含變?cè)吹亩嗫捉橘|(zhì)方程的解的爆破

郭晉容，唐亞勇

（四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都 610064）

考慮如下多孔介質(zhì)方程的非負(fù)解：

與方程(1)相關(guān)的問題出現(xiàn)在許多應(yīng)用科學(xué)的數(shù)學(xué)模型中，如核科學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、熱傳導(dǎo)、種群動(dòng)力學(xué)、生物科學(xué)等[1-3]. 在該模型的應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)現(xiàn)象是，模型的解的某種范數(shù)在有限時(shí)間內(nèi)是無界的，這種現(xiàn)象稱為爆破. 近年來，爆破的研究引起了許多研究者的關(guān)注[4-5]. 當(dāng)模型(1)中m=1 且p(x)是常數(shù)時(shí)，該模型的解的爆破結(jié)果首次在文獻(xiàn)[6]中被研究，并被進(jìn)一步推廣[7]；當(dāng)模型(1)中m＞1且p(x)是常數(shù)時(shí)，其爆破解的存在條件、爆破速率和爆破集可見于文獻(xiàn)[7][8]；當(dāng)模型(1)中m=1 且p(x)不是常數(shù)時(shí)，該模型的研究見文獻(xiàn)[9][10]，特別地，文獻(xiàn)[9]刻畫了爆破解的臨界指數(shù)，文獻(xiàn)[10]建立了具有正初始能量的爆破解.

然而，在m＞1且p(x)不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型(1)的解的爆破現(xiàn)象日前尚無文獻(xiàn)研究報(bào)道，所以，本文將在這種條件下對(duì)模型(1)進(jìn)行研究.

令

本文的主要研究結(jié)果如下：

定理1 假設(shè)(P1)-(P2)成立且E(0)≤0，那么問題(1)的解就會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

當(dāng)初始能量為正，即E(0)＞0 時(shí)，有關(guān)爆破解的研究非常少[6]。為了證明正初始能量的爆破解的存在性，增加一個(gè)對(duì)p+的假設(shè):

令B1是滿足如下條件的常數(shù)

引入兩個(gè)正的常數(shù)α1和E1如下:

式中 |Ω |表示Ω的Lebesgue測(cè)度.

1 非正初始能量下解的爆破

為了研究初始能量E(0)≤0 時(shí)解的爆破，即證明定理1，首先引入以下引理.

引理1 設(shè)u(x，t)是問題(1)的非負(fù)解，則式(3)定義的能量E(t)是非增的，且滿足

對(duì)上面的等式從0到t進(jìn)行積分，即得到式(12).

令

下面用反證法證明結(jié)論，即假設(shè)問題(1)對(duì)t≥0都存在解u(x，t).

首先，聲稱

否則，存在t0＞0使得

這樣由式(18)得出

其中ξ在t3與t之間.

式(28)和式(26)矛盾，完成反證.

2 具有正初始能量解的爆破和爆破時(shí)間的上界估計(jì)

其中α1和E1分別由式(7)和式(8)定義.

證明：由假設(shè)可知B1＞1 且p-＞1，于是可推得α1＜1/B1.進(jìn)一步，可以把g(α)表示為

因此，g(α)在(0，1/B1)∪(1/B1，+∞)是可微的，在[0，+∞)是連續(xù)的.

對(duì)g(α)求導(dǎo)可得

則性質(zhì)(i)成立. 因?yàn)閜+＞1，通過簡單計(jì)算可得出結(jié)論(ii).

引理3 在定理2 的假設(shè)下，存在正常數(shù)α2＞α1，使得

圖1 g(α)的函數(shù)圖像

這說明式(32)中的第一個(gè)不等式成立.

從而，式(33)可由式(34)和式(35)推出.

基于上述結(jié)果，可以給出定理2的證明如下：

令M(t)是式(13)定義的泛函. 則由E(t)和H(t)的定義，M(t)的微分滿足

則由引理4、式(32)(36)(37)推出