多旅行商模型及其應(yīng)用研究綜述

張碩航，郭改枝

內(nèi)蒙古師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，呼和浩特010022

在科學(xué)研究和工程實(shí)踐中，組合優(yōu)化問(wèn)題（combinatorial optimization problem，COP）無(wú)處不在，同時(shí)隨著近代工業(yè)的發(fā)展，更好地求解組合優(yōu)化問(wèn)題能為企業(yè)和個(gè)人帶來(lái)更加可觀的經(jīng)濟(jì)效益。因此它不僅成為學(xué)術(shù)界研究熱點(diǎn)，其發(fā)展同樣受到社會(huì)各界的廣泛關(guān)注。目前，在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)布線、集成電路設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、資源分配等諸多領(lǐng)域都存在著組合優(yōu)化問(wèn)題。

盡管該類問(wèn)題的應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，但在求解過(guò)程中當(dāng)問(wèn)題規(guī)模越來(lái)越大時(shí)，解決問(wèn)題的時(shí)間成本是巨大的，加之現(xiàn)有的許多方法對(duì)解決這一問(wèn)題都沒(méi)有很好的效果，因此組合優(yōu)化問(wèn)題也被稱為NP難問(wèn)題。以旅行商問(wèn)題和多旅行商問(wèn)題為代表的便是一類典型的組合優(yōu)化問(wèn)題。本文首先以TSP（traveling salesman problem）作為切入點(diǎn)，通過(guò)對(duì)該單一問(wèn)題的簡(jiǎn)單歸納引出了作為其泛化問(wèn)題MTSP（multiple traveling salesman problem）的研究，重點(diǎn)關(guān)注解決多旅行商的啟發(fā)式方法及應(yīng)用領(lǐng)域兩方面，通過(guò)方法與應(yīng)用的結(jié)合對(duì)MTSP模型未來(lái)的研究方向進(jìn)行了展望。

1 旅行商問(wèn)題的產(chǎn)生與發(fā)展

第一個(gè)旅行商問(wèn)題于1954年被Dantzig等人用線性規(guī)劃解決，當(dāng)時(shí)的城市規(guī)模僅有49。但是隨著計(jì)算機(jī)求解速度的提高和先進(jìn)算法的不斷引入，目前已知成功解決TSP 的城市數(shù)量為24 978 個(gè)?？梢灶A(yù)見(jiàn)的是，隨著科技的不斷發(fā)展，未來(lái)可以計(jì)算的TSP規(guī)模會(huì)更大，各時(shí)期求解TSP規(guī)模的典型實(shí)例如圖1所示。

圖1 TSP規(guī)模的發(fā)展歷程Fig. 1 Development history of TSP scale

表1 TSP的計(jì)算量與計(jì)算時(shí)間Table 1 Calculation amount and calculation time of TSP

同樣，線性規(guī)劃作為早期解決TSP 的一種方法，主要采用的是割平面法，雖然線性規(guī)劃的求解效率比窮舉法高，但缺點(diǎn)是在求割平面時(shí)往往需要人工經(jīng)驗(yàn)判斷，這也反映出線性規(guī)劃法其實(shí)并不適合解決規(guī)模較大的多旅行商問(wèn)題。通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)人工設(shè)計(jì)的啟發(fā)式算法的一大缺陷是在不同問(wèn)題集上表現(xiàn)不穩(wěn)定，因此王原等人提出了深度學(xué)習(xí)與蟻群算法融合的框架，首先采用基于注意力機(jī)制的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)問(wèn)題實(shí)例進(jìn)行特征提取，然后采用蟻群算法對(duì)問(wèn)題實(shí)例進(jìn)行求解，兩種算法取長(zhǎng)補(bǔ)短，通過(guò)在TSPLIB上的實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，極大改善了TSP的解。更多關(guān)于深度學(xué)習(xí)方法求解旅行商問(wèn)題的其他方法可見(jiàn)綜述文獻(xiàn)[9]。

但經(jīng)典TSP 問(wèn)題是一種最基礎(chǔ)的求最短路徑規(guī)劃問(wèn)題，它只需要考慮路程最短這一單一條件約束，而生活中大部分實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題卻不能被歸納為TSP問(wèn)題，例如物流配送、人員調(diào)度、巡查救援等一些涉及到多任務(wù)分配與優(yōu)化的場(chǎng)景。多旅行商涉及到的內(nèi)容更復(fù)雜，研究成果也相對(duì)較少，但是隨著社會(huì)發(fā)展的需求變化，對(duì)多旅行商問(wèn)題的研究逐漸成為熱點(diǎn)。

2 多旅行商問(wèn)題

作為經(jīng)典組合優(yōu)化問(wèn)題TSP的擴(kuò)展，MTSP抽象模型的研究一開(kāi)始就側(cè)重于優(yōu)化旅行商的總路程，隨著對(duì)該問(wèn)題研究的深入以及對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的建模，研究人員發(fā)現(xiàn)將MTSP作為一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題已經(jīng)不能夠滿足于實(shí)際需求，在路由的分配過(guò)程中，既要考慮總路程最小化，又要考慮各推銷員之間的工作量的平衡；既要考慮盡可能提高公司的收益，又要考慮每個(gè)客戶服務(wù)的等待時(shí)間問(wèn)題。在理論模型的實(shí)際運(yùn)用的過(guò)程中，優(yōu)化問(wèn)題往往面臨多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的限制，具體的目標(biāo)依據(jù)實(shí)際問(wèn)題而不同。圖2 為=3 的單倉(cāng)庫(kù)多旅行商問(wèn)題示意圖，（a）為標(biāo)準(zhǔn)多旅行商的路線規(guī)劃圖，（b）為考慮任務(wù)量均衡的MTSP路線規(guī)劃示意圖，其中0表示配送中心，1到9為城市集合。

圖2 MTSP路線規(guī)劃圖Fig. 2 MTSP route plan

2.1 多旅行商特征

（1）銷售人員類型：根據(jù)應(yīng)用情況，MTSP中的旅行商可以是銷售人員、車輛、機(jī)器人或無(wú)人機(jī)。

（2）銷售人員的數(shù)量嚴(yán)格大于1，否則變?yōu)門SP問(wèn)題。

（3）合作型多旅行商：幾個(gè)旅行商可以合作完成給定的任務(wù)。它們可以是相同的車輛類型，也可以組合使用，例如用于卡車和無(wú)人機(jī)協(xié)同工作向客戶交付包裹的交付應(yīng)用。

2.2 倉(cāng)庫(kù)特征

（1）單倉(cāng)庫(kù)與多倉(cāng)庫(kù)

