改進(jìn)最小二乘法在永磁同步電機(jī)參數(shù)辨識(shí)中的應(yīng)用

李祥功，朱立軍,2，陳 猛

（1.沈陽(yáng)化工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110142；2.沈陽(yáng)化工大學(xué) 遼寧省化工過程工業(yè)智能化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽(yáng) 110142；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；4.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)沈陽(yáng)計(jì)算技術(shù)研究所，遼寧 沈陽(yáng) 110142）

0 引 言

永磁同步電機(jī)（PMSM）因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功率密度大、效率高等優(yōu)點(diǎn)，近年來一直被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域，特別是一些需要精密控制的場(chǎng)合，比如數(shù)控機(jī)床、航空航天、電動(dòng)汽車等。永磁同步電機(jī)通常采用基于矢量控制的閉環(huán)控制方法，在這種控制方法中準(zhǔn)確了解電機(jī)的參數(shù)對(duì)電機(jī)的高性能所起的作用至關(guān)重要。然而永磁同步電機(jī)在運(yùn)行過程中，其參數(shù)可能會(huì)隨著溫度、機(jī)器老化和環(huán)境條件而變化，從而導(dǎo)致機(jī)器性能下降甚至系統(tǒng)失穩(wěn)。因此，精確地辨識(shí)永磁同步電機(jī)的參數(shù)成為了一項(xiàng)亟需解決的問題。

目前，國(guó)內(nèi)外已有許多學(xué)者對(duì)永磁同步電機(jī)參數(shù)辨識(shí)問題展開了廣泛而深入的研究。參數(shù)辨識(shí)的方法主要分為兩種：離線辨識(shí)和在線辨識(shí)。離線辨識(shí)主要有DC電流延遲、AC靜態(tài)方法和矢量控制方法等，但是這類辨識(shí)方法需要在電機(jī)保持穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)進(jìn)行，不適用于電機(jī)實(shí)際運(yùn)行的場(chǎng)合，因此離線辨識(shí)電機(jī)參數(shù)的意義不大。在線辨識(shí)主要有最小二乘法及其拓展算法、模型參考自適應(yīng)方法、遺傳算法以及群體智能優(yōu)化算法、基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)辨識(shí)方法、擴(kuò)展卡爾曼濾波法等。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于模型參考自適應(yīng)控制理論的多參數(shù)識(shí)別方法，采用逐步參數(shù)辨識(shí)的方法以解決電壓方程秩缺陷問題。文獻(xiàn)[5]利用遺傳算法設(shè)計(jì)了一種電機(jī)多參數(shù)估計(jì)方法，然而該算法計(jì)算量大且需要較多的時(shí)間資源。文獻(xiàn)[6]將混沌人工魚群算法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，克服了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂過早的問題，具有一定的指導(dǎo)意義。

隨著數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)，遞推最小二乘法會(huì)出現(xiàn)“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，使得新采集的數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)的估計(jì)值更新作用不大，當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，遞推最小二乘法就會(huì)無法跟蹤這種變化，從而導(dǎo)致在線辨識(shí)參數(shù)失敗。加入遺忘因子后的遞推最小二乘法實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)據(jù)的時(shí)變加權(quán)操作，削弱了過去觀測(cè)數(shù)據(jù)的作用，增強(qiáng)了新采集數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)辨識(shí)的更新作用，從而使算法的跟蹤能力進(jìn)一步增強(qiáng)。然而，目前的研究大多采用固定遺忘因子的方式進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，當(dāng)遺忘因子設(shè)置過大時(shí)算法的跟蹤能力下降，趨近于1時(shí)退化為普通的遞推最小二乘法，當(dāng)遺忘因子設(shè)置過小時(shí)算法的跟蹤能力得到提高，但是參數(shù)辨識(shí)結(jié)果又會(huì)出現(xiàn)較大的波動(dòng)。

