樽海鞘群算法的改進(jìn)

常祥潔，趙孜愷，周朝榮,3+

(1.四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，四川 成都 610101； 2.武漢光迅科技股份有限公司 國(guó)際營(yíng)銷部，湖北 武漢 430205； 3.成都信息工程大學(xué) 氣象信息與信號(hào)處理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610225)

0 引 言

近年來，受到生物群體行為、社會(huì)行為以及自然現(xiàn)象的啟發(fā)，一系列智能優(yōu)化算法被提出[1-4]。這些算法因?yàn)閰?shù)較少、容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，受到了廣泛關(guān)注，并被應(yīng)用于任務(wù)調(diào)度、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等諸多領(lǐng)域[5]。其中，樽海鞘群算法(slap swarm algorithm，SSA)[6]具有自適應(yīng)參數(shù)，前期有利于全局探索，后期有利于局部開發(fā)；同時(shí)，樽海鞘種群以鏈狀方式運(yùn)動(dòng)和覓食，有利于個(gè)體之間信息的交流與傳遞，在求解多種優(yōu)化問題時(shí)表現(xiàn)出顯著的優(yōu)勢(shì)。但與其它智能優(yōu)化算法一樣，SSA仍然存在收斂速度慢、尋優(yōu)精度低等缺點(diǎn)。

為了解決SSA存在的問題，已有文獻(xiàn)針對(duì)SSA做改進(jìn)。文獻(xiàn)[7]引入衰減因子和動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)策略對(duì)SSA進(jìn)行改進(jìn)，算法的收斂速度和尋優(yōu)精度有所提高。文獻(xiàn)[8]采用自適應(yīng)慣性權(quán)重和萊維飛行策略，提高了SSA的全局和局部搜索能力。文獻(xiàn)[9]將正交學(xué)習(xí)和對(duì)立學(xué)習(xí)策略引入SSA，以提高算法收斂速度和尋優(yōu)精度。除了引入各種策略，文獻(xiàn)[10-12]考慮了SSA的混合算法，分別將SSA與WOA、PSO和SCA結(jié)合，以提高算法的收斂性能。上述方法從不同角度對(duì)SSA進(jìn)行改進(jìn)，雖然在一定程度上提升了算法的尋優(yōu)精度和收斂速度，但存在易陷入局部最優(yōu)的問題。

為了進(jìn)一步地提高SSA的性能，本文提出了一種改進(jìn)的樽海鞘群算法。在該算法中，首先，采用混沌方法對(duì)種群進(jìn)行初始化，保證種群的多樣性和均勻性；其次，將正弦余弦策略和動(dòng)態(tài)更新策略分別引入領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者更新階段，提高全局探索的能力，增強(qiáng)算法局部開發(fā)的能力；最后，對(duì)食物位置進(jìn)行變異操作，更好地發(fā)揮領(lǐng)導(dǎo)者的引領(lǐng)作用，有效地避免算法陷入局部最優(yōu)。為驗(yàn)證改進(jìn)后的算法性能，分別在13個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和兩個(gè)工程設(shè)計(jì)問題上進(jìn)行仿真測(cè)試，并與其它智能優(yōu)化算法進(jìn)行比較。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法在尋優(yōu)精度、收斂速度以及魯棒性方面較原SSA以及SSA的其它改進(jìn)算法更優(yōu)，且總體性能優(yōu)于其它對(duì)比算法。

1 樽海鞘群算法

SSA是模擬樽海鞘的群體生活方式而衍生出的算法[6]。通常，樽海鞘個(gè)體以鏈狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)和覓食，因此，將個(gè)體分為領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者兩類。位于種群前面的領(lǐng)導(dǎo)者個(gè)體引領(lǐng)后面的追隨者個(gè)體，朝著食物位置不斷地移動(dòng)。假設(shè)樽海鞘種群規(guī)模為N， 搜索空間為D維，第i個(gè)樽海鞘個(gè)體在D維空間中的位置向量可表示為Xi=(xi1,xi2,…,xiD-1,xiD)，i=1,2,…,N-1,N。 領(lǐng)導(dǎo)者的更新方式如下

(1)

其中，F(xiàn)j為食物的位置，即目前為止，種群中的局部最優(yōu)解；ubj、lbj為第j維空間的上、下界；c2、c3為(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)，分別用來決定移動(dòng)的步長(zhǎng)和方向；c1為自適應(yīng)參數(shù)，隨著迭代次數(shù)的增加，從2減小到0，即