在標(biāo)準(zhǔn)MTSP中，通常只考慮一個(gè)倉(cāng)庫(kù)并且位置固定；而加入了多個(gè)旅行商后，多個(gè)站點(diǎn)的存在可以優(yōu)化遍歷成本。

（2）固定倉(cāng)庫(kù)與移動(dòng)倉(cāng)庫(kù)

在MTSP中倉(cāng)庫(kù)通常是固定的，然而在某些應(yīng)用中，倉(cāng)庫(kù)也可以是移動(dòng)的。例如，移動(dòng)倉(cāng)庫(kù)可以是無(wú)人機(jī)或卡車。

（3）封閉路徑與開(kāi)放路徑

在經(jīng)典的MTSP 中，旅行商的路徑是封閉的，因?yàn)樗麄儽仨氃谕粋}(cāng)庫(kù)位置開(kāi)始和結(jié)束他們的遍歷。但在某些實(shí)際應(yīng)用中，旅行商可以不需要返回倉(cāng)庫(kù)，停留在最后訪問(wèn)的城市即可。

2.3 多旅行商的城市規(guī)格

（1）標(biāo)準(zhǔn)MTSP：在標(biāo)準(zhǔn)MTSP 中，所有旅行商共享相同的工作空間，即他們共享所有城市。

（2）有色MTSP：有色旅行商問(wèn)題（colored traveling salesman problem，CTSP）是一個(gè)廣義的多旅行商問(wèn)題。該問(wèn)題中定義了兩種類型的城市：一種是特定旅行商可以訪問(wèn)的單色專用城市；另一種是所有旅行商都可以訪問(wèn)的多色共享城市。

2.4 多旅行商的目標(biāo)函數(shù)

MTSP可用于優(yōu)化單個(gè)目標(biāo)或多個(gè)目標(biāo)，主要目標(biāo)如表2，其中能量消耗和任務(wù)完成時(shí)間是高度依賴于行駛距離的。

表2 優(yōu)化目標(biāo)的細(xì)分Table 2 Segmentation of optimization goals

2.5 問(wèn)題約束

（1）能量約束

旅行商在移動(dòng)過(guò)程中會(huì)消耗能量。當(dāng)旅行商是卡車等車輛時(shí)，其約束唯一取決于油量，但小型無(wú)人機(jī)或機(jī)器人等智能產(chǎn)品的自主性有限，當(dāng)旅行商是智能產(chǎn)品或下文提到的傳感器節(jié)點(diǎn)時(shí)，要考慮其續(xù)航能力等。

（2）容量約束

在任務(wù)期間旅行商可能攜帶包裹或數(shù)據(jù)。與能量約束相同，車輛容量的約束通常適用于小型車輛，如無(wú)人機(jī)只能承載小包裹，其數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器存儲(chǔ)也可能是有限的。

（3）時(shí)間窗約束

在某些實(shí)際問(wèn)題中，在任務(wù)中往往會(huì)給旅行商設(shè)定最晚到達(dá)時(shí)間或時(shí)間間隔等要求。在無(wú)線傳感網(wǎng)等領(lǐng)域中，它可能對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)延遲。在這種情況下，對(duì)于節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的提取、轉(zhuǎn)移和交付就提出了要求。

2.6 變體的形式化描述

正如前文中所描述，MTSP在不同應(yīng)用中有不同的主體，但由于多旅行商遍歷的公式會(huì)因旅行商是否起終點(diǎn)一致等問(wèn)題而不同，因此作為考慮約束的多旅行商問(wèn)題，設(shè)定個(gè)目標(biāo)的集合為{,,…,T，個(gè)機(jī)器人的集合為{,,…,R}，則將四種情況下的多旅行商目標(biāo)函數(shù)建模如下：

（1）單倉(cāng)庫(kù)閉合路徑的MTSP

個(gè)推銷員從同一起點(diǎn)出發(fā)，最終返回起點(diǎn)。

（2）單倉(cāng)庫(kù)開(kāi)放路徑的MTSP

在該模型中，旅行商在最后一處訪問(wèn)城市任務(wù)終止，不再回到起點(diǎn)。

（3）多倉(cāng)庫(kù)閉合路徑的MTSP

個(gè)推銷員從不同起點(diǎn)出發(fā)，遍歷了目標(biāo)城市后最終返回到各自的起點(diǎn)。

（4）多倉(cāng)庫(kù)開(kāi)放路徑的MTSP

個(gè)旅行商從不同起點(diǎn)出發(fā)，任務(wù)結(jié)束后停留在當(dāng)前城市，無(wú)須返回各自起點(diǎn)。

對(duì)MTSP的變體類型及主要特征的歸納如圖3。

圖3 MTSP的主要特征Fig. 3 Main features of MTSP

3 MTSP模型的算法求解

最初在19 世紀(jì)學(xué)者們大多采用精確算法對(duì)MTSP 進(jìn)行求解，精確算法常見(jiàn)的包括窮舉法、線性規(guī)劃法和分支定界法。Ali等人用分支定界法對(duì)非對(duì)稱MTSP 進(jìn)行求解，求解規(guī)模最多為100 個(gè)城市；Gavish等人對(duì)分支定界法進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)限定分支定界的下界，減少了算法運(yùn)行所需要的時(shí)間。該方法的關(guān)鍵在于如何選擇合適的約束邊界，不同的約束邊界會(huì)形成不同的分支定界方法，因此處理多旅行商問(wèn)題是不現(xiàn)實(shí)的。由于多旅行商問(wèn)題的解空間會(huì)隨問(wèn)題規(guī)模的擴(kuò)大呈指數(shù)方式增長(zhǎng)，精確算法對(duì)此較難求解，而啟發(fā)式算法比盲目搜索更高效，一個(gè)經(jīng)過(guò)仔細(xì)設(shè)計(jì)的啟發(fā)函數(shù)，往往在很快的時(shí)間內(nèi)就可得到一個(gè)搜索問(wèn)題的最優(yōu)解，對(duì)于NP 問(wèn)題，亦可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)得到一個(gè)較優(yōu)解，因此學(xué)者們逐漸傾向于采用啟發(fā)式算法對(duì)MTSP 進(jìn)行求解。然而隨著MTSP的不斷發(fā)展，從原始的優(yōu)化推銷員路徑優(yōu)化問(wèn)題，到處理地面車輛和機(jī)器人調(diào)度問(wèn)題，再到現(xiàn)在的無(wú)人機(jī)協(xié)同任務(wù)分配。變體的多樣導(dǎo)致求解方法的側(cè)重不同，本文將主要圍繞啟發(fā)式算法解決MTSP展開(kāi)綜述。