針對(duì)傳統(tǒng)辨識(shí)方法的不足，本文提出了一種可變遺忘因子的遞推最小二乘法的永磁同步電機(jī)參數(shù)辨識(shí)方法，該辨識(shí)方法在遞推最小二乘法的基礎(chǔ)上，加入可以動(dòng)態(tài)變化的遺忘因子，提高了算法的跟蹤能力和穩(wěn)態(tài)性，從而達(dá)到精確快速辨識(shí)的目的。

1 永磁同步電機(jī)模型

PMSM通常采用矢量控制的閉環(huán)控制方法，該方法通過坐標(biāo)變換，將三相定子電流解耦為勵(lì)磁的直軸電流和產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的交軸電流，從而直接控制勵(lì)磁和轉(zhuǎn)矩。在-同步坐標(biāo)系下，電壓方程可以表示為：

式中：u、u分別為、軸電壓；為定子電阻；i和i分別為、軸電流；L、L分別為、軸電感；ω為電機(jī)電角速度；ψ為永磁體磁鏈。

對(duì)于表貼式永磁同步電機(jī)，軸電感和軸電感相同，即L=L=L，所以可以將式（1）改寫為：

以、軸電流為狀態(tài)變量，式（2）可寫為：

假設(shè)系統(tǒng)的采樣周期足夠小，可以將式（3）進(jìn)行離散化處理，則有：

式中：表示系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)的第個(gè)時(shí)刻；為系統(tǒng)的采樣周期。為了同時(shí)辨識(shí)電機(jī)的、L、Ψ，選用式（5）進(jìn)行算法的設(shè)計(jì)和計(jì)算，將式（5）簡(jiǎn)化為最小二乘形式，則有：

由上式可知，通過采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法，對(duì)待辨識(shí)矩陣實(shí)時(shí)在線辨識(shí)，即可求出永磁同步電機(jī)的定子電阻、電感、永磁體磁鏈。

2 最小二乘法理論

最小二乘法自1975年由高斯在形體運(yùn)動(dòng)軌道預(yù)報(bào)研究工作中提出，因其簡(jiǎn)單易于理解的優(yōu)點(diǎn)，得到了許多專家學(xué)者的支持和研究，被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)中。隨著理論知識(shí)的不斷更新，又涌現(xiàn)出很多基于最小二乘法的擴(kuò)展算法，例如遞推最小二乘法、遺忘因子遞推最小二乘法、遞推增廣法、偏差補(bǔ)償法等，這些方法都可以應(yīng)用于線性定常系統(tǒng)以及包含時(shí)變參數(shù)的線性系統(tǒng)中。

2.1 遺忘因子遞推最小二乘法

當(dāng)被辨識(shí)的參數(shù)發(fā)生突變時(shí)，傳統(tǒng)的遞推最小二乘法可以通過周期性地重置協(xié)方差矩陣來進(jìn)行參數(shù)跟蹤。然而如果被辨識(shí)的參數(shù)變化緩慢，遞推最小二乘法就有其局限性，隨著數(shù)據(jù)量的增加，協(xié)方差矩陣和增益矩陣就會(huì)變得越來越小，對(duì)參數(shù)估計(jì)矩陣的修正能力下降，從而導(dǎo)致新采集的數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)估計(jì)的作用很小，最終導(dǎo)致實(shí)時(shí)參數(shù)辨識(shí)失敗。為了防止數(shù)據(jù)飽和帶來的參數(shù)遲滯問題，通常采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法。取目標(biāo)函數(shù)為：

式中：為參數(shù)估計(jì)的總次數(shù)；為參數(shù)估計(jì)的次數(shù)；為遺忘因子，一般取0.9～1。結(jié)合遞推最小二乘法的推導(dǎo)過程，其算法的迭代公式如下：

式中：(0)、 (0)一般需要提前確定。通常直接定義(0)=，為單位矩陣，為一個(gè)充分大的正實(shí)數(shù)，取值范圍在10～10之間； (0)=，取充分小的正實(shí)向量或零向量。