(2)

其中，l為當(dāng)前迭代次數(shù)，L為最大迭代次數(shù)，k≥1。

追隨者根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行位置更新，移動(dòng)的距離可表示為

(3)

(4)

其中，i≥2。

2 改進(jìn)的樽海鞘群算法

需要指出的是SSA的初始種群隨機(jī)產(chǎn)生，難以保證種群分布的均勻性，會(huì)影響算法的性能。而初始種群的分布越均勻，算法的尋優(yōu)精度就越高、收斂速度就越快[1]。為此，我們采用混沌方法進(jìn)行種群初始化，豐富初始種群的多樣性。其次，領(lǐng)導(dǎo)者僅根據(jù)局部最優(yōu)解進(jìn)行位置更新，導(dǎo)致全局探索能力較差[13]。因此，我們?cè)陬I(lǐng)導(dǎo)者更新階段引入正弦余弦策略，提高全局探索的能力，從而提高算法的尋優(yōu)精度。然后，由于更新后的追隨者位于兩個(gè)樽海鞘個(gè)體中間，未能很好地體現(xiàn)精英個(gè)體的引導(dǎo)作用。相應(yīng)地，我們?cè)谧冯S者更新階段引入動(dòng)態(tài)更新策略，充分地利用個(gè)體之間的交互信息以發(fā)揮精英個(gè)體的引導(dǎo)作用，從而提高局部開發(fā)的能力、加快算法的收斂速度。最后，為了充分發(fā)揮領(lǐng)導(dǎo)者的引領(lǐng)作用，進(jìn)一步對(duì)食物位置(局部最優(yōu)解)進(jìn)行變異操作，有效地避免算法陷入局部最優(yōu)。

2.1 混沌初始化

混沌具有遍歷性、半隨機(jī)性以及對(duì)初始條件依賴等特點(diǎn)，已在經(jīng)濟(jì)、生物、醫(yī)學(xué)、工程等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。相比隨機(jī)初始化，利用混沌初始化產(chǎn)生的初始種群分布更加均勻[14]。通過映射關(guān)系產(chǎn)生混沌序列，再將其轉(zhuǎn)換到個(gè)體的搜索空間?；煦缬成淠Ｐ投喾N多樣，其中，Tent混沌映射模型簡(jiǎn)單、具有較好的遍歷性，且對(duì)初始條件依賴性低。為此，采用Tent混沌映射進(jìn)行初始化[15]

(5)

(6)

2.2 正弦余弦策略

在SSA中，領(lǐng)導(dǎo)者從迭代初期始終朝著局部最優(yōu)值變化，導(dǎo)致全局探索能力差，易陷入局部最優(yōu)，造成算法收斂過早、尋優(yōu)精度較低。不同于SSA，正弦余弦算法[5]的更新方式不僅包括食物位置，還包括上一代個(gè)體的位置，可以增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力，提高算法的尋優(yōu)精度。為此，借鑒正弦余弦策略對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者進(jìn)行更新

(7)

其中，r2、r3、r4為隨機(jī)數(shù)，且r2∈(0,2π)、r3∈(0,2)、r4∈(0,1)，r1為自適應(yīng)參數(shù)，即

(8)

其中，m為大于1的控制參數(shù)。

正弦余弦策略的引入，解決了SSA僅根據(jù)食物位置進(jìn)行更新、全局探索能力差的問題。不論是正弦策略還是余弦策略，每個(gè)樽海鞘個(gè)體均能很好地利用自身位置與食物位置之間的差異信息，促使樽海鞘個(gè)體朝著不同的方向進(jìn)行搜索。同時(shí)，正弦余弦更新方式包含有自適應(yīng)參數(shù)，前期有利于全局探索，后期有利于局部開發(fā)，從而提高全局探索能力，增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力。

2.3 動(dòng)態(tài)更新策略

由追隨者的位置更新式(4)可知，第i個(gè)樽海鞘個(gè)體的位置是根據(jù)第i個(gè)和第i-1個(gè)樽海鞘個(gè)體的位置進(jìn)行更新，且更新后位于兩個(gè)樽海鞘位置坐標(biāo)的中點(diǎn)。此過程沒有考慮兩個(gè)樽海鞘位置的優(yōu)劣性，導(dǎo)致精英個(gè)體的引導(dǎo)作用較小。為了增強(qiáng)精英個(gè)體的引導(dǎo)作用，提升個(gè)體之間信息的利用率，進(jìn)而提高算法的收斂速度，將動(dòng)態(tài)更新策略引入SSA的追隨者位置更新階段。