3.1 基于蟻群算法的方法

蟻群算法（ant colony optimization，ACO）是求解組合優(yōu)化問(wèn)題中一種基于種群的元啟發(fā)式算法，在種群中，每個(gè)個(gè)體都是一個(gè)人工智能，可以逐漸地、隨機(jī)地構(gòu)造給定優(yōu)化問(wèn)題的解。而蟻群算法作為一大經(jīng)典算法已被廣泛用于路徑問(wèn)題中，由于其具有的極高求解效率至今仍然是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。

Xu等人為了使多個(gè)無(wú)人水下航行器的總行駛距離最小，將該任務(wù)分配問(wèn)題建模為了約束MTSP，然后提出多蟻群系統(tǒng)方法來(lái)求解多目標(biāo)MTSP，最終使得航行器能耗最小化。文獻(xiàn)[14]提出了面向任務(wù)的最大-最小蟻群算法，作者使用兩個(gè)信息素來(lái)實(shí)現(xiàn)不同的目標(biāo)，減輕了蟻群之間的相互糾纏來(lái)解決MTSP，目的是最小化總距離最終實(shí)現(xiàn)了負(fù)載平衡。Chen等人提出并實(shí)現(xiàn)了一種雙目標(biāo)問(wèn)題的局部搜索方法最小化了多機(jī)器人巡邏的總行程。在該文章的實(shí)驗(yàn)中，與四種最經(jīng)典的算法進(jìn)行了評(píng)估和比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法在求解質(zhì)量方面都優(yōu)于其他比較算法，但該方案比文獻(xiàn)[16]中的模糊邏輯方法（fuzzy logic-multiple traveling salesman problem，F(xiàn)L-MTSP）時(shí)間更長(zhǎng)，因?yàn)镕L-MTSP 算法是先將多目標(biāo)問(wèn)題分解為單目標(biāo)問(wèn)題再提供一個(gè)最優(yōu)解，在執(zhí)行時(shí)間方面較有優(yōu)勢(shì)。Wang等人考慮了現(xiàn)代商業(yè)物流的時(shí)間限制和車輛的承載能力對(duì)物流優(yōu)化的影響，利用改進(jìn)信息素模型的蟻群算法求解了具有容量和時(shí)間窗約束的MTSP問(wèn)題，提高了算法的搜索效率同時(shí)優(yōu)化了最短路徑。

3.2 基于遺傳算法的方法

遺傳算法（genetic algorithm，GA）的原理是基于自然選擇和遺傳，從上一代中產(chǎn)生最優(yōu)解，但利用遺傳算法求解MTSP 時(shí)，如何保持良好的個(gè)體，保持種群的多樣性一直是一個(gè)難題。

文獻(xiàn)[18]為了提高遺傳算法的搜索性能，提出了兩部分染色體編碼方法的遺傳算法來(lái)求解MTSP，實(shí)驗(yàn)表明該方法可以有效縮小搜索空間并優(yōu)化總路程，證明了該交叉方法生成了更好的解。而葉多福等人提出了一種帶復(fù)雜突變樹(shù)的多染色體遺傳算法，設(shè)計(jì)了一種多染色體編碼的編碼方式，將可行解的搜索范圍大幅縮小，同時(shí)還能根據(jù)染色體數(shù)量自適應(yīng)調(diào)節(jié)旅行商數(shù)量，目的是在滿足時(shí)間約束的條件下，完成遍歷任務(wù)且旅行商數(shù)量和旅行時(shí)間相對(duì)均衡。減少了算法運(yùn)行時(shí)間，優(yōu)化了旅行商數(shù)量。文獻(xiàn)[20]提出了將選擇和變異結(jié)合在一起的新的單親遺傳算法（improved partheno genetic algorithm，IPGA），通過(guò)考慮機(jī)器人的路線和染色體上的斷點(diǎn)，使用序列編碼方法來(lái)描述真實(shí)種群。將該方法與基于特定TSPLIB基準(zhǔn)的粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）進(jìn)行了比較，IPGA 具有更好的性能。Wang 等人針對(duì)PGA 種群中個(gè)體局部信息可能缺失的缺陷，將繁殖機(jī)制集成到了入侵雜草優(yōu)化算法（invasive weed optimization，IWO）中，得到了改進(jìn)的帶繁殖機(jī)制的單親遺傳算法（reproduction improved partheno genetic algorithm，RIPGA）。利用該改進(jìn)算法研究了具有多個(gè)站點(diǎn)和封閉路徑的多旅行推銷員問(wèn)題，該算法可以有效地避免局部收斂，且受參數(shù)影響小穩(wěn)定性較好。胡世娟通過(guò)在雜草算法中引入繁殖機(jī)制產(chǎn)生后代進(jìn)行遺傳操作，解決了工作量平衡的MTSP，從而改善了快遞員配送環(huán)節(jié)的任務(wù)平衡問(wèn)題。同時(shí)，將混合局部?jī)?yōu)化算子作為變異算子加入算法中，增強(qiáng)了算法的局部搜索能力，實(shí)驗(yàn)表明旅行商數(shù)量越大，算法的優(yōu)勢(shì)越明顯。

但是由于一些實(shí)際應(yīng)用需要優(yōu)化多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，如最小化機(jī)器人的能量消耗、任務(wù)完成時(shí)間等，用于解決MTSP的方法可能需要同時(shí)優(yōu)化多個(gè)目標(biāo)，這類問(wèn)題被稱為多目標(biāo)MTSP。Bola?os等人提出了一種基于非支配排序遺傳算法（non-dominated sorting genetic algorithm，NSGA-II）的多目標(biāo)多旅行商問(wèn)題求解方法，考慮了MTSP 的兩個(gè)目標(biāo)：總距離的最小化和旅行商工作時(shí)間的平衡，但作者并沒(méi)有對(duì)時(shí)間的計(jì)算給出解釋。文獻(xiàn)[24]同樣提出了基于NSGA-II算法的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，即部署無(wú)線傳感器節(jié)點(diǎn)的多機(jī)器人軌跡優(yōu)化問(wèn)題。在該問(wèn)題中作者考慮了三個(gè)目標(biāo)：最小化任務(wù)時(shí)間（即傳感器部署時(shí)間）、最小化機(jī)器人的使用數(shù)量以及平衡機(jī)器人巡視時(shí)間。