2.2 可變遺忘因子遞推最小二乘法

在固定遺忘因子的遞推最小二乘法中，遺忘因子常常被設(shè)置為固定不變的值，也就意味著對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了時(shí)變加權(quán)，最新采集的數(shù)據(jù)用1加權(quán)，以前個(gè)采樣周期的數(shù)據(jù)用λ加權(quán)，不斷削弱過去采集數(shù)據(jù)的作用，增強(qiáng)當(dāng)前新采集數(shù)據(jù)的作用。但是無論如何選擇遺忘因子的初值，算法的跟蹤能力和穩(wěn)態(tài)性都無法保證是最優(yōu)的，總是會(huì)犧牲一部分算法的能力。為了解決此問題，將遺忘因子動(dòng)態(tài)函數(shù)化，則有：

式中：為可調(diào)參數(shù)，其取值范圍為0.9≤<1；()為當(dāng)前時(shí)刻實(shí)際模型和理論模型的差值，其大小與可變遺忘因子()直接相關(guān)，代表了參數(shù)辨識(shí)的性能好壞。當(dāng)()=0時(shí)，()=1，算法退化為普通的遞推最小二乘法；當(dāng)()較大時(shí)，()的值變小，參數(shù)辨識(shí)的跟蹤能力增強(qiáng)，使算法快速收斂，達(dá)到快速跟蹤參數(shù)變化的目的；當(dāng)()的取值較小時(shí)，()的值增大甚至趨近于1，算法的跟蹤能力下降，同時(shí)穩(wěn)定性得到提高。結(jié)合固定遺忘因子的遞推最小二乘法的遞推公式，該算法的迭代公式可以表示為：

3 仿真驗(yàn)證

3.1 定參數(shù)仿真

對(duì)于永磁同步電機(jī)而言，經(jīng)常采用矢量控制的方式建立閉環(huán)系統(tǒng)，加上參數(shù)辨識(shí)模塊就構(gòu)成了如圖1所示的系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)框圖。其中位置和速度測(cè)量模塊用來獲取電機(jī)的轉(zhuǎn)速ω和轉(zhuǎn)子電角速度θ，轉(zhuǎn)速ω用于轉(zhuǎn)速環(huán)的反饋，轉(zhuǎn)子電角速度θ用于坐標(biāo)變換。

圖1 永磁同步電機(jī)參數(shù)辨識(shí)總體框架

為了測(cè)試永磁同步電機(jī)在恒定電機(jī)參數(shù)條件下參數(shù)辨識(shí)的效果，建立如圖1所示的仿真模型，其中PMSM模塊為Simulink集成的模塊，只能通過仿真運(yùn)行前的靜態(tài)框進(jìn)行離線設(shè)置，一旦仿真運(yùn)行時(shí)，參數(shù)不可改變。PMSM的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.003 kg?m，極對(duì)數(shù)為4，定子電阻為0.958 Ω，交直軸電感L和L均為8.5 mH，轉(zhuǎn)子磁鏈ψ為0.1 827 Wb，仿真時(shí)間為0.5 s，仿真步長(zhǎng)為0.005 s。通過對(duì)算法和系統(tǒng)的仿真調(diào)試選取=0.96。首先電機(jī)以額定轉(zhuǎn)速啟動(dòng)，0.2 s時(shí)突然施加2 N的負(fù)載，觀察變遺忘因子最小二乘法的辨識(shí)效果，如圖2所示。

由圖2可知，采用變遺忘因子遞推最小二乘法對(duì)PMSM的電阻、電感、磁鏈進(jìn)行在線辨識(shí)，最終都能夠得到比較準(zhǔn)確的結(jié)果。由于電感的估計(jì)值較小，在參數(shù)辨識(shí)的前期會(huì)出現(xiàn)較大的波動(dòng)，在50步的時(shí)候收斂到穩(wěn)定值。電阻和永磁體磁鏈辨識(shí)的結(jié)果幾乎接近預(yù)先設(shè)置的固定值，能滿足參數(shù)辨識(shí)的要求。

圖2 電機(jī)固定參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

3.2 變參數(shù)辨識(shí)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]提出的PMSM改進(jìn)模型，采用自定義模型的方法建立電機(jī)的仿真模型，由電機(jī)的電壓方程和電磁轉(zhuǎn)矩方程，將PMSM模型用S-Function函數(shù)的方式來實(shí)現(xiàn)，采用i=0的矢量控制方法建立的仿真模型如圖3所示。