首先，計(jì)算第i個(gè)和第i-1個(gè)樽海鞘的適應(yīng)值，在適應(yīng)值較差的樽海鞘前添加動(dòng)態(tài)更新因子r， 增強(qiáng)較優(yōu)位置個(gè)體對(duì)追隨者位置更新的影響。引入動(dòng)態(tài)更新策略的追隨者位置更新如下

(9)

(10)

其中，b給出如下

(11)

動(dòng)態(tài)更新策略的引入，發(fā)揮了精英個(gè)體的引導(dǎo)作用，促進(jìn)了個(gè)體之間信息的有效交互，而不是簡(jiǎn)單地根據(jù)兩個(gè)個(gè)體的位置進(jìn)行更新，導(dǎo)致信息的利用率下降。相比于文獻(xiàn)[7]引入隨機(jī)變化的削弱因子，考慮到兩個(gè)個(gè)體適應(yīng)度之間的差異，采用動(dòng)態(tài)更新的削弱因子可以更好地發(fā)揮精英個(gè)體的引導(dǎo)作用，促使最優(yōu)信息在個(gè)體之間交互，提高算法局部開發(fā)的能力，進(jìn)而加快算法的收斂速度。

2.4 變異算子

在SSA中，領(lǐng)導(dǎo)者的位置至關(guān)重要，引領(lǐng)追隨者朝著食物位置(局部最優(yōu)解)方向移動(dòng)，但如果領(lǐng)導(dǎo)者位置陷入局部最優(yōu)，則會(huì)導(dǎo)致種群容易出現(xiàn)搜索停滯現(xiàn)象。為了有效地避免算法陷入局部最優(yōu)，借鑒差分進(jìn)化算法中變異的思想[16]，將變異算子引入SSA中，對(duì)局部最優(yōu)解進(jìn)行更新。若更新后的局部最優(yōu)解連續(xù)s代保持不變，則以一定概率對(duì)其每一維進(jìn)行變異操作。對(duì)應(yīng)的變異操作如下

(12)

其中，k1、k2均為(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)，tm為(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)。

變異算子的引入，解決了樽海鞘群算法中領(lǐng)導(dǎo)者陷入局部最優(yōu)后，種群易出現(xiàn)搜索停滯的問題。由于對(duì)食物位置進(jìn)行了變異操作，促使領(lǐng)導(dǎo)者個(gè)體在搜索空間的多個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，有效地避免了算法陷入局部最優(yōu)。

2.5 算法流程圖

綜合上述策略，可以得到改進(jìn)的樽海鞘群算法(improved salp swarm algorithm，ISSA)，其流程如圖1所示。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證ISSA的性能，分別用其求解函數(shù)優(yōu)化問題以及工程設(shè)計(jì)問題，并與其它智能優(yōu)化算法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。相關(guān)算法及參數(shù)設(shè)置見表1，所有算法的種群大小、最大迭代次數(shù)均設(shè)置為30、500。為了降低實(shí)驗(yàn)的偶然性，每種算法分別針對(duì)上述兩類問題，獨(dú)立運(yùn)行30次。

3.1 函數(shù)優(yōu)化問題

采用文獻(xiàn)[6]中的單峰函數(shù)f1～f7以及多峰函數(shù)f8～f13測(cè)試算法求解函數(shù)優(yōu)化問題的能力，各個(gè)函數(shù)的維度均設(shè)置為30維。

3.1.1 算法的尋優(yōu)精度比較

分別采用ISSA以及其它對(duì)比算法求解上述13個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，所涉及到的性能指標(biāo)包括：平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)應(yīng)的單峰函數(shù)(f1～f7)尋優(yōu)精度對(duì)比結(jié)果以及多峰函數(shù)(f8～f13)尋優(yōu)精度對(duì)比結(jié)果分別見表2與表3。其中，各項(xiàng)性能指標(biāo)的最好結(jié)果用粗體表示。