在文獻(xiàn)[25]的研究中，作者首先將無(wú)人機(jī)作為移動(dòng)sink點(diǎn)，其次利用遺傳算法確定每架無(wú)人機(jī)對(duì)集群內(nèi)每個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的訪問(wèn)次數(shù)。解決了大規(guī)模無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中使用多個(gè)移動(dòng)接收器進(jìn)行數(shù)據(jù)收集的問(wèn)題，以節(jié)省整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的能量并提高數(shù)據(jù)包的傳輸速率。而文獻(xiàn)[26]的一項(xiàng)研究提出使用無(wú)人機(jī)作為信息傳送節(jié)點(diǎn)，負(fù)責(zé)在即時(shí)延容忍網(wǎng)絡(luò)中斷開(kāi)的節(jié)點(diǎn)之間傳送信息。采用遺傳算法在可行時(shí)間內(nèi)求解問(wèn)題。在遺傳算法中構(gòu)建集群的節(jié)點(diǎn)，使每個(gè)無(wú)人機(jī)對(duì)應(yīng)一個(gè)集群，通過(guò)無(wú)人機(jī)路徑的確定使得訪問(wèn)集群內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)，最小化網(wǎng)絡(luò)中消息傳遞延遲。

3.3 基于粒子群算法的方法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是最著名的元啟發(fā)式算法之一，與遺傳算法有許多相似之處，每次迭代中，粒子通過(guò)跟蹤個(gè)體最優(yōu)位置“PBest”和全局最優(yōu)位置“GBest”兩個(gè)極值來(lái)更新自身。

在文獻(xiàn)[27]的研究中，作者擴(kuò)展了標(biāo)準(zhǔn)PSO以處理多個(gè)目標(biāo)，解決了多機(jī)器人協(xié)作任務(wù)分配問(wèn)題并將其表述為MTSP，目的是使機(jī)器人的總行程和最大旅行成本最小化。在該文的實(shí)驗(yàn)中將提出的方法與著名的現(xiàn)有多目標(biāo)方法進(jìn)行了比較，如SPEA2（strength pareto evolutionary algorithm 2）和NSGA-II，并證明了其優(yōu)越性。其中SPEA2也叫作強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法，是一種相對(duì)較新的技術(shù)，用于尋找或逼近多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的帕累托最優(yōu)集。在相同的背景下，文獻(xiàn)[30]也討論了多機(jī)器人任務(wù)分配問(wèn)題，并提出了基于動(dòng)態(tài)分布式的PSO，實(shí)驗(yàn)部分將該分布式粒子群算法和GA進(jìn)行了比較，有很強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)性。

3.4 其他方法

Venkatesh 等人使用人工蜂群算法（artificial bee colony，ABC）來(lái)求解單倉(cāng)庫(kù)的MTSP，目的是使總行駛距離（MinSum）和最大行駛距離（MinMax）最小。該作者在文獻(xiàn)[32]中還闡述了著色MTSP，并提出了基于ABC的解決方案。關(guān)于有色MTSP的進(jìn)一步研究見(jiàn)文獻(xiàn)[33]，作者對(duì)ABC 算法進(jìn)行了改進(jìn)，引入了生成鄰域解來(lái)求解MTSP。

Venkatachalam 等人提出了基于燃料約束的多無(wú)人機(jī)路由問(wèn)題，通過(guò)引入兩階段隨機(jī)模型來(lái)解決不確定情況下多無(wú)人機(jī)的路線規(guī)劃，第一階段目標(biāo)是最小化所有無(wú)人機(jī)飛行距離的總和，而第二階段的目標(biāo)是最小化額外加油停留的預(yù)期飛行距離。實(shí)驗(yàn)表明采用的禁忌搜索法在中型和大型測(cè)試實(shí)例中都提供了高質(zhì)量的解決方案。

3.5 基于混合算法的方法

一些研究提出了結(jié)合不同的元啟發(fā)式和技術(shù)的混合算法，以更有效地解決多旅行商問(wèn)題。當(dāng)合作無(wú)人機(jī)在危險(xiǎn)區(qū)域執(zhí)行多個(gè)任務(wù)時(shí)，優(yōu)化部署的無(wú)人機(jī)數(shù)量和每架無(wú)人機(jī)的飛行軌跡，將有助于在最短的時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)。在此背景下，Jiang 等人在研究中提出了任務(wù)分配和路徑規(guī)劃問(wèn)題，在給定的時(shí)間約束和任務(wù)集下優(yōu)化無(wú)人機(jī)的數(shù)量。為了解決這一問(wèn)題，提出了一種結(jié)合遺傳算法和聚類算法的協(xié)同優(yōu)化算法。作者首先提出了-means 聚類算法來(lái)構(gòu)建多任務(wù)的聚類，每個(gè)聚類將分配給一個(gè)無(wú)人機(jī)。其次將同一集群的相鄰任務(wù)分組，以減少無(wú)人機(jī)可訪問(wèn)的位置數(shù)量。在考慮時(shí)間約束的情況下，基于遺傳算法求解TSP 優(yōu)化問(wèn)題。將協(xié)同優(yōu)化算法與遺傳算法進(jìn)行比較評(píng)價(jià)，結(jié)果表明所提出的協(xié)同優(yōu)化算法比遺傳算法更有效。文獻(xiàn)[36]將蟻群算法與單親遺傳算法相結(jié)合，提出了一種新的大規(guī)模MTSP混合算法。該算法首先利用GA來(lái)確定旅行商站點(diǎn)的最佳值以及每個(gè)旅行商訪問(wèn)的城市數(shù)量，然后利用ACO計(jì)算每個(gè)旅行商的最短路徑。張富震等人提出了一種基于融合粒子群-魚(yú)群優(yōu)化算法（particle swarm optimization-artificial fish swarm algorithm，PSO-AFSA）的航跡預(yù)規(guī)劃任務(wù)分配策略，先對(duì)單無(wú)人機(jī)進(jìn)行航跡規(guī)劃模擬，再利用匈牙利算法完成各架無(wú)人機(jī)偵察任務(wù)協(xié)同分配。該算法能在優(yōu)化單無(wú)人機(jī)航跡的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)與任務(wù)協(xié)同分配緊耦合，使無(wú)人機(jī)集群總航程的全局總代價(jià)最低，提高了任務(wù)分配合理性。Decerle等人進(jìn)一步研究解決了家庭保健問(wèn)題中護(hù)理者的日程安排和路線，并將其制定為帶有時(shí)間窗口的多旅行商問(wèn)題。通過(guò)結(jié)合蟻群算法和記憶算法的混合方法，平衡了看護(hù)人員的工作時(shí)間。

表3將求解算法進(jìn)行了分類，歸納了不同算法求解MTSP模型的最小化目標(biāo)與具體解決方法的差異。

表3 不同算法下優(yōu)化目標(biāo)與解決方法的異同Table 3 Similarities and differences between optimization objectives and solutions under different algorithms

