有趣的圖形分割

王素琴

分割圖形是幾何學(xué)中一個(gè)非常有趣味的課題，研究圖形的分割問題不僅可以增強(qiáng)對(duì)幾何圖形的直觀感受和判斷能力，豐富對(duì)圖形的想象力，提高數(shù)學(xué)思維能力，而且還有一定的實(shí)用價(jià)值.

一、將正方形分割成若干個(gè)小正方形

1926年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家魯金對(duì)“完美正方形”的存在提出了猜想.所謂“完美正方形”，是指它可以分割成一些邊數(shù)各不相等且邊長(zhǎng)為整數(shù)的正方形.分割成小正方形的個(gè)數(shù)稱為它的階.

1936年這個(gè)問題引起了英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院的四個(gè)學(xué)生塔特、斯通、布魯克斯、史密斯的興趣.他們當(dāng)時(shí)考慮了這樣一個(gè)問題：把一個(gè)矩形分割成邊長(zhǎng)各不相等的正方形.值的說明的是，當(dāng)時(shí)人們已經(jīng)知道長(zhǎng)為33、寬為32的矩形可以作正方形分割，如圖1.斯通從一開始就懷疑“完美正方形”的存在，然而無法證實(shí)自己的想法;而其余三人則致力于尋找一個(gè)實(shí)際存在的“完美正方形”，但是幾經(jīng)失敗后也開始傾向于斯通的看法.

就在一籌莫展之際，柏林的施柏拉格居然找到了一個(gè)真實(shí)存在的“完美正方形”.這無疑是對(duì)塔特、斯通等人的一記悶棍，然而他們并沒有氣餒，很快改變了自己的研究方向.在理論的指導(dǎo)下，在1938年終于找到了一個(gè)由39個(gè)不同整數(shù)邊的正方形組成的大正方形，被稱為“39階完美正方形”，如圖2.這一成果大大增強(qiáng)了他們繼續(xù)研究的信心，通過研究，發(fā)現(xiàn)了寬為176、長(zhǎng)為177的矩形可分為邊長(zhǎng)不等的1 1個(gè)長(zhǎng)方形（如圖3）.光陰流逝，一晃過去了幾十年，當(dāng)年的大學(xué)生都成了蜚聲數(shù)壇的組合數(shù)學(xué)專家和圖論專家，他們的研究成果被成功地運(yùn)用到電子、化學(xué)、建筑學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、通訊學(xué)和計(jì)算機(jī)等多個(gè)領(lǐng)域，成為造福人類的有力工具.

1964年，塔特的學(xué)生威爾遜博士找到了一個(gè)25階的完美正方形，后來這個(gè)圖形保持了12年的最佳記錄，直到威爾科克斯所創(chuàng)造的24階完美正方形（如圖4）.

1978年荷蘭數(shù)學(xué)家特溫特技術(shù)大學(xué)的杜依維斯廷，用大型電子計(jì)算機(jī)找出了一個(gè)21階的完美正方形（如圖5）.1962年荷蘭數(shù)學(xué)家丟伐斯丁證明了小于或等于19階的完美正方形不存在;1978年他又證明了20階的完美正方形不存在，因而可以斷定：21階完美正方形是最小階“完美正方形”，這個(gè)結(jié)論也同時(shí)被前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家魯奎所證明.

那么如何將矩形分割為邊數(shù)各不相等且邊長(zhǎng)為整數(shù)的正方形呢？辦法是先作一個(gè)草圖，然后用盡可能少的未知數(shù)標(biāo)出每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，再寫出這些邊長(zhǎng)應(yīng)滿足的關(guān)系式，最后再求解這個(gè)方程組.

1992年，布卡姆和杜伊維斯廷給出了21-28階全部207個(gè)完美正方形：

截至2018年，已經(jīng)知道的21-35階完美正方形的個(gè)數(shù)為：1，8，12，30，172，541，1372，3949，10209，26234， 71892， 196357， 528866 ，1420439. 3784262.

二、將正方形分割成若干個(gè)直角三角形

將一個(gè)正方形分割成若干個(gè)邊長(zhǎng)不相等的直角三角形，且使正方形的邊長(zhǎng)盡可能小，分割后的直角三角形數(shù)目也盡可能地少.這一問題最早由日本的鈴木昭雄提出.至今雖然取得一些進(jìn)展，但似乎看不見最終的結(jié)論.

1966年，有人將一個(gè)邊長(zhǎng)為39780的大正方形分割若干個(gè)三角形;在以后的15年內(nèi)，人們找到了20種將邊長(zhǎng)在1000以下的正方形分割為三角形的方式.1968年，有人將邊長(zhǎng)為1248的正方形分割為5個(gè)直角三角形，如圖8.1976年，有人將邊長(zhǎng)為48的正方形分割為7個(gè)直角三角形，如圖9.以上分別是分割的直角三角形數(shù)最少和大正方形邊長(zhǎng)最小的，迄今為止的最好紀(jì)錄.

三、將正方形分割成若干個(gè)銳角三角形

將一個(gè)正方形分割成若干個(gè)銳角三角形，要求分割的銳角三角形的個(gè)數(shù)盡可能少（雖不要求邊長(zhǎng)為整數(shù)）也是讓人感興趣的問題.

如圖10、圖11、圖12、圖13分別是將正方形分割成11個(gè)、10個(gè)、9個(gè)、8個(gè)銳角三角形的圖形，將正方形分割成8個(gè)銳角三角形是一種巧妙的方法，要想再減少銳角三角形的個(gè)數(shù)是不可能的.有趣的是，人們證明了如下事實(shí)：用邊長(zhǎng)分別為1、2、3……的正方形去覆蓋平面，至少可以鋪滿整個(gè)平面的四分之三;還有人已經(jīng)證明：要用邊長(zhǎng)大小不等的小正方體去填滿一個(gè)大正方體是不可能的，亦即完美正方體是不存在的.

四、分割其他圖形

如果把三角形、平行四邊形分割成大小完全不同的正三角形，人們發(fā)現(xiàn)這種分割方式是不存在的.如果降低某些要求，比如允許某些正三角形邊長(zhǎng)相等，則可以找到這種分割方式.可將一個(gè)平行四邊形分割成13個(gè)小正三角形（據(jù)稱這是最小階數(shù)的分割），如圖14;可將一個(gè)正三角形分割成15個(gè)小正三角形，如圖15.如果把正三角形記為“+”，把倒三角形記為“一”，在某種意義下，這種分割方式是完美的，那么圖14、圖15都可視為是完美分割圖形.

至此，數(shù)學(xué)家們的研究并沒有停止，他們還將完美分割圖形的問題推廣到莫比烏斯帶、圓柱面、環(huán)面和克萊因瓶上，也取得了許多有趣的成果，