圖1 改進(jìn)樽海鞘群算法的流程

表1 對(duì)比算法及其參數(shù)設(shè)置

由表2可以看出，在函數(shù)f1～f3、f7上，ISSA的各項(xiàng)指標(biāo)均優(yōu)于其它對(duì)比算法，甚至在函數(shù)f1上，ISSA與SCA的尋優(yōu)精度相差高達(dá)75個(gè)數(shù)量級(jí)。在函數(shù)f4上，雖然HSSASCA的各項(xiàng)指標(biāo)最優(yōu)，但I(xiàn)SSA僅次于該算法，且兩者之間的差距很小。在函數(shù)f5、f6上，就平均值而言，雖然WLSSA達(dá)到最優(yōu)，但I(xiàn)SSA僅次于該算法，且兩者之間的差距很小。因此，就上述單峰函數(shù)的測(cè)試結(jié)果而言，ISSA在大多數(shù)測(cè)試函數(shù)上都具有更好的性能指標(biāo)，表明其尋優(yōu)精度更高且魯棒性更強(qiáng)。

表2 單峰函數(shù)尋優(yōu)精度對(duì)比結(jié)果

由表3可以看出，在函數(shù)f12、f13上，ISSA的各項(xiàng)指標(biāo)均優(yōu)于其它對(duì)比算法。在函數(shù)f9、f11上，ISSA、WLSSA、HSSASCA均找到了理論最優(yōu)值，且具有較強(qiáng)的魯棒性。在函數(shù)f10上，ISSA、WLSSA、HSSASCA、GA的各項(xiàng)指標(biāo)相同，且優(yōu)于其它對(duì)比算法。在函數(shù)f8上，就標(biāo)準(zhǔn)差而言，雖然SCA達(dá)到最優(yōu)，但I(xiàn)SSA僅次于該算法；就平均值而言，ISSA與SCA均達(dá)到最優(yōu)。因此，就上述多峰函數(shù)的測(cè)試結(jié)果而言，ISSA在大多數(shù)函數(shù)上測(cè)試結(jié)果都是最優(yōu)的，表明ISSA求解多峰函數(shù)同樣具有更高的尋優(yōu)精度和搜索能力。

表3 多峰函數(shù)尋優(yōu)精度對(duì)比結(jié)果

3.1.2 算法收斂曲線

為了更加直觀地反映算法的收斂性能，圖2給出了各個(gè)算法針對(duì)不同函數(shù)的收斂曲線。

從圖2可以看出，ISSA相比原SSA的收斂速度有了顯著提高，并在大多數(shù)測(cè)試函數(shù)上，ISSA的收斂曲線從迭代一開始就迅速下降，且在迭代尋優(yōu)過程中較少出現(xiàn)陷入停滯的現(xiàn)象。具體而言，在函數(shù)f8～f11上，雖然多個(gè)算法具有相同的尋優(yōu)精度，但I(xiàn)SSA的收斂速度最快，甚至在函數(shù)f9、f11上，迭代初期(50代左右)就已達(dá)到理論最優(yōu)值；在函數(shù)f12、f13上，ISSA收斂速度也是最快的，在150代之前就已收斂；在函數(shù)f5、f6上，雖然ISSA的收斂速度不是最快的，但在250代之前就已收斂；在函數(shù)f1～f3、f7上，雖然ISSA的收斂速度不是最快的，但尋優(yōu)精度最高；在函數(shù)f4上，ISSA前期的收斂速度較快，雖出現(xiàn)短暫的陷入局部最優(yōu)，但隨著迭代次數(shù)的增加，ISSA能夠跳出局部最優(yōu)，并迅速收斂于較優(yōu)值。上述結(jié)果表明，相比其它對(duì)比算法，ISSA在大多數(shù)函數(shù)上均有更快的收斂速度，且跳出局部最優(yōu)的能力更強(qiáng)。

3.1.3 算法統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果

由于平均值和標(biāo)準(zhǔn)差無法全面地反映算法的每次結(jié)果，為了驗(yàn)證ISSA與其它對(duì)比算法測(cè)試結(jié)果的顯著性差異，表4給出ISSA對(duì)比其它算法的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的P-value結(jié)果。根據(jù)文獻(xiàn)[17]，若P-value小于給定的顯著性水平(一般取值為0.05)，則認(rèn)為對(duì)比算法較之ISSA的性能有顯著性差異；NaN表示該檢驗(yàn)方法不適用。

從表5可以看出，在大多數(shù)測(cè)試函數(shù)上，相比其它對(duì)比算法，ISSA的性能具有明顯的優(yōu)勢(shì)；并結(jié)合之前測(cè)試函數(shù)的平均值可以看出，在函數(shù)f4～f6、f8上，ISSA與平均值最優(yōu)的算法沒有明顯的性能差異。這些結(jié)果表明，在大多數(shù)測(cè)試函數(shù)上，ISSA的優(yōu)越性在統(tǒng)計(jì)學(xué)上是顯著的。