4 MTSP的應(yīng)用領(lǐng)域

多年來(lái)，車輛、移動(dòng)機(jī)器人和無(wú)人機(jī)作為一類可代替人工的智能手段，它們使許多復(fù)雜的任務(wù)更加安全和容易。為了實(shí)現(xiàn)這些任務(wù)，需要在考慮約束的同時(shí)優(yōu)化給定的目標(biāo)。由于MTSP 不允許重復(fù)遍歷和分游等特點(diǎn)，該問(wèn)題的解決方案可用于解決車輛路由和任務(wù)分配等路線規(guī)劃的相關(guān)問(wèn)題。根據(jù)應(yīng)用需求，MTSP 的旅行商可以由地面車輛（機(jī)器人或貨車）代表，也可以由飛行車輛（無(wú)人機(jī)）代表，而旅行商要訪問(wèn)的城市也可以有不同的表示，例如運(yùn)輸和交付服務(wù)中的客戶、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)收集的傳感器節(jié)點(diǎn)、軍事任務(wù)中的目標(biāo)、災(zāi)害中的受困者等。本文將MTSP模型的主要應(yīng)用領(lǐng)域分為以下五類。

4.1 物流運(yùn)輸與配送

在如今數(shù)字媒體和互聯(lián)網(wǎng)+高速發(fā)展的背景下，傳統(tǒng)物流也隨之轉(zhuǎn)型，逐漸成為發(fā)展國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的重要一環(huán)。在服務(wù)至上的今天，既要縮短商品配送的時(shí)間，也要保證服務(wù)質(zhì)量，而如何將二者兼顧，是目前的一大難題。面對(duì)運(yùn)輸帶來(lái)的種種困難，學(xué)者們選擇利用多旅行商模型來(lái)改善物流中出現(xiàn)的許多實(shí)際問(wèn)題，使其節(jié)省成本，提高效率，來(lái)彌補(bǔ)運(yùn)輸時(shí)的不足。例如貨物分發(fā)或包裹遞送或汽車運(yùn)輸。車輛負(fù)責(zé)將貨物、包裹或人員從一個(gè)地點(diǎn)運(yùn)送到另一個(gè)地點(diǎn)。在這種應(yīng)用中，應(yīng)考慮車輛容量和時(shí)間約束。

在物流運(yùn)輸環(huán)節(jié)，“最后一公里”物流配送具有配送方式苛刻、配送時(shí)效要求高、個(gè)性化差異化配送需求大、訂單多但規(guī)模小等特點(diǎn)，因而面臨許多問(wèn)題和挑戰(zhàn)。但無(wú)論采用哪種配送方式，都需要解決哪個(gè)快遞員、以什么順序送達(dá)的問(wèn)題，因此這類問(wèn)題可以被抽象為MTSP。袁雨果以電商物流的“最后一公里”配送為研究對(duì)象，提出了解決多個(gè)快遞員的任務(wù)分配和路線優(yōu)化的方法，首先將該問(wèn)題考慮為任務(wù)均衡的MTSP，然后設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的遺傳算法求解該問(wèn)題。而文獻(xiàn)[41]為避免多個(gè)快遞員在“最后一公里”的配送任務(wù)中出現(xiàn)路程不均衡的現(xiàn)象，將此規(guī)劃問(wèn)題抽象成了MTSP模型，進(jìn)而提出了一種新穎的回跳重組蟻群算法來(lái)優(yōu)化該模型。在該目標(biāo)下，不僅最小化了快遞員的總配送距離，還均衡了快遞員之間的配送距離。

然而隨著無(wú)人機(jī)和移動(dòng)機(jī)器人等新興技術(shù)的出現(xiàn)，產(chǎn)生了新的運(yùn)輸服務(wù)，即利用無(wú)人機(jī)運(yùn)輸小包裹、移動(dòng)機(jī)器人分揀快遞貨物等來(lái)顯著縮短交付時(shí)間。如潘成浩等人針對(duì)倉(cāng)儲(chǔ)物流過(guò)程中訂單揀選機(jī)器人高效的實(shí)時(shí)路徑規(guī)劃問(wèn)題，建立了以路徑總長(zhǎng)度最小為優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的多旅行商，通過(guò)結(jié)合改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法實(shí)現(xiàn)批量選擇路徑規(guī)劃，很好地適應(yīng)了批量揀選機(jī)器人路徑規(guī)劃的需求。Murray等人同樣考慮了“最后一英里”的物流交付系統(tǒng)，但不同之處是在該系統(tǒng)中，利用一輛送貨卡車與一組無(wú)人機(jī)進(jìn)行協(xié)同工作，相互配合，從貨車上便可部署無(wú)人機(jī)的任務(wù)，使距離倉(cāng)庫(kù)較遠(yuǎn)的客戶能夠接收無(wú)人機(jī)的交付。文獻(xiàn)[44]面對(duì)該協(xié)同任務(wù)首先最小化了卡車和無(wú)人機(jī)到達(dá)倉(cāng)庫(kù)的時(shí)間，其次開(kāi)發(fā)了一種基于插入啟發(fā)式的新算法，用來(lái)解決包含100個(gè)位置的大型問(wèn)題。與傳統(tǒng)的單一卡車或無(wú)人機(jī)交付系統(tǒng)相比有潛在的增益，可見(jiàn)成本得到了極大控制。

4.2 應(yīng)急與救援

在突發(fā)事件中，應(yīng)急部門需要及時(shí)、準(zhǔn)確、有效地向受災(zāi)地區(qū)運(yùn)送救援物資，最大限度地減少生命財(cái)產(chǎn)損失。然而大多數(shù)災(zāi)害無(wú)法提前預(yù)測(cè)，救援時(shí)間有限。因此，利用數(shù)學(xué)建模和計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)輔助決策者在最短的時(shí)間內(nèi)制定車輛調(diào)度方案具有重要的研究意義。

