,60.2°]。通過(guò)300次蒙特卡羅試驗(yàn)計(jì)算不同信噪比條件下的DOA 估計(jì)均方根誤差,對(duì)比塊壓縮感知方法和本文方法的性能。塊壓縮感知方法采用的角度網(wǎng)格間距為0.2°,仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 測(cè)角均方根誤差隨信噪比變化對(duì)比

由圖4可知,受限于網(wǎng)格失配,當(dāng)信噪比較大時(shí),塊壓縮感知方法的測(cè)角均方根誤差隨信噪比增大降低較慢,而本文方法的測(cè)角均方根誤差隨著信噪比增大穩(wěn)定降低。在相同信噪比條件下,本文方法的測(cè)角精度更高。

3 結(jié)論

本文研究了互質(zhì)多載頻MIMO 雷達(dá)的DOA估計(jì)方法,并利用蒙特卡羅統(tǒng)計(jì)法仿真分析了基于無(wú)網(wǎng)格壓縮感知的互質(zhì)多載頻等效陣列DOA估計(jì)方法的角度估計(jì)精度和通道信噪比的關(guān)系。研究表明:采用無(wú)網(wǎng)格壓縮感知方法,可以充分利用互質(zhì)多載頻MIMO 雷達(dá)等效陣列的陣列孔徑和自由度,同時(shí)可以避免塊壓縮感知所受網(wǎng)格失配的影響,可明顯改善DOA 估計(jì)精度。