綜上所述，相對(duì)于其它對(duì)比算法而言，ISSA在求解函數(shù)優(yōu)化問題上，具有更好的全局探索以及局部開發(fā)能力，且在大多數(shù)測(cè)試函數(shù)上具有更好的尋優(yōu)精度和收斂速度，甚至在部分函數(shù)上可以迅速收斂到理論最優(yōu)值。尤其是相比原SSA，無論是收斂速度還是尋優(yōu)精度都得到了顯著提升；且與SSA的其它改進(jìn)算法相比，ISSA也具有更好的性能。

3.2 工程設(shè)計(jì)問題

為了進(jìn)一步測(cè)試ISSA的性能，用ISSA求解兩類工程設(shè)計(jì)問題，并與其它算法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

3.2.1 壓力容器設(shè)計(jì)

壓力容器設(shè)計(jì)問題考慮如何設(shè)計(jì)壓力容器的各類尺寸以最小化總成本，相關(guān)的成本包括：焊接、材料以及成型等成本。為了求解該問題，需要確定頂蓋壁厚度T、管壁厚度t、容器管身長(zhǎng)度L與內(nèi)徑R的最佳取值，如圖3所示[18]，將上述4種參數(shù)表示為 [tTRL]=[x1x2x3x4]， 對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)問題給出如下

(13)

s.t.g1(x)=-x1+0.0193x3≤0

(14)

g2(x)=-x2+0.00954x3≤0

(15)

圖2 不同算法的收斂曲線

表4 ISSA與其它對(duì)比算法的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果

圖3 壓力容器設(shè)計(jì)問題

(16)

g4(x)=x4-240≤0 0≤x1,x2≤99， 10≤x3,x4≤200

(17)

表5給出ISSA以及其它對(duì)比算法的求解結(jié)果。由表5可以看出，相比其它對(duì)比算法，ISSA是處理該問題的最佳算法，能夠獲得最好的結(jié)果。

表5 各算法的壓力容器設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比

3.2.2 懸臂梁設(shè)計(jì)

懸臂梁設(shè)計(jì)問題考慮在圖4所要求的承載力的限制條件下如何最小化懸臂梁的重量[20]。為求解該問題，需要確定懸臂梁的5個(gè)空心橫截面高度(或?qū)挾?的最佳取值。該設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式可表述為

Minf(x)=0.0624(x1+x2+x3+x4+x5)

(18)

(19)

表6給出ISSA以及其它對(duì)比算法的求解結(jié)果。由表6可以看出，ISSA獲得了懸臂梁設(shè)計(jì)問題的最小重量值，表明在處理該問題上，相比其它對(duì)比算法，ISSA具有最好的優(yōu)勢(shì)。

圖4 懸臂梁設(shè)計(jì)問題

表6 各算法的懸臂梁設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)束語

本文提出了一種改進(jìn)的SSA算法：首先，采用混沌方法對(duì)種群進(jìn)行初始化，從而提高種群的多樣性和均勻性；其次，將正弦余弦策略引入SSA的領(lǐng)導(dǎo)者更新階段，增強(qiáng)算法的尋優(yōu)精度；然后，將動(dòng)態(tài)更新策略引入SSA的追隨者更新階段，更好地發(fā)揮精英個(gè)體的引導(dǎo)作用，提高算法的收斂速度；最后，對(duì)食物位置進(jìn)行變異操作，有效地避免算法陷入局部最優(yōu)。

進(jìn)一步地，通過13個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)以及兩個(gè)工程設(shè)計(jì)問題驗(yàn)證算法的性能。結(jié)果表明：所提出的ISSA算法可以有效提升算法的優(yōu)化性能，且整體性能上明顯優(yōu)于GWO、WOA、SCA等當(dāng)前較新的智能優(yōu)化算法。此外，無論是求解函數(shù)優(yōu)化問題還是工程設(shè)計(jì)問題，相比SSA的其它改進(jìn)算法WLSSA以及HSSASCA，ISSA具有更好的尋優(yōu)精度和魯棒性。需要指出的是，ISSA也有自身的局限性，比如在求解部分函數(shù)優(yōu)化問題時(shí)，表現(xiàn)不是最佳，且求解函數(shù)優(yōu)化問題的維度不高。如何改進(jìn)這些缺點(diǎn)，將是下一步的研究方向。