應(yīng)急救援路徑的選擇主要包含疏散工作和救援物資車輛調(diào)度這兩方面，其中疏散工作又包括人員疏散和車輛物資疏散。劉明等人將應(yīng)急物資分配結(jié)構(gòu)問(wèn)題看作MTSP，并設(shè)計(jì)了一種新的混合遺傳算法，優(yōu)化了各種突發(fā)情況下的應(yīng)急物資分配過(guò)程。在突發(fā)情況下，救災(zāi)物資的車輛調(diào)度應(yīng)注重時(shí)間因素，只有及時(shí)、準(zhǔn)確地將所需物資送達(dá)需求點(diǎn)，才能最大限度地減少損失。因此姚書(shū)婷等人以總配送時(shí)間最小的目標(biāo)建立了一個(gè)應(yīng)急物資運(yùn)輸?shù)穆窂絻?yōu)化模型，同時(shí)對(duì)該模型加入時(shí)間窗約束，以此來(lái)確定最佳配送路徑和時(shí)間。除了救援物資的車輛調(diào)度以外，在室內(nèi)的緊急救援任務(wù)中，急救人員需要快速準(zhǔn)確地確定被害者位置，因此需要提前制定搜索計(jì)劃規(guī)劃其營(yíng)救路徑。為了及時(shí)制定內(nèi)部巡查路線，并指派救援隊(duì)進(jìn)行初步搜索，文獻(xiàn)[47]將問(wèn)題描述為MTSP，目標(biāo)是使得每個(gè)救援隊(duì)的總路徑最短，縮短了搜尋時(shí)間。災(zāi)情發(fā)生后除了人員的地面搜救外，陳昕葉研究了多機(jī)器人搜索與救援的任務(wù)模式，建立了多機(jī)器人搜索和救援任務(wù)分配的組合優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。設(shè)計(jì)的算法可以滿足在機(jī)器人損毀、機(jī)器人數(shù)量新增或任務(wù)新增等動(dòng)態(tài)環(huán)境變化的情況下快速適應(yīng)動(dòng)態(tài)環(huán)境的要求。

無(wú)人機(jī)由于其航空特性和進(jìn)行大規(guī)模檢查的能力，在實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)洪水、干旱和地震等自然災(zāi)害方面具有特殊優(yōu)勢(shì)。在完成災(zāi)情巡查、生命跡象探測(cè)等協(xié)同任務(wù)時(shí)，需要對(duì)無(wú)人機(jī)進(jìn)行任務(wù)分配與航跡規(guī)劃?；谏鲜鰞?yōu)勢(shì)，文獻(xiàn)[49]將緊急救援和救災(zāi)中無(wú)人機(jī)的調(diào)度優(yōu)化和路徑優(yōu)化轉(zhuǎn)化為多旅行商問(wèn)題，最后結(jié)合遺傳算法最小化了找到目標(biāo)的時(shí)間和建立通信的時(shí)間，可以高效地執(zhí)行搜救任務(wù)。

4.3 數(shù)據(jù)采集與傳輸

近年來(lái)，無(wú)線傳感器技術(shù)以及低功耗無(wú)線通信技術(shù)受到廣泛的使用與發(fā)展。無(wú)線傳感器由電池驅(qū)動(dòng)，能量非常有限，但它們的工作時(shí)間需要幾個(gè)月甚至幾年。而且關(guān)鍵路徑上的一些節(jié)點(diǎn)耗能過(guò)快，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點(diǎn)耗能不均衡，最終導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)崩潰，網(wǎng)絡(luò)壽命受限。因此如何降低網(wǎng)絡(luò)能量消耗，延長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)生存時(shí)間成為無(wú)線傳感網(wǎng)研究的熱點(diǎn)，而優(yōu)化數(shù)據(jù)傳輸路徑則成為解決問(wèn)題的一個(gè)重要途徑。與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)路由數(shù)據(jù)采集技術(shù)相比，無(wú)線移動(dòng)節(jié)點(diǎn)是無(wú)線傳感器網(wǎng)中采集數(shù)據(jù)的新技術(shù)。在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中，為了減少能量空洞，文獻(xiàn)[50]通過(guò)規(guī)劃移動(dòng)sink點(diǎn)的最短路徑來(lái)收集節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)。此外，利用多個(gè)移動(dòng)機(jī)器人作為移動(dòng)接收器，可以幫助收集傳感器節(jié)點(diǎn)提供的數(shù)據(jù)，這種數(shù)據(jù)收集策略使得位于固定匯聚附近的傳感器節(jié)點(diǎn)的能量耗散最小化，從而增加了網(wǎng)絡(luò)壽命。Huang 等人也將移動(dòng)機(jī)器人引入無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。針對(duì)單個(gè)機(jī)器人提出了一種最短可行路徑規(guī)劃算法，不僅在有障礙物的傳感場(chǎng)中訪問(wèn)傳感器節(jié)點(diǎn)，同時(shí)能最大限度地減少路徑長(zhǎng)度。這種數(shù)據(jù)收集策略允許將位于固定接收器附近的傳感器節(jié)點(diǎn)的能量消耗降至最低，從而延長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)壽命。Wei 等人針對(duì)傳感器節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)采集和能量充電聯(lián)合問(wèn)題，提出了一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化模型，提出的多目標(biāo)模型優(yōu)化了移動(dòng)機(jī)器人的總能量效率，降低傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)傳輸?shù)钠骄舆t。在容延遲網(wǎng)絡(luò)中，移動(dòng)機(jī)器人可以通過(guò)從源節(jié)點(diǎn)拾取數(shù)據(jù)并將其傳送到目的節(jié)點(diǎn)來(lái)重新建立網(wǎng)絡(luò)連接。

4.4 軍事領(lǐng)域

隨著人工智能時(shí)代的到來(lái)，近些年MTSP的模型還多被用于無(wú)人機(jī)等智能產(chǎn)品的路徑規(guī)劃問(wèn)題中，其中，多無(wú)人機(jī)協(xié)同任務(wù)規(guī)劃大致可分為系統(tǒng)資源分配、任務(wù)分配、導(dǎo)航規(guī)劃、軌跡優(yōu)化、武器投放規(guī)劃等。

在軍事任務(wù)中，集群攻擊地面多目標(biāo)群的研究是實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)群作戰(zhàn)的重要內(nèi)容。而如何在攻擊地面多目標(biāo)群的過(guò)程中找到最優(yōu)的攻擊路徑是一個(gè)難題。徐國(guó)訓(xùn)等人根據(jù)機(jī)群攻擊多目標(biāo)群的研究現(xiàn)狀，建立了機(jī)群攻擊多目標(biāo)群的路徑規(guī)劃模型，將攻擊地面多目標(biāo)群過(guò)程中的路徑規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為MTSP問(wèn)題。并提出了一種基于MTSP-GA的模型計(jì)算方法，分別得到了單基地起飛和雙基地起飛的最優(yōu)路徑規(guī)劃結(jié)果。Zhu 等人旨在研究執(zhí)行打擊任務(wù)的無(wú)人機(jī)的最優(yōu)路徑,在無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃中，考慮了時(shí)間窗和每個(gè)目標(biāo)的一定環(huán)形防御范圍、最佳炸彈和燃料負(fù)載等因素，以便更好地為每個(gè)無(wú)人機(jī)分配目標(biāo)并確定打擊順序。將禁忌搜索算法應(yīng)用于無(wú)人機(jī)航路中止和打擊策略的優(yōu)化，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的性能。在日益復(fù)雜的戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中，描述協(xié)同偵察對(duì)于與裝載在不同基地的多架無(wú)人駕駛飛行器有關(guān)的空中交通至關(guān)重要。與所有無(wú)人機(jī)僅從一個(gè)基地起飛的傳統(tǒng)問(wèn)題相比，文獻(xiàn)[55]是為了解決偵察任務(wù)，將最小逗留時(shí)間轉(zhuǎn)化為最短路徑組合優(yōu)化問(wèn)題，并將航向角離散化。將圖論應(yīng)用于分析路徑問(wèn)題，可以建立具有多種約束條件的全局模型。最后，通過(guò)遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解，可以生成有價(jià)值的偵察路徑規(guī)劃。并以4 個(gè)基地的8 架無(wú)人機(jī)完成68個(gè)目標(biāo)的偵察任務(wù)為例，給出了最優(yōu)解，說(shuō)明了所提模塊化和算法的可行性和有效性。

