超混沌金融系統(tǒng)的同步控制

陳 辰，饒若峰，林 芝，艾小全，李 燕，劉星悅，黃家琳

（1.成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，四川成都 611130；2.四川三河職業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)系，四川瀘州 646200，3.宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川宜賓 644007）

由生產(chǎn)子塊、貨幣子塊、證券子塊和勞動力子塊組成的一類非線性金融模型在近幾十年受到廣泛的關(guān)注[1-6]. 最新研究已涉及混沌金融系統(tǒng)的脈沖控制[5-6]、甚至反應(yīng)擴(kuò)散金融模型，并較好地反映了現(xiàn)實金融市場中商品需求與不同地域的關(guān)系. Yu 等人[7]在上述混沌金融系統(tǒng)中引進(jìn)了平均利潤率，更加合理而真實地模擬了現(xiàn)實金融的混沌復(fù)雜動力性，并通過計算機(jī)仿真模擬表明它是一個超混沌非線性系統(tǒng). Rao 等人[8]研究了超混沌金融系統(tǒng)的脈沖控制，利用Lyapunov 函數(shù)法、微分中值定理和脈沖控制技術(shù)推導(dǎo)了具正利率平衡點的全局穩(wěn)定化方法以及驅(qū)動-響應(yīng)型全局同步性. 為了更好地揭示商品需求得地域變化等現(xiàn)實金融系統(tǒng)的動力性，本文利用文獻(xiàn)[8]的方法和技巧，進(jìn)一步研究一類更復(fù)雜的反應(yīng)擴(kuò)散馬爾可夫跳躍延遲反饋超混沌金融系統(tǒng). 由于反應(yīng)擴(kuò)散型金融系統(tǒng)模型是偏微分方程組，涉及數(shù)學(xué)理論中的Sobolev 空間變分技巧，給本文研究帶來了數(shù)學(xué)上的困難，因此，本文結(jié)合文獻(xiàn)[5]和[8]的方法，利用Sobolev 空間變分技巧研究反應(yīng)擴(kuò)散馬爾可夫跳躍延遲反饋超混沌金融系統(tǒng)的全局同步性，使得初值不同的兩個經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)通過脈沖控制技術(shù)達(dá)到漸近同步，以說明經(jīng)濟(jì)管理部門在混沌復(fù)雜經(jīng)濟(jì)活動中的能動性，即在一定頻率與強(qiáng)度脈沖控制下，經(jīng)濟(jì)落后地區(qū)可以最終實現(xiàn)與經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)狀況同步；特別是在達(dá)到同步后，若驅(qū)動系統(tǒng)全局穩(wěn)定于正利率平衡點，則響應(yīng)系統(tǒng)也必然會全局穩(wěn)定于該平衡點.

1 預(yù)備知識

文獻(xiàn)[8]研究了如下超混沌延遲反饋金融系統(tǒng)：

考慮延時反饋的隨機(jī)性和經(jīng)濟(jì)管理部門的脈沖式管理以及各類經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的區(qū)域性影響因素，本文進(jìn)一步考慮如下反應(yīng)擴(kuò)散馬爾可夫跳躍非線性系統(tǒng)：

對于驅(qū)動系統(tǒng)(6)，其響應(yīng)系統(tǒng)為：

本文有界性假設(shè)(A5)受到文獻(xiàn)[13]啟發(fā)，注意到由于經(jīng)濟(jì)資源的有限導(dǎo)致金融系統(tǒng)的變量的二階偏導(dǎo)數(shù)同樣也是有限的.

2 全局同步

定理1 若有界性假設(shè)(A1)-(A5)成立，存在正的常數(shù)r1，r2，qr(r∈S)和一列正定對角矩陣Pr≥hrI＞0且Pr≤qr I(r∈S)，以及

則系統(tǒng)(8)與系統(tǒng)(6)全局漸近同步. 式中I是單位矩陣，Kr≤σrI，?k=tk-tk-1，且

證明：考慮Lyapunov函數(shù)

注意到tk-1＜tk-ρk≤tk，所以由微分中值定理有：

證畢.

3 結(jié)論與思考

受文獻(xiàn)[1-15]啟發(fā)，特別是文獻(xiàn)[8][13][14][15]中脈沖控制與變分法的啟發(fā)，本文利用Lyapunov 函數(shù)法和變分法改進(jìn)了文獻(xiàn)[5][6][8]的一些相關(guān)結(jié)果，因為商品需求彈性系數(shù)等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)是受到區(qū)域的影響，而文獻(xiàn)[5][6][8]沒有考慮到這一客觀金融實情，本文利用文獻(xiàn)[13][16]中的變分方法巧妙地解決了這個數(shù)學(xué)困難，獲得了脈沖控制下的全局漸近同步結(jié)論，使得不同初值的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)能夠逐漸同步，具有一定的經(jīng)濟(jì)管理策略上的理論指導(dǎo)意義. 此外，關(guān)于依狀態(tài)切換金融系統(tǒng)是值得進(jìn)一步考慮的，正如文獻(xiàn)[12]定義1 指出，文獻(xiàn)[16]的定義3 中原創(chuàng)性地給出了切換意義下的系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定定義，這也值得本文進(jìn)一步考慮這種依狀態(tài)切換金融系統(tǒng)的同步控制問題. 另外，文獻(xiàn)[16]還針對Dirichlet 邊值原創(chuàng)性地提出了Theorem 3.1-3.3、Statement 1-2，Statement 2、Problem 1-4，特別是如何在第三邊值或紐曼邊值下重新或相應(yīng)地考慮Theorem 3.1-3.3、Statement 1-2、以及Problem 1-4，這也是值得進(jìn)一步思考的有趣問題. 最后，文獻(xiàn)[17]在文獻(xiàn)[16]基礎(chǔ)上進(jìn)一步增加了Problem 5 和Problem 6，豐富了文獻(xiàn)[16]提出的問題，特別是在Problem 6 中提出了無限時滯下如何重新思考文獻(xiàn)[16]中所得結(jié)果，這在反應(yīng)擴(kuò)散金融系統(tǒng)模型研究中也是一個值得進(jìn)一步考慮的問題.