靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，提升解數(shù)列題的效率

龔周

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要板塊，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.有些數(shù)列問題較為復(fù)雜，采用常規(guī)方法求解很難.此時(shí)不妨靈活運(yùn)用函數(shù)思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想、換元思想等數(shù)學(xué)思想來輔助解題，這樣可使問題的求解過程變得更簡(jiǎn)單，有利于提升解題的效率.本文主要談一談如何靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來解答數(shù)列問題.

一、函數(shù)思想

函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系緊密，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式均可看作關(guān)于n的函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)N*，或以1為首的連續(xù)自然數(shù)組成的集合.在求數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)、數(shù)列和的最大（?。┲?、求公差、公比的取值范圍時(shí)，將數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和式看作關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，便可運(yùn)用函數(shù)思想，借助一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)來求得問題的答案.

解答本題，需先根據(jù)等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{bn}和{an}的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用函數(shù)思想，將{an}的通項(xiàng)公式看作關(guān)于n的反比例函數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性來求得數(shù)列{an}的最值.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也具有單調(diào)性，其圖象是由一些孤立的點(diǎn)組成.運(yùn)用函數(shù)思想解答數(shù)列問題，需明晰函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系.

二、分類討論思想

分類討論思想是解答代數(shù)問題的重要思想.有些數(shù)列的奇偶項(xiàng)之間存在差異，有些數(shù)列中某些項(xiàng)的通項(xiàng)公式與其他項(xiàng)的通項(xiàng)公式之間存在不同之處，有些等比數(shù)列的公差、公比、首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)為參數(shù)，此時(shí)都需要運(yùn)用分類討論思想對(duì)各種情況進(jìn)行分類，并逐步進(jìn)行討論，然后綜合所得的結(jié)果.

三、整體思想

運(yùn)用整體思想解題，需把握代數(shù)式、圖形的結(jié)構(gòu)特征，從代數(shù)式、圖形的整體出發(fā)，尋找解題的思路.在解答數(shù)列問題時(shí)，要從數(shù)列的各項(xiàng)、通項(xiàng)公式、和式出發(fā)，明確各項(xiàng)與通項(xiàng)公式、和式之間的關(guān)系，運(yùn)用整體思想，通過整體消元、整體代換，求得問題的答案.

四、歸納推理思想

運(yùn)用歸納推理思想解題，需先分析問題的個(gè)別、特殊情形，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過推理，從而歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì)，在求數(shù)列的通項(xiàng)公式、求數(shù)列的和時(shí)，經(jīng)常要用到歸納推理思想，通過觀察——?dú)w納——猜想——證明四個(gè)步驟來得出結(jié)論.

由上述分析可以發(fā)現(xiàn)，在解答數(shù)列問題時(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，可使問題輕松獲解.這就要求我們?cè)诮忸}時(shí)，學(xué)會(huì)將數(shù)列問題與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，合理對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分類討論，將數(shù)列的某些項(xiàng)當(dāng)作一個(gè)整體進(jìn)行消元、運(yùn)算，根據(jù)數(shù)列的部分項(xiàng)進(jìn)行推理、歸納，靈活運(yùn)用函數(shù)思想、分類討論思想、整體思想、歸納推理思想來輔助解題.