4.5 現(xiàn)代農(nóng)業(yè)

隨著人口的增長(zhǎng)，農(nóng)作物生產(chǎn)的效率和產(chǎn)量變得愈發(fā)重要，文獻(xiàn)[56]討論了全覆蓋條件下多收割機(jī)的路由問(wèn)題，田地沿著作物方向被分成幾塊，目的是將多個(gè)收割機(jī)分配到田地中的各個(gè)區(qū)域，以便收獲所有作物且路段不被重復(fù)遍歷。該問(wèn)題作為旅行商的一種延伸，不但最小化了行駛距離，還平衡了收割機(jī)間的工作量。在精準(zhǔn)農(nóng)業(yè)中，無(wú)人機(jī)可部署于農(nóng)田噴灑殺蟲(chóng)劑。在此背景下，文獻(xiàn)[57]研究介紹了任務(wù)分配和多架四輪直升機(jī)的路徑規(guī)劃問(wèn)題，將其表述為MTSP的優(yōu)化問(wèn)題，最終成功實(shí)現(xiàn)了在考慮四架直升機(jī)電池容量限制的同時(shí)有效減少了任務(wù)完成時(shí)間。為了提高多臂采摘機(jī)器人在矮化、密植果園的協(xié)同工作效率，李濤等人分析了多臂采摘機(jī)器人工作時(shí)出現(xiàn)的訪問(wèn)域重疊的問(wèn)題，提出了基于遺傳算法的優(yōu)化求解方法，既保證了各臂能避免沖突，又能在短時(shí)間內(nèi)遍歷所有目標(biāo)果實(shí)，提高了操作效率。盡管地面車輛和無(wú)人機(jī)都對(duì)農(nóng)民有很大幫助，在智慧農(nóng)業(yè)系統(tǒng)中，采用具有多種傳感器的移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行宏觀信息感知也是農(nóng)業(yè)可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵步驟。因此在滿足真實(shí)場(chǎng)景要求的區(qū)域監(jiān)控策略中，優(yōu)化移動(dòng)機(jī)器人的行動(dòng)是必要的，因此農(nóng)民需要為每個(gè)機(jī)器人提供一個(gè)優(yōu)化的路徑，以降低成本和提高產(chǎn)量。Li等人提出了一種基于云的架構(gòu)，由無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)、移動(dòng)機(jī)器人和云系統(tǒng)組成，以監(jiān)測(cè)溫室區(qū)域。首先生成移動(dòng)機(jī)器人訪問(wèn)的候選區(qū)域監(jiān)測(cè)點(diǎn)，然后令機(jī)器人到達(dá)這些點(diǎn)的移動(dòng)路徑。通過(guò)對(duì)不同應(yīng)用領(lǐng)域的分析歸納，表4將MTSP在不同變體下的分類結(jié)合適用場(chǎng)景進(jìn)行了優(yōu)劣勢(shì)總結(jié)。

表4 MTSP不同變體下的分類Table 4 Classification under different variants of MTSP

5 總結(jié)與展望

本文首先對(duì)MTSP與TSP進(jìn)行了辨析，以及回答了為何要著重研究MTSP 的現(xiàn)實(shí)意義。盡管MTSP與現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用非常相關(guān)，但目前很多研究仍然只停留在優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的階段，而沒(méi)有考慮特定的應(yīng)用領(lǐng)域。因此在單一旅行商問(wèn)題的鋪墊下，引入了多旅行商模型。由于學(xué)術(shù)研究的最終目標(biāo)是要解決實(shí)際問(wèn)題，本文并非是單純地總結(jié)數(shù)學(xué)模型與改進(jìn)方法，而是結(jié)合了應(yīng)用領(lǐng)域來(lái)幫助讀者拓寬研究思路。當(dāng)研究是在特定的背景下進(jìn)行時(shí)，如包裹遞送、數(shù)據(jù)收集、監(jiān)測(cè)與監(jiān)控等，則伴隨著MTSP變體的產(chǎn)生。本文在第2 章將不同應(yīng)用中的變體進(jìn)行了提煉總結(jié)，在不同的應(yīng)用環(huán)境中考慮了不同類型的主體（車輛、機(jī)器人和無(wú)人機(jī)），以及要訪問(wèn)的倉(cāng)庫(kù)和城市的新特性，同時(shí)基于應(yīng)用需求，在車輛路徑問(wèn)題中還考慮了車輛容量、能耗、時(shí)間窗等約束條件。第3章對(duì)求解MTSP 的算法進(jìn)行了歸納，選取了當(dāng)前主流研究中具有代表性的幾類啟發(fā)式算法以及混合算法。第4章對(duì)MTSP在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用進(jìn)行了分類，在不同應(yīng)用中根據(jù)主體的不同進(jìn)行了歸納與概括。

（1）雖然精確的方法可以給出最優(yōu)的解決方案，但由于NP-hard問(wèn)題的復(fù)雜度高，它們只對(duì)非常小的實(shí)例有用。目前遺傳算法、蟻群算法、人工蜂群算法和粒子群算法等啟發(fā)式算法被廣泛應(yīng)用于求解MTSP 問(wèn)題。但由于這類啟發(fā)式算法普遍存在易陷入局部最優(yōu)、早熟收斂、適用范圍局限的缺點(diǎn)，目前對(duì)啟發(fā)式算法理論方面的研究還處于不斷發(fā)展中，新思想和新方法仍不斷出現(xiàn)。通過(guò)分析現(xiàn)狀，其發(fā)展方向有以下幾個(gè)方面：①整理歸納分散的研究成果，建立統(tǒng)一的算法體系結(jié)構(gòu)；②在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法（模式定理、編碼策略等）的基礎(chǔ)上尋求新的數(shù)學(xué)工具；③開(kāi)發(fā)新的混合式算法及開(kāi)展現(xiàn)有算法改進(jìn)方面的研究；④研究高效并行的或分布式優(yōu)化算法。