圖3 矢量控制方法仿真模型

在仿真實(shí)驗(yàn)中，通過外部接入定子電阻、交直軸電感和永磁體磁鏈來設(shè)置PMSM的真實(shí)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)參數(shù)可調(diào)化；通過仿真將運(yùn)行時(shí)得到的電壓、電流等數(shù)據(jù)，保存到MATLAB的工作區(qū)間；然后經(jīng)過編寫的參數(shù)辨識(shí)函數(shù)完成對(duì)電機(jī)參數(shù)的估計(jì)。其中遺忘因子動(dòng)態(tài)函數(shù)中的取值要根據(jù)算法的跟蹤能力和抗噪聲的干擾能力進(jìn)行考慮，通過對(duì)算法和仿真調(diào)試，最終選取遺忘因子動(dòng)態(tài)函數(shù)中的為0.96。在仿真初始時(shí)刻，電機(jī)的各種參數(shù)設(shè)置為：=0.5 Ω，L=8.5 mH，ψ=0.17 Wb。

假設(shè)每次仿真過程中只改變一個(gè)參數(shù)值，在500步時(shí)參數(shù)值變化為=0.7 Ω，L=8.25 mH，ψ=0.19 Wb。

仿真設(shè)置RLS算法的協(xié)方差(0)為106，參數(shù)(0)為(10)[1, 1, 1]，在仿真過程中加入均值為0、方差為0.5的正態(tài)分布信號(hào)，仿真時(shí)間為0.5 s，仿真步長(zhǎng)為0.005 s，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.001 kg?m，極對(duì)數(shù)為4。觀察RLS各種辨識(shí)算法的參數(shù)辨識(shí)效果，如圖4所示。其中RLS表示普通遞推最小二乘法，F(xiàn)FRLS表示遺忘因子固定不變的遞推最小二乘法，VFFRLS表示遺忘因子可變的遞推最小二乘法。

由圖4可知，當(dāng)電機(jī)的參數(shù)在500步的時(shí)候發(fā)生變化，普通的RLS算法由于受到數(shù)據(jù)飽和的影響，隨著步數(shù)的增大，新采集的數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)估計(jì)值()的更新作用不大，從而導(dǎo)致RLS算法無法及時(shí)地跟蹤參數(shù)變化后的值，最終實(shí)時(shí)估計(jì)參數(shù)失敗。而VFFRLS算法和FFRLS算法都能快速跟蹤參數(shù)的變化，經(jīng)過800步的遞推，參數(shù)的估計(jì)值都非常接近真實(shí)值，在遞推的過程中可以明顯地觀察到VFFRLS算法的收斂速度比FFRLS算法更快，可見通過對(duì)遺忘因子的動(dòng)態(tài)調(diào)整能夠有效地提高算法的收斂速度，穩(wěn)態(tài)精度也滿足系統(tǒng)的要求，進(jìn)一步提高了算法的跟蹤能力和穩(wěn)定性。

圖4 電機(jī)參數(shù)可變辨識(shí)結(jié)果

4 結(jié) 語

本文在傳統(tǒng)的遞推最小二乘法的基礎(chǔ)上，提出了可變遺忘因子遞推最小二乘法辨識(shí)算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)永磁同步電機(jī)定子電阻、電感和永磁體磁鏈的在線估計(jì)。根據(jù)實(shí)際的模型和理論模型的差值，建立動(dòng)態(tài)變化的函數(shù)，實(shí)時(shí)調(diào)整()的取值，有效地解決了傳統(tǒng)RLS算法出現(xiàn)的數(shù)據(jù)飽和問題。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的RLS算法與傳統(tǒng)的最小二乘法和帶遺忘因子的遞推最小二乘法相比，收斂速度更快，具有較好的動(dòng)態(tài)跟蹤性能，兼顧了算法的收斂速度和辨識(shí)精度，進(jìn)一步提高了算法的綜合性能。

注：本文通訊作者為朱立軍。