（2）根據(jù)表3 可以看出，遺傳算法在求解多旅行商問(wèn)題中占據(jù)了絕對(duì)的主導(dǎo)地位，但分析文獻(xiàn)后不難發(fā)現(xiàn)，遺傳算法大部分采用的解決方案都是將MTSP轉(zhuǎn)化為TSP，研究的焦點(diǎn)集中在如何用染色體編碼表達(dá)MTSP，并且在改變?nèi)旧w編碼方式上對(duì)遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)。盡管遺傳算法如此強(qiáng)大，但由于改進(jìn)方法的局限性使得其發(fā)揮的空間愈發(fā)有限。因?yàn)閱l(fā)式算法的諸多局限，近些年也有少量文獻(xiàn)提出利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解MTSP 的方法。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是并行計(jì)算的，其計(jì)算量不隨維數(shù)的增加而發(fā)生指數(shù)性“爆炸”，對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題的高速計(jì)算特別有效?？梢灶A(yù)見(jiàn)，隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能算法的深入研究，MTSP 這類NP-hard 問(wèn)題可求解的規(guī)模會(huì)越來(lái)越大，例如可以利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型解決物流配送環(huán)節(jié)中的復(fù)雜路線交叉和路徑重復(fù)問(wèn)題；利用機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)物流時(shí)效性和利用深度學(xué)習(xí)解決智能體避障的路徑規(guī)劃問(wèn)題等。

（3）通過(guò)對(duì)應(yīng)用領(lǐng)域的細(xì)分可以看出，MTSP 模型的變體在物流行業(yè)和應(yīng)急救援兩方面仍然以車輛為主，如快遞包裹的運(yùn)輸、傷員或物資的轉(zhuǎn)移等傳統(tǒng)場(chǎng)景中，地面車輛由于其自身不可替代的優(yōu)勢(shì)更適合執(zhí)行該類任務(wù)，加之對(duì)于車輛的容量和成本等約束最熟悉也最容易掌握，因此利用MTSP模型解決車輛路由調(diào)度問(wèn)題有極高的研究?jī)r(jià)值。

而機(jī)器人由于其具有可移動(dòng)性，可將其用在WSN（wireless sensor networks）中執(zhí)行數(shù)據(jù)的收集轉(zhuǎn)發(fā)任務(wù)，利用MTSP模型規(guī)劃多機(jī)器人的任務(wù)分配及路徑規(guī)劃可以有效降低網(wǎng)絡(luò)能量消耗，延長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)壽命。同時(shí)，機(jī)器人現(xiàn)已可以代替人工執(zhí)行重復(fù)性和高危險(xiǎn)性的工作，在物流環(huán)節(jié)、農(nóng)業(yè)自動(dòng)化和搜救工作中都有貢獻(xiàn)。無(wú)人機(jī)作為一種新興產(chǎn)品以其獨(dú)有的空中特性，在災(zāi)害巡查和軍事領(lǐng)域都被廣泛應(yīng)用，執(zhí)行巡查或是空中作戰(zhàn)任務(wù)時(shí)利用MTSP 模型解決多目標(biāo)的任務(wù)分配和路線規(guī)劃是提升效率的關(guān)鍵。與車輛不同，不論機(jī)器人還是無(wú)人機(jī)，這類變體都對(duì)能量有著嚴(yán)格的限制，但目前卻沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)的能量消耗模型，因而在未來(lái)的研究中，可以建立多旅行的Benchmark 基準(zhǔn)函數(shù)，通過(guò)能量消耗模型延長(zhǎng)智能體的續(xù)航能力。

（4）隨著工業(yè)4.0 時(shí)代的到來(lái)，智能產(chǎn)品對(duì)于生產(chǎn)系統(tǒng)的要求迫使新一代的工作系統(tǒng)必須適用柔性生產(chǎn)，但由于生產(chǎn)過(guò)程復(fù)雜，且機(jī)器人與人類的擅長(zhǎng)點(diǎn)不同，很多工作單靠機(jī)器人或者人來(lái)完成結(jié)果都不理想。機(jī)器的優(yōu)勢(shì)在于持久性長(zhǎng)，精確度高，而人的優(yōu)勢(shì)是認(rèn)知能力強(qiáng)，能夠?qū)τ谕话l(fā)的情況進(jìn)行控制和下決策，因此在裝配高精度的重型零部件時(shí)，人機(jī)協(xié)同的優(yōu)勢(shì)得以凸顯。同時(shí)工業(yè)4.0 時(shí)代將是一個(gè)物流系統(tǒng)更加高效、供應(yīng)鏈更加完善的時(shí)代，利用MTSP模型提高供應(yīng)鏈中的運(yùn)輸和配送效率，是趨勢(shì)也是必然。

（5）可以預(yù)見(jiàn)，由于變體的多樣性，今后對(duì)MTSP可應(yīng)用領(lǐng)域的探索會(huì)延伸向更多涉及路徑優(yōu)化或遍歷次序的實(shí)際問(wèn)題中。比如將無(wú)人機(jī)的路徑規(guī)劃應(yīng)用于海上巡邏預(yù)警、設(shè)計(jì)風(fēng)力發(fā)電機(jī)等新能源設(shè)備的架構(gòu)布局方案、躲避障礙避免碰撞的更成熟的無(wú)人駕駛技術(shù)等。

6 結(jié)束語(yǔ)

多旅行商問(wèn)題作為TSP問(wèn)題的一類泛化問(wèn)題，其相關(guān)研究已經(jīng)逐步從解決單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)化成為解決一類問(wèn)題中必不可少的一部分，也逐步迎來(lái)更多新的研究方向。同時(shí)，有關(guān)MTSP的研究一直以來(lái)都有著較大的現(xiàn)實(shí)意義和經(jīng)濟(jì)效益，備受應(yīng)用者與研究者的關(guān)注。本文通過(guò)算法和領(lǐng)域兩種角度對(duì)MTSP 模型進(jìn)行了綜述，除此之外，通過(guò)總結(jié)文獻(xiàn)并分析文獻(xiàn)展望了日后發(fā)展趨勢(shì)。關(guān)于探求如何求解NP-hard問(wèn)題一直以來(lái)都有各類專家學(xué)者不斷探尋，MTSP作為其經(jīng)典模型，更加值得深入研究來(lái)發(fā)掘其蘊(yùn)含的價(jià)值。